4 Fonctions logarithme
On appelle fonction logarithme népérien notée ln
FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN
On dit également que les fonctions carré et racine carrée sont La fonction logarithme népérien notée ln
La fonction logarithme népérien
Dec 3 2014 2.2 Quotient
I Comparaison de la fonction ln et de la fonction racine carrée. Soit
Les limites ne nous intéressent pas ici. Nous voulons seulement comparer les fonctions. La limite en 0 de ln est ?? et celle de la fonction racine est 0. Donc
Fonctions exponentielle logarithme et racine n-ième - LEtudiant
2. La fonction logarithme népérien. Pour tout réel x > 0 eln(x) = x. Pour tout réel x ln(ex )= x.
Utilisation du logiciel Régressi
multiplication ; / : division ; LN : logarithme népérien ; LOG : logarithme décimal ;. SQRT : racine carrée ; SIN : sinus ; COS : cosinus ; TAN : tangente
Tableau des dérivées élémentaires et règles de dérivation
Dérivée de la puissance. (un) = nu un?1. Dérivée de la racine. (? u) = u. 2. ? u. Dérivée du logarithme. [ln(u)] = u u. Dérivée de l'exponentielle.
Calculs dintégrales et de primitives
En choisissant u(x) = ln(x) et v (x) = P(x) alors u (x) = 1 x et v(x) = Q(x) où Q Exemple 1.8 (Racine carrée d'un polynôme du 2nd degré).
Exponentielle et logarithme
Racine carrée : ln (?a) = 1. 2 ln(a). Lien exponentielle et logarithme. La fonction exponentielle (de base e) et la fonction logarithme (népérien) sont des
Correction TP de programmation no3 - Fonctions et procédures
(Racine carrée et n-ième) Cet exercice est obligatoire ceux qui ne l'ont pas un programme qui vérifie que pour un nombre x
CHAPITRE4Fonctions
logarithmeSommaire
Partie A (s5)2
1 La fonction logarithme népérien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1 Définition2
1.2 Propriétés algébriques2
2 Étude de la fonction logarithme népérien . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.1 Variations de la fonctionx?→lnx4
2.2 Nombre e4
2.3 Croissance comparée avec les fonctions puissance 5
Ch.04Fonctions logarithmeTaleSTI2D
Partie A (s5)
Au début duxviiesiècle, navigateurs, financiers et surtout astronomes sontconfrontés à des calculs astrono-
miques. Pour faciliter ces calculs, le théologien, physicien, astronome et mathématicien écossais John Napier
(1550-1617, en français Neper) recherche une fonction qui puisse transformer des produits très compliqués à
calculer en sommes plus abordables.Il est amené à rechercher des fonctionsfvérifiantf(a×b) =f(a) +f(b)... le logarithme népérien est né!
1La fonction logarithme népérien
1.1Définition
On appelle fonctionlogarithme népérien, notée ln, l"unique fonctionf définie et dérivable sur ]0; +∞[ ayant pour dérivée la fonctionx?→1 xet vérifiant, pour tous réelsaetbstrictement positifs,f(a×b) =f(a) +f(b).Définition 1.
1.2Propriétés algébriques
Soientaetbdeux réels strictement positifs etnest un entier relatif, alors :produit : ln(ab) = ln(a) + ln(b);
inverse : ln?1
a? =-ln(a);quotient : ln?a
b? = ln(a)-ln(b);puissance : ln(an) =nln(a);
racine carrée : ln(⎷
a) =12ln(a).Propriété 2.
propriété fondamentale http://mathematiques.daval.free.fr 2/5 Lycée Georges BrassensCh.04Fonctions logarithmeTaleSTI2D
En résumé, le logarithme népérien a la particularité de transformer les produits en sommes, les quotients en différences et les puissances en multiplications.Démonstrations :
inverse : on aa×1
a= 1.Donc, ln
a×1 a? = ln(1) = 0 ??ln(a) + ln?1 a? = 0 ??ln?1 a? =-ln(a).quotient : on peut écrire ln?a
b? = ln? a×1b? = ln(a) + ln?1 b? = ln(a)-ln(b). puissance : ln(an) = ln(a×a× ··· ×a? nfois) = ln(a) + ln(a) +···+ ln(a)? nfois =nln(a).racine carrée : on a⎷
a×⎷a=a.Donc, ln(⎷
a×⎷a) = ln(a) ??ln(⎷ a) + ln(⎷a) = ln(a) ??ln(⎷ a) =12ln(a).Remarque 3
La propiété fondamentale se généralise au cas d"un produit denfacteurs : ln(a1×a2× ··· ×an) = ln(a1) + ln(a2) +···+ ln(an).Exemple 4
Transformations d"expressions numériques :
ln(24) = ln(23×3)
= ln(23) + ln(3)
= 3ln(2) + ln(3).ln?16
9? = ln(16)-ln(9) = ln(24)-ln(32)
= 4ln(2)-2ln(3).ln?⎷
96?=12ln(96)
12ln(25×3)
12[5ln(2) + ln(3)].
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2Étude de la fonction logarithme népérien
2.1Variations de la fonctionx?→lnx
D"après la définition, la fonctionx?→lnxest définie sur ]0;+∞[, de dérivée la
fonctionx?→1 x. La dérivée étant positive, la fonction logarithme népérien est donc croissante sur ]0;+∞[.On admet la propriété suivante :
limx→0+ln(x) =-∞etlimx→+∞ln(x) = +∞.Propriété 5.
Conséquence :la droitex= 0 est une asymptote verticale à la courbe représenta- tive de la fonction ln. x0 1 +∞ f?(x) + f0D"après le tableau de variation de la
fonction ln, on en déduit que l"équation ln(x) = 1 admet une unique solution no- tée e dans ]0; +∞[. 12 -1 -2 -3 -41 2 3 4 5 6 7 8 9 10 111 y= ln(x) e02.2Nombre e
On a deux valeurs importants à connaitre concernant le logarithme népérien : ln(1) = 0 et ln(e) = 1 http://mathematiques.daval.free.fr 4/5 Lycée Georges BrassensCh.04Fonctions logarithmeTaleSTI2D
Exemple 6
Simplification d"expressions contenant e :
ln(e2) = 2ln(e) = 2;
ln(e-1) =-ln(e) =-1.
Pour tout réela,ln(ea) =a.
Propriété 7.
Démonstration :pour tout réela,ln(ea) =alne =a×1 =a.2.3Croissance comparée avec les fonctions puissance
On a les limites suivantes, pour tout entier naturelnnon nul :limx→+∞ln(x)
xn= 0;limx→0+xnln(x) = 0.
Propriété 8.
on dit que " la puissance l"emporte sur le logarithme »En particulier, avecn= 1, on obtient :
lim x→+∞ln(x) x= 0 et limx→0+xln(x) = 0 http://mathematiques.daval.free.fr 5/5 Lycée Georges Brassensquotesdbs_dbs47.pdfusesText_47[PDF] ln(x²)
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