[PDF] [PDF] LEÇON 9 : SUITES NUMERIQUES - Roi des Rois

View - Download [PDF] LEÇON 9 : SUITES NUMERIQUES - Roi des Rois

Previous PDF

Next PDF

Page 1 sur 21

ÉCOLE NUMÉRIQUE

LEÇON 9 : SUITES NUMERIQUES

1. 34DA4CB ǯA002B433A

président de la promotion terminale veut effectuer le placement de la somme de 300.000 Il se rend dans une structure bancaire et le banquier lui propose deux options. Option1 : le capital placé est augmenté de 2500 CFA à intérêts simples par mois ; Option2 : le capital placé augmentera de 5 % de mois en mois pendant la durée du placement. la plus avantageuse pour obtenir rapidement cette somme avant la date de la manifestation particulières. Forts de ces informations et voulant aider leur président, les élèves de la promotion terminale décident de faire des recherches sur les suites arithmétiques et géométriques.

2. RESUMES DE COURS

I. Rappel sur les suites arithmétiques et les suites géométriques On appelle suite numérique, toute fonction de Գ vers Թ.

2. Suites arithmétiques et suites géométriques

Suite arithmétique Suite géométrique

réel ݎ appelé raison tel que :

Exemple : ൜ܷ

un réel ݍ appelé raison tel que :

Exemple : ቊܷ

Formule

explicite

En particulier :

En particulier :

Terminale D

Mathématiques

Page 2 sur 21

Somme de

termes consécutifs

Soit ݇אԳ ǡ݈א

On a :

Soit ݇אԳ ǡ݈א

On a : ܵൌܷ

Exercice 1

Solution

1) ݑ௡ାଵൌ ݑ௡െ͵

2) ݒ௡ାଵൌെ͵ ݒ௡

Exercice 2

1) (ݑ) est une suite arithmétique de raison - et ݑଷൌെͷ. Exprime ݑ௡ en fonction de n.

2) (ݒ) est une suite géométrique de raison െଷ

Solution

2) ݒ௡ൌݒସൈݍ௡ିସ

Exercice 3

Calcule la somme : ݑ଴൅ݑଵ൅ڮ

2. (ݒ) est une suite géométrique de raison െ- et ݒସൌͳ͸.

Solution

1. ݑ଴൅ݑଵ൅ڮ

Par suite : ݑ଴൅ݑଵ൅ڮ

Donc : ݑ଴൅ݑଵ൅ڮ

Page 3 sur 21

Page 4 sur 21

II. Raisonnement par récurrence

entier naturel n.

Méthode

݊൒݊଴ (݊଴ étant un entier naturel donné), on procède en trois étapes :

Exercice

Démontre par récurrence que : ׊݊א

Solution :

Soit ݊א

¾ Vérifions que ܲ

¾ Soit ݇ un entier naturel tel que ݇൒-.

On en déduis que : ଵ

¾ Conclusion : ׊݊א

III. Suites croissantes, suites décroissantes

Définitions

Page 5 sur 21

Méthode

(...ǯ‡•--à-dire examiner si la suite est croissante ou décroissante et justifier cette croissance

a) La méthode algébrique ¾ On étudie le signe de : ݑ௡ାଵെݑ௡ On étudie donc les variations de la fonction ݂ sur E. c) Utilisation du raisonnement par récurrence

Exercice 1

croissante.

Solution

Exercice 2

Solution

Exercice 3

Page 6 sur 21

Solution

Exercice 4

Soit la suite (t) définie par : ቊݐ଴ൌͷ

Démontre que la suite (t) est décroissante.

Solution

Soit ݊ א

Vérifions que P(0) est vraie.

Soit ݇ א

Donc P(݇൅ͳ) est vraie.

On conclut que : ׊ ݊ א

Remarque : On peut utiliser le sens de variation de la fonction de la fonction

IV. Suites majorées, minorées, bornées

Définitions

de E, ݑ௡൑ܯ de E, ݑ௡൒ ݉. est soit minorée, soit majorée, soit bornée.

Page 7 sur 21

Exercice 1

Réponds par vrai ou par faux à chacune des affirmations suivantes :

N° Affirmations Réponses

par െ͵ minorée par - par -

Solution

1. Faux 2. Faux 3. Faux 4. Vrai

Exercice 2

Solution

Pour tout ݊אԳכ

Exercice 3

Démontre que la suite v est minorée par ξ- et majorée par 2.

Solution

Donc : ׊ ݊א

Donc, la suite v est donc bornée (minorée par ξ- et majorée par 2).

Remarque

ଵା௫మ. Cela permet de justifier que : ׊ݔ א conclure que : ׊ ݊א

Page 8 sur 21

Exemple introductif

ଵା௫మ. On a : ׊ ݊א

Définition

Propriété

Exercice 1

Solution

௫య. Pour tout ݊אԳכ

Exercice 2

Réponds par vrai ou par faux à chacune des affirmations suivantes :

N° Affirmations Réponses

1 La suite de terme général ξ݊ est convergente.

2 La suite de terme général ଵ

௡య est convergente.

3 La suite de terme général cosn est convergente

Solution

1. Faux 2. Vrai 3. Faux

Exercice 3

Page 9 sur 21

Solution

Lorsque ݔ tend vers ൅λ, ௫మାଵ

Propriété (unicité de la limite)

Si une suite numérique admet une limite, alors cette limite est unique.

Exercice

Solution

Tous les termes de rang pair de cette suite sont égaux à 1 et ceux de rang impair à െͳ.

2. Limites de référence

Propriété

3. Opérations sur les limites

Les propriétés concernant les limites de la somme, du produit ou du quotient de deux fonctions numériques à variables réelles demeurent applicables aux limites de la somme, du produit ou du quotient de deux suites numériques.

Exercice

Solution

a) On a :

4. Propriétés des suites convergentes et des suites divergentes

Propriétés

Toute suite décroissante et minorée est convergente. Toute suite croissante et majorée est convergente. Toute suite décroissante et non minorée diverge vers െλ. Toute suite croissante et non majorée diverge en ൅λ.

Page 10 sur 21

Exercice 1

Réponds par vrai ou par faux à chacune des affirmations suivantes :

N° Affirmations Réponses

1 Toute suite décroissante et à termes positifs est

convergente.

2 Toute suite croissante et non majorée est convergente.

3 Toute suite croissante est nécessairement convergente

4 Toute suite décroissante et non minorée diverge vers െλ.

Solution

1. Vrai 2. Faux 3. Faux 4. Vrai

Exercice 2

Solution

a) On a: ׊ ݊אԳכ

Or : ׊ ݊אԳכ

b)  —-‹Ž‹•ƒ- Žǯ‹±‰ƒŽ‹-± : ׊ on obtient : ׊ ݊אԳכ

Ce qui donne : ׊ ݊אԳכ

VI. Compléments sur les limites de suites numériques Les résultats concernant les limites des fonctions exponentielles, puissances et logarithmes

Page 11 sur 21

Propriété 1

Suite Hypothèse Conclusion

Suite géométrique de raison a

(ou suite exponentielle)

Suite puissance

Si ߙ

Si ߙ

Si ߙ

Exercice

Pour chaque limite, choisis la lettre correspondant à la réponse juste.

A B C D

Solution

1. A ; 2. C ; 3. D ; 4. A ; 5. A ; 6. C

Remarque : Les propriétés de croissances comparées des fonctions exponentielles,

Propriété 2 (Croissance comparée)

Si ߙ

Si ܽ൐ͳ et ߙ

Exercice

Page 12 sur 21

Solution

On a : ξ௡

On a : ௡ൈଷ೙

ଷ൐ͳ et 1൐- ; or si ܽ൐ͳ et ߙ

2. Propriétés de comparaison

Les propriétés de comparaison concernant les fonctions sont applicables aux suites.

Propriété 1

Exercice

Solution

On a : ׊ ݊א

Propriétés 2

Exercice

Solution

On a : ׊ ݊א

On a : ׊ ݊א

Propriété 3

Remarque

La propriété ci- dessus est appelée " Théorème des gendarmes ».

Page 13 sur 21

Conséquence

Exercice

1) Démontre que : ׊ ݊אԳכ

Solution

1) On a : ׊ ݊אԳכ

௡ξ௡ାଵ (1)

On a aussi : ׊ ݊אԳכ

௡ξ௡ et ଷ ௡ξ௡ (2) ௡ξ௡ൌ- et ׊ ݊אԳכ

Propriété

Exercice

Solution

Pour tout ݊אԳכ

Posons : pour tout ݊אԳכ

4. Suite récurrente

Propriété

Page 14 sur 21

Exercice

Solution

3. EXERCICES

3-1. Exercices de fixation

Exercice 1

Soit ݔ un nombre réel. On considère les trois réels ݑǡݒǡݓ définis par :

Exercice 2

Détermine le premier terme ݑ଴ et la raison ݎ de cette suite.

Exercice 3

croissante. Calcule ces trois nombres, sachant que leur somme est 63 et la somme de leur carré est ଻

Exercice 4

Exercice 5

Démontre par récurrence que : ׊ ݊א

Exercice 6

Page 15 sur 21

Exercice 7

ହ௡ିଵ est minorée par െଵ ସ à partir du rang 1.

Exercice 8

Soit la suite ݒ définie par : ݒ଴ൌ- et ׊݊א Démontre que la suite ݒ est majorée par 7.

Exercice 9

Soit la suite ݒ définie par : ݒ଴ൌ- et ׊݊א

Démontre que la suite ݒ est croissante.

Exercice 10

Exercice 11

a) ݌௡ൌͳെଷ

Exercice 12

Exercice 13

Réponds par vrai ou par faux à chacune des affirmations contenues dans le tableau ci-dessous.

N° Affirmations Réponses

Page 16 sur 21

Exercice 14

Exercice 15

଴ǡଵ௡యାହ et

Calcule la limite de chacune de ces suites.

Exercice 16

Exercice 17

Calcule chacune des limites suivantes :

Exercice 18

On admet que ׊ ݊א

ସ et que la suite (w) est convergente.

3-2. Exercices de renforcement

Exercice 19

Soit ݑ la suite définie par ൜ݑ଴ൌ͵

1. Détermine la nature de la suite ݑ.

4. Exprime ܷ

5. Calcule en fonction de ݊ :

Exercice 20

Soit ݑ la suite définie par : ቊݑଵൌ͵

3. Exprime ݑ௡ en fonction de ݊.

5. Soit la suite ݒ définie par : ׊ ݊אԳכ

a) Justifie que la suite ݒ est une suite arithmétique dont on précisera la raison et le premier terme. b) Calcule ܲ

Page 17 sur 21

Exercice 21

2. Démontre par récurrence que : ׊ ݊א

3. a) Calcule en fonction de ݑ௡ǣ ݑ௡ାଵെݑ௡.

Exercice 22

le premier terme.

Exercice 23

b) Calcule ܸ௡ puis ܷ

Exercice 24

2. a) Démontre que : ׊݊߳Գכǡܷ௡ାଵെܷ

b) Déduis-en que : ׊݊߳Գכǡܷ௡ାଵെܷ

3)a) Démontre queǣ ׊݊߳Գכǡܷ

Page 18 sur 21

b) Déduis-en que : ׊݊߳Գǡܷ

Exercice 25

1. Pour un entier naturel ݌ donné, détermine un entier naturel ݊ tel que :

Exercice 26

݈݊ désigne la fonction logarithme népérien.

1. a) Calcule ܸ

c) Exprime ܸ

3. Pour tout entier naturel n non nul, on pose :

a) Démontre que : ܵ

Exercice 27

ܷ ଴ൌ͵ǡܷଵൌͷǡ et ׊݊߳Գ, ܷ

I) On pose : a = 1

3. On pose : ܵ௡ൌܷ଴൅ܷଵ൅ڮ൅ܷ௡ .Exprime ݑ௡ puis ܵ

II) On pose : ܽ

2. Exprime ܸ

Exercice 28

1. Démontre par récurrence que : ׊ ݊א

3. a)Démontre que :׊ ݊א

Page 19 sur 21

b) Déduis-en que : ׊ ݊א

Exercice 29

Un véhicule coûte 30 000 000 F. Il se déprécie de 20% par an Ǣ ...ǯ‡•--à-dire que son prix de

revente baisse de 20% par an.

1. Détermine la valeur du véhicule au bout de 5 ans.

2. On suppose que pendant la même période, les prix des véhicules neufs de ce type

augmentent de 5% par an.

5 ans.

b) On suppose que le véhicule coûte 30 000 000 en 2014, en quelle année le prix du véhicule doublera ?

Exercice 30

a) Ecris, pour tout entier naturel ݊ non nul et distinct de 1, une relation entre ܼ௡, ܼ

b) Démontre que : ׊ ݊൒-ǡܼ௡െܼ

ܣଵ et ܣଵ en ܣ

Exercice 31

On définit les nombres complexes ܼ௡ de la manière suivante :ቊܼ

1. Pour tout entier n, on pose : ܷ௡ൌܼ

a) Montre que la suite (U) de terme général ܷ précisera le premier terme et la raison. b) Détermine ܷ௡ puis ܼ

Page 20 sur 21

Exercice 32

௡Ǩ݁௫ (n est un entier naturel non nul).

2. Soit ܫ௡ൌ׬

ଵି௫݁௧݀ݐ pour -൑ݔ൑ͳ.

b) En intégrant par parties ܫ௡ାଵ , vérifie la relation de récurrence : ܫ௡ାଵൌܫ

c) Démontre alors que pour tout entier n non nul : ܫ d) En utilisant la question 1, détermine limn limn

Détermine :

limn

ݑ௡ et

limn

Exercice 33

3. On pose : ׊݊אԳ ǡߪ

0 n k a) Justifie que : ߪ௡ൌ׬ b) En utilisant une double intégration par parties, calcule ߪ c) En utilisant les résultats des questions 2.b) et 2.c) prouve que : ߪ

Exercice 34

On considère la fonction numérique ݂ définie sur Թାכ b) Démontre que : ׊ݔܫא a) Démontre par récurrence que : ׊ ݊אԳ, ݑ௡ܫא b) Justifie que : ׊ ݊אԳ, ȁݑ௡ାଵെߙ c) Déduis-en que : ׊ ݊אԳ, ȁݑ௡െߙ b) Détermine une valeur approchée de ߙ

Page 21 sur 21

4. SITUATIONS COMPLEXES

Exercice 35

Exercice 36

propose un salaire annuel de 750.000 F CFA. Après quelques mois de travail, une grève des enseignants pour la revalorisation de leur salaire amène le fondateur à faire deux propositions de contrat au choix afin de relever les salaires. - Le premier contrat stipule que les enseignants auront chaque année une augmentation de - Le deuxième contrat consiste à faire chaque année une augmentation forfaitaire de 30.000

F CFA.

au choix du contrat. Il te sollicite. En argumentant, détermine le contrat le plus avantageux pour Monsieur Coulibaly.

BONNES ETUDES

quotesdbs_dbs50.pdfusesText_50

[PDF] cours suites terminale es

[PDF] cours sur l'économie sociale et solidaire

[PDF] cours sur lenvironnement ppt

[PDF] cours sur l'introduction aux politiques publiques pdf

[PDF] cours sur l'onu pdf

[PDF] cours sur la bonne gouvernance

[PDF] cours sur la cedeao pdf

[PDF] cours sur la démocratie pdf

[PDF] cours sur la formation en grh+pdf

[PDF] cours sur la paie en comptabilité

[PDF] cours sur la ponctuation

[PDF] cours sur la zone de chalandise

[PDF] cours sur le benzène

[PDF] cours sur le carrelage

[PDF] cours sur le cheque pdf