[PDF] Cours de probabilités et statistiques

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Universit e Claude Bernard Lyon 1

IREM de Lyon - D epartement de math ematiques

Stage ATSM - Ao^ut 2010

Cours de probabilit

´es et statistiques

A. Perrut

contact : Anne.Perrut@univ-lyon1.fr 2

Table des matiµeres

1 Le modµele probabiliste 5

1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2 Espace des possibles, ev enements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3 Probabilit e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.4 Ind ependance et conditionnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.5 R ep etitions ind ependantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2 Variables al eatoires discrµetes 15

2.1 D e¯nitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.2 Ind ependance et conditionnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.3 Sch ema de Bernoulli et loi binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.4 Trois autres lois discrµetes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.4.1 Loi g eom etrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.4.2 Loi de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.4.3 Loi uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3 Variables al eatoires continues 27

3.1 Loi d'une v.a. continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.2 Loi uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.3 La loi normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.3.1 Loi normale centr ee r eduite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.3.2 Loi normale : cas g en eral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.4 La loi exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.5 Fonction d'une v.a. continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4 Th eorµemes limites 39

4.1 Loi des grands nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.2 Th eorµeme central limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.3 Intervalles de con¯ance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3

4TABLE DES MATIµERES

5 Tests statistiques 47

5.1 Tests d'hypothµeses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

5.2 Test d'ajustement du chi-deux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

5.3 Test d'ind ependance du chi-deux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

5.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

A Cardinaux et d enombrement 57

B Tables statistiques 61

B.1 Fonction de r epartition de la loi normale centr ee r eduite . . . . . . . . . . . 61 B.2 Fractiles de la loi normale centr ee r eduite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 B.3 Fractiles de la loi duÂ2(º= nombre de degr es de libert e) . . . . . . . . . . 64

C Statistique descriptive univari ee 65

C.1 Variable quantitative discrµete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 C.2 Variable quantitative continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 C.3 Variable qualitative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

Chapitre 1

Le modµele probabiliste

1.1 Introduction

Les probabilit es vont nous servir µa mod eliser uneexp erience al eatoire, c'est-µa-dire

un ph enomµene dont on ne peut pas pr edire l'issue avec certitude, et pour lequel on d ecide

que le d enouement sera le fait du hasard.

Exemples :

- l'enfant µa na^³tre sera une ¯lle, - l' equipe de l'OL va battre l'OM lors du prochain match qui les opposera, - le d e va faire un nombre pair. La premiµere t^ache qui vous attend est de d ecrire les di® erentes issues possibles de

cette exp erience al eatoire. Puis on cherche µa associer µa chacune de ces eventualit esun

nombre compris entre 0 et 1 qui mesure la chance qu'elles ont de se r ealiser. Comment

interpr eter/¯xer ce nombre, appel e probabilit e? Il existe plusieurs maniµeres de voir.

- Proportion : On lance un d e. Quelle est la probabilit e deA="obtenir un chi®re pair"? Chaque face du

d e a la m^eme chance, et il y en a 6. Quant aux chi®res pairs, ils sont 3. D'oµu, intuitivement,

P(A) =3

6 = 1=2. - Fr equence : Un enfant est attendu. Quelle est la probabilit e que ce soit une ¯lle? On a observ e un grand nombre de naissances. Notonsknle nombre de ¯lles n ees en observantnnaissances. Alors

P(¯lle) = limn!+1k

n n mais cette limite a-t-elle un sens? - Opinion : Quelle est la probabilit e pour que l' equipe de Tunisie gagne la coupe d'Afrique des nations? pour que l'OL soit championne de France? Dans ce cas, on ne peut pas rejouer le m^eme

match dans les m^emes conditions plusieurs fois. On peut consid erer les qualit es des joueurs,

des entra^³neurs, les r esultats de la saison... Mais le choix de la probabilit e est forc ement

subjectif. 5

6CHAPITRE 1. LE MODµELE PROBABILISTE

Attention aux valeurs des probabilit es! Elles sont choisies de maniµere arbitraire par le mod elisateur et il faut les manipuler avec soin.

1.2 Espace des possibles, ev enements

On etudie une exp erience al eatoire. L'espace des possiblesouuniversd ecrit tous

les r esultats possibles de l'exp erience. Chacun de ces r esultats est appel e ev enement

el ementaire. On note souvent l'espace des possibleset un r esultat el ementaire!. Un

ev enementest un sous-ensemble de, ou une r eunion d' ev enements el ementaires. On dit

qu'un ev enement est r ealis e si un des ev enements el ementaires qui le constitue est r ealis e.

Les ev enements sont des ensembles, repr esent es souvent par des lettres capitales.

Exemples :

- Match OL-OM : =fOL gagne, OM gagne, match nulg. Doncest compos e de trois

ev enements el ementaires. On peut consid erer par exemple l' ev enement qui correspond µa

\Lyon ne gagne pas".

- On lance un d e : =f1;2;:::;6g. On peut s'int eresser µa l' ev enementA=\on obtient un

chi®re pair", ieA=f2;4;6g. - On lance deux d es : =f1;:::;6g £ f1;:::;6g=f(i;j) : 1·i·6;1·j·6g. Ici, un

ev enement el ementaire

!est un couple(i;j), oµuirepr esente le r esultat du premier d e et jcelui du second.

- On lance trois fois une piµece de monnaie. Les ev enements el ementaires vont d ecrire le plus

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