[PDF] Leçon 20 Exercices corrigés Leçon 20 Exercices corrigé

View - Download Leçon 20 Exercices corrigés

Previous PDF

Next PDF

Leçon 20 Exercices corrigés

(Une étoile * désignera une question de difficulté supérieure.) Exercice 1.SoientUetVdeux variables aléatoires indépendantes de même loi normale centrée réduiteN(0;1)sur un espace probabilisé( ;A;P); soit la suite de variables aléatoiresXn,n2N, définie parXn=Usinest pair et X n=Vsinest impair. a) Que dire de la convergence de la suiteXn,n2N, presque sûrement, en probabilité, dansL1? b) Que dire de la convergence des suitesFXn,n2N(fonctions de répartition) et'Xn,n2N(fonctions caractéristiques)? Corrigé.a) Le long de la suite des nombres pairs, la suite de variables aléatoiresXn,n2N, est constante égale àU, et de même le long des impairs, elle est constante égale àV. Les seules variables aléatoires limites possibles sont doncUouV. Or, pour" >0, sinest impair P jXnUj "=PjVUj ": Par indépendance deUetV, d"après les propriétés des lois normales,VU à pour loiN(0;2), et doncP(jVUj ")est égal à un nombre strictement positif fixé (ne dépendant que de"). Il n"est donc par possible que la suiteXn, n2N, converge en probabilité, et donc a fortiori presque sûrement ou dansL1, versU. De même, il n"y pas convergence versV. b) Pour tout entiernpair, F Xn=FUet'Xn='U, et pour tout entiernimpair,FXn=FVet'Xn='V. CommeUetVont la même loi, il s"ensuit que les suitesFXnet'Xn,n2N, sont constantes (égales respectivement àFU=FVet'U='V). Il y a donc convergence en loi de la suiteXn,n2N, versU(ouV) de loiN(0;1). 1 Exercice 2.Soitn,n2N, un suite de nombres appartenant à[0;1]; à cette suite est associée une suiteXn,n2N, de variables aléatoires indépen- dantes sur un espace probabilisé( ;A;P)dont les lois vérifient F

Xn(t) =P(Xnt) =8

>:0sit <0, n+ (1n)tnsit2[0;1[,

1sit0.

a) À quelles conditions sur la suiten,n2N, la suiteXn,n2N, converge-t-elle en loi? b) Silimn!1n= 0ou1, examiner la convergence en probabilité ou presque sûre. Corrigé.a) Commelimn!1(1n)tn= 0pour toutt2[0;1[quelque soit la suiten,n2N(dans[0;1]), deux cas sont à considérer. Si la suiten,n2N, converge vers2[0;1], pour toutt2[0;1[, lim n!1n+ (1n)tn=: La suiteXn,n2N, converge alors en loi vers une variable aléatoireXdont la fonction de répartitionFX, limite de la suite des fonctions de répartitionFXn, n2N, est F

X(t) =8

>:0sit <0, sit2[0;1[,

1sit0.

Si2]0;1[,Xest de loi de BernoulliB(1)surf0;1g. Si= 0,Xest presque sûrement constante égale à1, et si= 1,Xest presque sûrement constante égale à0. Dans le cas où la suiten,n2N, converge pas, il ne peut y avoir de convergence en loi deXn,n2N(puisque que la limite deFXn(t), n2N, n"existe pas pourt2[0;1[). b) Si= 1, pour tout0< " <1, P jXnj "=P(Xn") = 1n(1n)"n 2 qui tend vers0quandn! 1. DoncXn,n2N, converge en probabilité vers la variable aléatoireX= 0. Si en outreP n2N(1n)<1, alors la convergence est presque sûre. Une étude similaire peut être menée si= 0. Exercice 3.SoitXune variable aléatoire suivant une loi de PoissonP() de paramètre >0; poserY=1p (X). Démontrer queYconverge en loi quand! 1et déterminer sa limite. En déduire que lim n!1ennX k=0n kk!=12 Corrigé.Il s"agit ici d"une limite en loi le long d"un paramètre continu, mais les définitions sont les mêmes. L"outil de la fonction caractéristique peut être mis en oeuvre. CommeXest de loi de PoissonP(), pour toutu2R,

E(eiuX) =e(eiu1)de sorte que

E eiuY=eiup+ eiup 1 Un développement limité à l"ordre2indique que lim !1iup+eiup 1=12 u2:

Commee12

u2,u2R, est la fonction caractéristique d"une variable aléatoireG de loi normaleN(0;1), il s"ensuit queYconverge en loi quand! 1versG. Dans la limite demandée, il est possible de reconnaître que e nnX k=0n kk!=P(Xnn) pourXn,n1, une variable aléatoire de loi de PoissonP(n)de paramètre =n. CommeP(Xnn) =P(Yn0), le passage aux fonctions de répartition dans la convergence en loi précédente (avec=n) fournit en particulier que lim n!1P(Yn0) =P(G0) =12 3 ce qui conduit à la limite demandée. Exercice 4*.Sietsont deux mesures de probabilité sur un espace mesurable(E;B), la distance en variation totale (Exercice 15, Leçon 3) est rappelée comme étant définie par d

TV(;) = sup

B2B (B)(B): Vérifier que siXetYsont deux variables aléatoires sur( ;A;P)à valeurs dans(E;B)de lois respectiveset, d

TV(;)P(X6=Y):

Soient à présentYetTdeux variables aléatoires indépendantes sur( ;A;P) telles queYsuit une loi de PoissonP(p)de paramètrep2]0;1[etTune loi de BernoulliB(q)surf0;1gde paramètre de succèsq= 1(1p)ep(observer que(1p)ep2]0;1[). a) Calculer la loi deX= 1?fY=T=0get montrer que

P(X6=Y) =p(1ep)p2:

b) SoientXk,k= 1;:::;n, des variables aléatoires indépendantes de loi de BernoulliB(pk)de paramètres respectifspk2]0;1[,k= 1;:::;n, et soitSn= X

1++Xn. Démontrer qu"il existe une variable aléatoireZde loi de Poisson

P()de paramètre=p1++pntelle que

d

TV(PSn;PZ)p21++p2n:

c) Application. SoitZune variable aléatoire de loi de PoissonP(), >0, et soitZn,n2N,n > , une suite de variables aléatoires de loi binomialeB(n;n Démontrer que pour tout entierk0,limn!1P(Zn=k) =P(Z=k). En 4 désignant parla mesure de PoissonP()et parnla mesure binomiale B(n;n ), déduire de la première partie de l"exercice que d

TV(n;)2n

Corrigé.SiXetYsont respectivement de loiset, pour toutB2 B, (B)(B) =P(X2B)P(Y2B): Comme

P(X2B) =P(X=Y;X2B) +P(X6=Y;X2B)

P(Y2B) +P(X6=Y);

il s"ensuit que(B)(B)P(X6=Y). En échangeant les rôles deXetY, la majoration est la même pour(B)(B), ce qui démontre l"affirmation. a) Il est clair queXne prend que les valeurs0et1. Dire queX= 0revient à dire queY=T= 0, et donc par indépendance,

P(X= 0) =P(Y=T= 0) =P(Y= 0)P(T= 0):

Par définition des lois deYetT,P(Y= 0) =epetP(T= 0) = 1q= (1p)ep. DoncP(X= 0) = 1p, autrement dit la loi deXest de Bernoulli B(p). Par définition de la variableX= 1?fY=U=0g,

P(X=Y) =P(X= 0;Y= 0) +P(X= 1;Y= 1)

=P(X= 0) +P(Y= 1) car siX= 0nécessairementY= 0, et siY= 1nécessairementX= 1. Comme

P(X= 0) = 1petP(Y= 1) =pep,

P(X6=Y) =p(1ep);

5 et l"inégalité élémentaire1epppourp2[0;1]fournit la conclusion. b) En s"inspirant de la question précédente, définir des variables aléatoires in- dépendantesYk,k= 1;:::;n, de lois de Poisson respectivesP(pk), et poser Z=Y1+=Yn. Alors, en vertu de la propriété de stabilité des lois de

Poisson,Zest de loi de PoissonP()où=p1++pnet

P(Sn6=Z) =PX1++Xn6=Y1++Yn

nX k=1P(Xk6=Yk) nX k=1p 2k: La première inégalité découle de l"inclusion

X1++Xn6=Y1++Ynn[

k=1fXk6=Ykg (qui se démontre par passage au complémentaire) et de la sous-additivité d"une probabilité; la seconde résulte de l"application de la question a) aux couples de même loi(Xk;Yk),k= 1;:::;n. c) La convergence deP(Zn=k)versP(Z=k) pour toutkest décrite dans la leçon, et assure que la suiteZn,n2N, converge en loi versZ. Le seconde partie de la question va fournir une conclusion plus forte en variation totale, avec en outre une vitesse de convergence. En effet, en choisissantpk=n pour toutk= 1;:::;n, il ressort immédiatement de la question b), puisqueSna pour loiB(n;n )etZa pour loiP(), et de la première partie de l"exercice, que d

TV(n;)nn

2=2n 6quotesdbs_dbs4.pdfusesText_7

[PDF] Loi de Boyle Mariotte

[PDF] loi de boyle mariotte explication

[PDF] loi de boyle mariotte physique chimie

[PDF] loi de boyle mariotte pv nrt

[PDF] loi de boyle mariotte tp chimie

[PDF] loi de boyle mariotte tp seconde

[PDF] loi de composition des vitesses exercices corrigés

[PDF] loi de coulomb

[PDF] loi de coulomb définition

[PDF] loi de coulomb exercices corrigés

[PDF] loi de coulomb pdf

[PDF] loi de dalton plongée

[PDF] loi de décroissance radioactive démonstration

[PDF] loi de densité

[PDF] loi de densité terminale es