[PDF] La fonction logarithme népérien

•lna=0?a=1

•lna

•lna<0?0

•lna>0?a>1

Remarque :Ces propriétés permettent de résoudre des équations et des inéqua- tions. On veillera à mettre l"équation ou l"inéquation sous la forme ci-dessus et à déterminer les conditions de validité de l"équation ou de l"inéquation.

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TABLE DES MATIÈRES

Exemples :

•Résoudre ln(2-2x) =1.

On met l"équation sous la forme : ln(2-2x) =lne l"équation est valide si, et seulement si, 2-2x>0 c"est à direx<1

On a alors :x<1 et 2-2x=esoitx=2-e

2 On a 2-e

2<1 car2-e2? -0,36.

On conclut alors :S=?2-e

2?

•Résoudre ln(2x+1)<-1

On met l"inéquation sous la forme : ln(2x+1)0 soitx>-1 2

On a alors :x>-1

2et 2x+1

On a :

e-1-1

2=1-e2e? -0,32 donc-12

On conclut par :S=?

-1

2;1-e2e?

2 Propriétés de la fonction logarithme népérien

2.1 Relation fonctionnelle

Théorème 3 :Pour tous réels strictement positifsaetb, on a : lnab=lna+lnb Démonstration :D"après les propriétés de l"exponentielle, on a : e a=eb?a=b

Orelnab=abetelna+lnb=elna×elnb=ab

On conclut donc que lnab=lna+lnb.

Remarque :C"est cette propriété qui est à l"origine de la fonction logarithme.

Exemple :ln2+ln3=ln6

2.2 Quotient, inverse, puissance et racine carrée

Théorème 4 :Pour tous réels strictement positifsaetb, on a : 1) ln a b=lna-lnb 2) ln 1 b=-lnb3) lnan=nlnaavecn?N 4) ln ⎷a=12lna

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2. PROPRIÉTÉS DE LA FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN

Démonstration :

•Pour démontrer la propriété 1, on revient aux propriétés de l"exponentielle.

On aelna

b=abetelna-lnb=elnaelnb=abd"où la propriété : ln a b=lna-lnb •Pour la deuxième propriété, on faita=1 •La troisième propriété se démontre par récurrence à l"aide du produit.

•Pour la dernière propriété : on aa=⎷a×⎷adonc d"après la propriété du

produit, on a : lna=ln⎷ a+ln⎷a=2ln⎷ad"où ln⎷a=12lna Exemples :Voici 3 exemples d"utilisation de ces propriétés. •Exprimer ln50 avec ln2 et ln5 et ln⎷12 avec ln2 et ln3

On a 50=2×52donc ln50=ln2+2ln5

On a 12=22×3 donc ln⎷

12=12(2ln2+ln3) =ln2+12ln3

Déterminer l"entierntel que 2n>10 000

On a donc : ln2

n>ln104soitnln2>4ln10

On obtient alors :n>4ln10

ln2or4ln10ln2?13.29 doncn?14 Résoudre l"équation : ln⎷2x-3=ln(6-x)-12lnx l"équation existe si ?2x-3>0 6-x>0 2 x<6 x>0 On en déduit l"ensemble de définition :Df=?3 2; 6?

On a alors

1

2[ln(2x-3) +lnx] =ln(6-x)

soit lnx(2x-3) =2ln(6-x)

L"équation revient à :

x?Dfetx(2x-3) = (6-x)2

2x2-3x=x2-12x+36

x

2+9x-36=0

On calcule :Δ=81+144=225=152on trouve alors deux solutions x ?=-9+15

2=3?Dfetx??=-9-152=-12 /?Df

on conclut par :S={3}

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TABLE DES MATIÈRES

3 Étude de la fonction logarithme népérien

3.1 Dérivée

Théorème 5 :La fonction logarithme népérien est dérivable sur]0;+∞[et : (lnx)?=1 x Démonstration :On admet que la fonction ln est continue sur]0;+∞[ On revient à la définition de la dérivée, c"est à dire on cherchelesa?]0;+∞[pour lesquels la limite suivante est finie : lim x→alnx-lna x-a Pour déterminer cette limite, on fait un changement de variable. Onpose alors X=lnxetA=lna. On a alorsx=eXeta=eAet six→a, comme la fonction ln est continue sur]0;+∞[, alorsX→lna. La limite devient alors : lim

X→lnaX-A

eX-eA Or la fonction exponentielle est dérivable surRet la dérivée en lnaestelna: lim

X→lnae

X-eA

X-A=elna=a

Cette limite est strictement positive poura?]0;+∞[. On en déduit que la limite suivante existe pour touta?]0;+∞[et : lim

X→lnaX-A

eX-eA=1a Conclusion : la fonction ln est dérivable sur]0;+∞[et(lnx)?=1 x.

3.2 Limite en 0 et en l"infini

Théorème 6 :On a les limites suivantes :

lim x→+∞lnx= +∞et limx→0+lnx=-∞

Démonstration :

•Pour montrer la limite en+∞, on revient à la définition : Pour toutM>0, si lnx>Malors, comme la fonction exp est croissante, x>eM. Il existe donc un réelA=eMtel que six>Aalors lnx>M.

Conclusion : lim

x→+∞lnx= +∞.

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3. ÉTUDE DE LA FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN

•Pour la deuxième limite, on fait un changement de variable. On poseX=1x.

Donc six→0+alorsX→+∞. On a alors :

lim x→0+lnx=limX→+∞ln1

X=limX→+∞-lnX=-∞

3.3 Tableau de variation et courbe

On peut résumer les variations et les limites de la fonction ln, dans un tableau de variation : x 1 x ln

0+∞

1 0 e 1

On a alors la courbe représentative ci-

contre→ 12 -1 -2 -31 2 3 4 5 6 7 e y=lnx O

3.4 Des limites de référence

Théorème 7 :On a : limx→0ln(1+x)x=1

Démonstration :Cela découle de la dérivée de ln enx=1, en effet, on a : ln)?(1) =1 1=1 ln)?(1) =limx→0ln(1+x)-ln1 x=limx→0ln(1+x)x??????? limh→0ln(1+h) h=1

Théorème 8 :Croissance comparée

lim x→+∞lnx x=0 et limx→0+xlnx=0

Démonstration :

•Pour la premère limite, on fait un changement de variable.On pose :X=lnx, on a alorsx=eX. On a alors :

x→+∞alorsX→+∞

Notre limite devient alors :

lim x→+∞lnx x=limX→+∞XeX=0 car limx→+∞e xx= +∞

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TABLE DES MATIÈRES

•Pour la deuxième limite, on fait le changement de variable suivant :X=1x. On a alors : x→0+alorsX→+∞

La deuxième limite devient alors :

lim x→0+xlnx=limX→+∞1

Xln1X=limX→+∞-lnXX=0

Remarque :On peut dire que : "xl"emporte sur lnxen+∞». Exemple :Déterminer la limite suivante : limx→+∞x-lnx C"est une limite indéterminée, car de la forme "+∞-∞». On met alorsxen facteur. x-lnx=x? 1-lnx x?

On a alors :

limx→+∞x= +∞ lim x→+∞lnx x=0?????

Par somme et produit, on a :

lim x→+∞x-lnx= +∞

3.5 Dérivée de la fonctionlnu

Théorème 9 :Soit une fonctionudérivable et strictement positive surD. La fonction lnuest alors dérivable surDet : (lnu)?=u? u Démonstration :La démonstration est la conséquence directe de la dérivée de la composition de fonction. Remarque :Les fonctionsuet lnuont le même sens de variation car comme u>0,(lnu)?a le même signe queu?. Exemple :Déterminer la dérivée de la fonction définie surRpar : f(x) =ln(1+x2) On pose la fonctionu(x) =1+x2.uest manifestement strictement positive sur

R, donc la fonctionfest dérivable surRet :

f ?(x) =2x 1+x2

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4. APPLICATIONS

4 Applications

4.1 Approximation de e

On pose, pourn?1,un=?

1+1 n? n •Montrer que la suite(un)converge verse. On pourra poservn=lnun. •Faire un programme permettant de déterminernpour une valeur approchée deeà 10-3. Que penser de la vitesse de convergence de la suite?

Calculonsvn:vn=ln?

1+1n? n =nln? 1+1n? Lafonctionfassociéeàlasuite(vn)définiesur]0;+∞[est:f(x) =xln? 1+1 x? Sous cette forme, la limite defen+∞est une forme indéterminée. On effectue un changement de variable pour lever l"indétermination :X=1 x, on a ainsi : six→+∞alorsX→0+

On peut ainsi calculer la limite :

lim x→+∞f(x) =limX→0+ln(1+X) X=1

On en déduit alors que : lim

n→+∞vn=1 On revient alors à la suite(un):vn=lnundoncun=evn, on en déduit que (un)est convergente et : limx→+∞un=e •On fait une boucle avec un "tant que"pour déterminer l"indicenpour avoir la précision demandée.

On trouve alors :

N=1 359 etU?2,717

La vitesse de convergence est donc

très lente. Cette suite n"est donc pas ju- dicieuse pour trouver une approxima- tion deeVariables:I: entierU: réel

Entrées et initialisation

2→U

1→I

Traitement

tant que|U-e|>10-3 faire

I+1→I?

1+1 I? I →U fin

Sorties: Afficher :I,U

4.2 Étude d"une fonction

Soit la fonctionfdéfinie sur]0;+∞[par :f(x) =x2-4x-4lnx

1) Étudier les limites defen 0 et+∞

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TABLE DES MATIÈRES

2) Déterminerf?(x)et dresser le tableau de variation de la fonctionf.

3) En déduire, en se justifiant, le nombre de solutions de l"équationf(x) =0.

4) À l"aide d"une calculatrice donner la valeur approchée par défaut à 10-3près

des solutions de l"équationf(x) =0.

1) a) La limite en 0 ne pose pas de problème :

lim x→0+x2-4x=0 et limx→0+-4lnx= +∞

Par somme, on a : lim

x→0+f(x) = +∞ b) La limite en+∞est indéterminée du type+∞-∞. On change alors la forme def(x) f(x) =x2? 1-4 x-4x×lnxx? or lim x→+∞x2= +∞, limx→+∞4 x=0 et limx→+∞lnxx=0

Par produit et somme, on a donc : lim

x→+∞f(x) = +∞

2) On calcule la dérivée :

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