[PDF] Bases mathématiques pour la mesure des phénomènes biologiques

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BASES MATHÉMATIQUES POUR LA MESURE DES PHÉNOMÈNES

BIOLOGIQUES

Bruno Saussereau

Laboratoire de Mathématiques de Besançon

Diaporama des cours du jeudi 06/09/12 (pages 1-24), du vendredi 07/09/12 (pages 25-54) et du vendredi 14/09/12 (pages 55-94).

Des fautes de frappe ont été corrigées en rouge aux pages 14, 34, 47, 48, 51 et 53.

PACES & APEMR UE4 (2012-2013)

FONCTIONS-DÉRIVÉES-1PACES & APEMR UE4 (2012-2013) 1 / 94

LES FONCTIONS À UNE SEULE VARIABLE

Quelques définitions

Limite

Continuité

Dérivation

Logarithmes et exponentielle

Plan d"étude d"une fonction

Exemples de fonctions présentant un caractère scientifique

LES FONCTIONS À PLUSIEURS VARIABLES

Motivations

Définitions et propriétés

Dérivées partielles

Extremum d"une fonction de deux variables

Fonctions composées

Différentielle

Application aux calculs d"incertitude

Ajustement des résultats expérimentaux par une courbe CALCUL INTÉGRAL,PRIMITIVESFONCTIONS-DÉRIVÉES-1PACES & APEMR UE4 (2012-2013) 2 / 94 LES FONCTIONS À UNE SEULE VARIABLEQUELQUES DÉFINITIONSLES FONCTIONS À UNE SEULE VARIABLE

Quelques définitions

Limite

Continuité

Dérivation

Logarithmes et exponentielle

Plan d"étude d"une fonction

Exemples de fonctions présentant un caractère scientifique

LES FONCTIONS À PLUSIEURS VARIABLES

Motivations

Définitions et propriétés

Dérivées partielles

Extremum d"une fonction de deux variables

Fonctions composées

Différentielle

Application aux calculs d"incertitude

Ajustement des résultats expérimentaux par une courbe CALCUL INTÉGRAL,PRIMITIVESFONCTIONS-DÉRIVÉES-1PACES & APEMR UE4 (2012-2013) 3 / 94

LES FONCTIONS À UNE SEULE VARIABLEQUELQUES DÉFINITIONSDans toute cette section,fdésigne une fonction deRdansR.DEFINITION

Le domaine de définition def, notéDf, est l"ensemble des valeursxpour lesquellesf(x)existe.

C"est un sous-ensemble deR.Exemple

I La fonction x7!x2a pour ensemble de définitionR=] 1; +1[. I La fonction x7!px+4a pour ensemble de définition[4; +1[. I La fonction x7!12x4a pour ensemble de définitionRn f2g=] 1;2[[]2; +1[.Remarque

On peut aussi étudier une fonction :

I sur un sous ensemble (généralement un intervalle) deDf; I sur un ensemble de définition dit pratique qui correspond aux valeurs de x possibles dans le domaine expérimental. FONCTIONS-DÉRIVÉES-1PACES & APEMR UE4 (2012-2013) 4 / 94

LES FONCTIONS À UNE SEULE VARIABLEQUELQUES DÉFINITIONSSoitfune fonction de domaine de définitionDf. On dira quefest

I paire si pour toutx2 Df,f(x) =f(x), I impaire si pour toutx2 Df,f(x) =f(x), I périodique de périodeT>0 si pour toutx2 Df,f(x+T) =f(x), I croissante si pour toutxx0(xetx0dansDf),f(x)f(x0), I décroissante si pour toutxx0(xetx0dansDf),f(x)f(x0), I majorée s"il existeMtel quef(x)Mpour toutx2 Df, I minorée s"il existemtel quemf(x)pour toutx2 Df, I bornée s"il existeMtel quejf(x)j Mpour toutx2 Df(bien remarquer quejf(x)j Mpeut s"écrire de manière équivalenteMf(x)M).DEFINITION La fonction réciproque defest la fonction (s"il elle existe) notéef1qui vérifie y=f(x);x2 Df()x=f1(y);y2f(Df):Remarque I

Si f est croissante, alors f1est croissante.

I La fonction logarithme népérienlndéfinie sur]0; +1[est la fonction réciproque deexp définie surR.FONCTIONS-DÉRIVÉES-1PACES & APEMR UE4 (2012-2013) 5 / 94 LES FONCTIONS À UNE SEULE VARIABLEQUELQUES DÉFINITIONSREPRÉSENTATION GRAPHIQUEDEFINITION La courbe représentative def(notéCf) est l"ensemble des couples(x;f(x))pourxappartenant à D f.PROPRIÉTÉ Si la fonction f est paire, alorsCfest symétrique par rapport à l"axe des ordonnées (droite d"équation y=0).

Si la fonction f est impaire,Cfest symétrique par rapport à l"origine (le point de coordonnées(0;0))FONCTIONS-DÉRIVÉES-1PACES & APEMR UE4 (2012-2013) 6 / 94

LES FONCTIONS À UNE SEULE VARIABLEQUELQUES DÉFINITIONSEXEMPLEScourbe représentative def:x7!x4x2courbe représentative deg:x7!x3xFONCTIONS-DÉRIVÉES-1PACES & APEMR UE4 (2012-2013) 7 / 94

LES FONCTIONS À UNE SEULE VARIABLEQUELQUES DÉFINITIONSPROPRIÉTÉ

Les courbes représentatives de deux fonctions réciproques sont symétrique par rapport à la droite

d"équation y=x (appelée première bissectrice).Exemple

Courbe représentative des fonctionslnetexp:FONCTIONS-DÉRIVÉES-1PACES & APEMR UE4 (2012-2013) 8 / 94

LES FONCTIONS À UNE SEULE VARIABLELIMITELES FONCTIONS À UNE SEULE VARIABLE

Quelques définitions

Limite

Continuité

Dérivation

Logarithmes et exponentielle

Plan d"étude d"une fonction

Exemples de fonctions présentant un caractère scientifique

LES FONCTIONS À PLUSIEURS VARIABLES

Motivations

Définitions et propriétés

Dérivées partielles

Extremum d"une fonction de deux variables

Fonctions composées

Différentielle

Application aux calculs d"incertitude

Ajustement des résultats expérimentaux par une courbe CALCUL INTÉGRAL,PRIMITIVESFONCTIONS-DÉRIVÉES-1PACES & APEMR UE4 (2012-2013) 9 / 94 LES FONCTIONS À UNE SEULE VARIABLELIMITELIMITE FINIEDEFINITION I Soitfune fonction définie sur un intervalleI= [a;b]et soitx02]a;b[. On dit quefa une limite finieLenx0si pour tout réel" >0, il existe un réel >0 tel que lorsquexest dansIet jxx0j , alorsjf(x)Lj ". On noteL=limx!x0f(x). I Soitfune fonction définie sur un intervalleI= [a; +1[. On dit quefa une limite finieLen +1si pour tout réel" >0, il existe un réelS>0 tel que lorsquexest dansIetxS, alors jf(x)Lj ". On noteL=limx!+1f(x).PROPRIÉTÉ

Lorsque la limite existe, elle est unique.Exemple

lim x!+12x2+5x1;3+x7x

2x34=limx!+12x2x

2=2:FONCTIONS-DÉRIVÉES-1PACES & APEMR UE4 (2012-2013) 10 / 94

LES FONCTIONS À UNE SEULE VARIABLELIMITELIMITE INFINIEDEFINITION I Soitfune fonction définie sur un intervalleI= [a;b]et soitx02]a;b[. On dit quefa une limite infinie (+1pour fixer les idées) enx0si pour tout réelA>0, il existe un réel >0 tel que lorsquexest dansIetjxx0j , alorsf(x)A. On note limx!x0f(x) = +1. I Soitfune fonction définie sur un intervalleI= [a; +1[. On dit quefa une limite infinie (+1 pour fixer les idées) en+1si pour tout réelA>0, il existe un réelB>0 tel que lorsquex est dansIetxB, alorsf(x)A. On note limx!+1f(x) = +1.Exemple lim x!12+1px12= +1:FONCTIONS-DÉRIVÉES-1PACES & APEMR UE4 (2012-2013) 11 / 94 LES FONCTIONS À UNE SEULE VARIABLELIMITEPROPRIÉTÉS DES LIMITESPROPRIÉTÉ Si pour tout x (où les fonctions sont définies) f(x)g(x), alorslimf(x)limg(x). Silimx!x0f(x) =Lfetlimx!x0g(x) =Lg(avec x0qui peut être1), alors : I la limite de la somme est la somme des limites quand Lfet Lgsont finies, ou infinies de même signe; I la limite du produit est le produit des limites quand Lfet Lgsont finies, ou infinies de même signe; I la limite du quotient de f par g est le quotient des limites quand Lfet Lg6=0sont finies; I et on a aussi les règles suivantes : }Lf+1= +1pour Lf6=1; }Lf(1) =1pour Lf>0; }Lf(+1) =1pour Lf<0; }Lf=(1) =0pour Lf6=1.FONCTIONS-DÉRIVÉES-1PACES & APEMR UE4 (2012-2013) 12 / 94 LES FONCTIONS À UNE SEULE VARIABLELIMITEBRANCHES INFINIES Intuitivement, la courbe représentativeCfd"une fonctionfadmet une branche infinie lorsqu"un point de cette courbe peut s"éloigner à l"infini.DEFINITION(ASYMPTOTES PARALLÈLES AUX AXES) I La courbeCfadmet pour asymptote la droite d"équationx=x0(droite parallèle à l"axe des ordonnées) si limx!x0f(x) =1. I La courbeCfadmet pour asymptote la droite d"équationy=L(droite parallèle à l"axe des abscisses) si limx!1f(x) =L.FONCTIONS-DÉRIVÉES-1PACES & APEMR UE4 (2012-2013) 13 / 94 LES FONCTIONS À UNE SEULE VARIABLELIMITEEXEMPLE Pour la fonctionfdéfinie parf(x) =ln(x1), avecDf=]1; +1[, on a lim x!1+f(x) =1donc la droitex=1est une asymptote v erticalede Cf.

Pour la fonctiongdéfinie parg(x) =x2+x+1x

2+1, avecDg=R, on ag(x) =1+xx

2+1et donc

lim x!+1g(x) =1 et limx!1g(x) =1.

La droitey=1est donc une asymptote hor izontale(en +1et1) deCg.courbe représentative def:x7!ln(x1)courbe représentative deg:x7!x2+x+1x

2+1FONCTIONS-DÉRIVÉES-1PACES & APEMR UE4 (2012-2013) 14 / 94

LES FONCTIONS À UNE SEULE VARIABLELIMITEASYMPTOTE OBLIQUE Une asymptote oblique peut apparaître que lorsque lim x!1f(x) 1.DEFINITION(ASYMPTOTE OBLIQUE) La courbeCfadmet pour asymptote oblique la droite d"équationy=mx+psi lim x!1f(x)(mx+p)=0:Remarque I Pour déterminer m on remarque que m=limx!1f(x)x I Pour déterminer p on remarque que p=limx!1f(x)mx. FONCTIONS-DÉRIVÉES-1PACES & APEMR UE4 (2012-2013) 15 / 94 LES FONCTIONS À UNE SEULE VARIABLELIMITEEXEMPLE Soitf:x7!2x2x5x2. On a limx!+1f(x) = +1donc la recherche d"une asymptote oblique est justifiée (ce n"est cependant pas sur qu"il en existe une!) Comme lim x!+1f(x)x =2 et lim x!+1f(x)2x=limx!+13x5x2=3, on en déduit que la droite d"équationy=2x+3 est asymptote oblique deCf.FONCTIONS-DÉRIVÉES-1PACES & APEMR UE4 (2012-2013) 16 / 94 LES FONCTIONS À UNE SEULE VARIABLELIMITEBRANCHES PARABOLIQUES I

Si limx!1f(x)x

=met limx!1f(x)mx=1, alors on dit que la courbe représentative defadmet une branche parabolique de direction (ou d"axe)y=mx. I

Quand limx!1f(x)x

=1, on dit que la courbe admet une branche parabolique de direction l"axe des ordonnées FONCTIONS-DÉRIVÉES-1PACES & APEMR UE4 (2012-2013) 17 / 94 LES FONCTIONS À UNE SEULE VARIABLELIMITEExemple I La courbe représentative de la fonctionlnadmet une branche parabolique de direction l"axe des ordonnées. I La courbe représentative de la fonction g définie surDg=Rpar g(x) =1+xpx admet

une branche parabolique de direction (ou d"axe) y=x.FONCTIONS-DÉRIVÉES-1PACES & APEMR UE4 (2012-2013) 18 / 94

LES FONCTIONS À UNE SEULE VARIABLECONTINUITÉLES FONCTIONS À UNE SEULE VARIABLE

Quelques définitions

Limite

Continuité

Dérivation

Logarithmes et exponentielle

Plan d"étude d"une fonction

Exemples de fonctions présentant un caractère scientifique

LES FONCTIONS À PLUSIEURS VARIABLES

Motivations

Définitions et propriétés

Dérivées partielles

Extremum d"une fonction de deux variables

Fonctions composées

Différentielle

Application aux calculs d"incertitude

Ajustement des résultats expérimentaux par une courbe CALCUL INTÉGRAL,PRIMITIVESFONCTIONS-DÉRIVÉES-1PACES & APEMR UE4 (2012-2013) 19 / 94 LES FONCTIONS À UNE SEULE VARIABLECONTINUITÉCONTINUITÉ EN UN POINTDEFINITION

Une fonctionfdéfinie surI= [a;b]est

I continue enx02]a;b[si limx!x0f(x) =f(x0); I continue à droite enx02[a;b[si limx!x+

0f(x) =f(x0);

I continue à gauche enx02]a;b]si limx!x

0f(x) =f(x0).PROPRIÉTÉ

Si x

02]a;b[, f est continue en x0si et seulement si elle est continue à gauche ET à droite en x0.Remarque

Une fonction f peut être discontinue en x

0soit parce que :

I elle n"est pas définie en x0, I

la limite à droite en x0est différente de la limite à gauche en x0.FONCTIONS-DÉRIVÉES-1PACES & APEMR UE4 (2012-2013) 20 / 94

LES FONCTIONS À UNE SEULE VARIABLECONTINUITÉCONTINUITÉ DANS UN INTERVALLE Iquotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

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