[PDF] Rappels de relativit´e restreinte

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Rappelsder elativit´erestr einte

Sommaire

1.1Postulatsde baseet transformationdeLorentz ... ... ... ... .. ... ... 7

1.2Loide compositionrelativistedes vitesseset desacc´ el´erations ... ... .. ... 10

1.3Quadrivecteurset transformationdeLorentz ... .. ... ... ... ... ... .12

1.4Exercices. ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... .. ..14

1.4.1Puissanced'une force et´energiedemasse.. .. ... ... ... ... ... .14

1.4.2Mouvementd'une particuler elativistedansun champmagn´etique.. .. .14

1.4.3Effet Doppleretfocalisationrelativiste ... ... ... ..... ... ... ..14

C Epremierchapitrea pourbutderappelerlesnotions fondamentalesdela th´eoriedela

relativit´erestr einte.Cetteth´eorie,versionsimplifi ´eedela relativit´eg´en´erale,n'estappli-

cablequedans uncontexte o`ulescorps nesont soumis`aaucunefor ceext ´erieure(etdonc ayantunevitesse constante).Nousverr onsquecette d´efinitionstrictedu domainede validit´ede

larelativit ´erestr eintepeutˆetre´etendue`aquelquesmouvements acc´el´er´essimplestels queles

acc´el´erationsrectiligne oucirculaire,ce quinouspermettra ded´ecritelemouvement departicules

dehaute´energie.

1.1Postulatsdebaseet transformationde Lorentz

Historiquement,latransformation desvitessesde Galil´eea´et´eunedes notionsfondamen- talesdela m´ecaniquejusqu'`alafin duXIX`emesi`ecle.Surles basesdecette m´ecaniqueetdes conceptsalorsen vigueur, il´etaitpostul´equ'unfluide nomm´eEtherdevait existerafin queles ondeslumineusespuissent sepropager dansl'espace.Ce fluidedevaitavoir descaract´eristiques bienparticuli`erespoursatisfairetoutes lescontraintes connues`al'´epoque.Ainsila propagation

delalumi `erenepouvaitˆetrev´erifi´eequesi larigidit´edece fluide´etaitextrˆemementgrande(la

rigidit´ed'unmilieu ´etantdirectement reli´ee`alavitesse depropagation d'uneonde). Danslem ˆeme

temps,cefluide devaitn'of friraucuner ´esistanceaupassage descorpssolides afindepermettr e

auxastres degraviterautourduSoleil. Cefluide´etaitconsid´er´ecomme´etantunr ´ef´erentielabsolu

etind´ependantdur ´ef´erentielconsid´er´e. Alasuite d'uneexp´eriencemen´eeparMichelson etMorlayen 1887ayantpour butdemesur er

lavitessede lalumi`ereendeuxp´eriodess´epar´eesdesix mois.Ler ´esultatobtenua boulevers´e

lesespritsen montrantdemani `ereirr´efutablequela vitessede lalumi`ereestidentiqueauxdeux moments,cequi nepouvaitque signifierquel'Ether n'existaitpas.L 'invariancedela vitessede la

lumi`erequelquesoitler ´ef´erentielconsid´er´eposaitun probl `ememajeur`alaphysique duXIXeme

7

CHAPITRE1.RAPPELS DERELATIVIT

ERESTREINTE

si`eclecarelle invalidaitles conceptsdela m´ecaniquenewtonienne. C'estAlbertEinstein qui,dans l'undeces troisarticles de1905,apporta uneinterpr´etationphy-

sique`acesr ´esultatsexp´erimentauxenutilisant desavanc ´eesth´eoriquesdeHenri Poincar´eetH.A.

Lorentzpermettantuner´e´ecrituredelatransformation deGalil´eeenincluant l'invariancedela vitessedela lumi`ere.Nousallonsd´emontrercettetransformationen utilisantuned ´emonstration simpleprenant encomptelesdeuxpostulats debasede larelativit ´erestr einte:

•Postulat1:Lavitessede lalumi `ere estconstanteet identiquedanstouslesr´ef´erentielsd'inertie

•Postulat2:Lesloisde laphysique sontidentiquesdans touslesr ´ef´ erentielsd'inertie. Iln'ya pasde

Onrappelleau passagequ'un r´ef´erentield'inertie(ougalil ´een)estun r´ef´erentielo`uuncorps au

reposdanscer´ef´erentieln'estsoumis`aaucunepseudo-for ce(s'il estaurepos,ilr esteaur epos). Ens'appuyantsur lepr emierpostulat,il nousestpossible ded´eterminerlesr elationsexistantes rep´er´eparles coordonn´ees(x,y,z,t).Unsecond r´ef´erentield'inertienot´eR sed´eplace`avitesse constante v=v e x dansler ´ef´erentielR.Onsupposera parsimplicit´equeles axesdeces deux rep`eressontparall`elesentre eux(lesaxesdur ep`ereR serontd´enomm´es(x ,y ,z ,t

ncedepens ´eesuivante: deuxphotons sont´emislelong del'axe (Ox)dansler ´ef´erentielRdepuis

lespoints(x p1 ,0,0,0)et(x p2 ,0,0,0)avecdesvitesses oppos´eesdetelle fac¸on quecesphotons vont R R ,onconsid `ereralesmˆemesphotons´emisdepuisles points(x p1 ,0,0,0)et(x p2 ,0,0,0)etsecr oi- santaupoint (x ,0,0,t ).Nousallons rechercher les´equationsliantles coordonn´eesdece mˆeme pointdecr oisementdans lesdeuxr´ef´erentiels. •Dansler ´ef´erentielR,lesphotons secr oisentaumoment o`uleursabscisses selon(Ox)sont identiques,cequi donnelar elationx=x p1 +ct=x p2 -cto`unousavons pos´earbitrairement que x p2 >x p1 (cestlavitesse delalumi `ere).Aveclem ˆemeraisonnementdans ler´ef´erentielR eten vertudupremierpostulatdelar elativit´e,nousobtenons sansdif ficult´equex =x p1 +ct =x p2 -ct Pour´ecrirelapremi`eres´erieder elationsentre lescoordonn´eesdupoint decroisement dansles deuxr´ef´erentiels,nousallonsformer deuxconstantesAetBd´efiniescomme A= x p1 x p1 x -ct x-ct B= x p2 x p2 x +ct x+ct (1.1) cequipermet der´e´ecrireles´equationspr´ec´edentescomme x A+B 2 x- A-B 2 ct ct A+B 2 ct- A-B 2 x(1.2)

Enposantque γ=

A+B 2 etδ= A-B 2 ,onobtient alorslesdeux relations reliantles coordonn´ees 8

1.1.POSTULATS DEBASEETTRANSFORMATION DELORENTZ

spatio-temporelles x =γx-δct ct =γct-δx(1.3) y =y z =z

Deuxconstantesind ´etermin´eesrestent n´eanmoinspr´esentesausein decejeu d'´equations.Afinde

d´eterminerleursvaleurs, nouspouvons remarquer quecesr elationssontvalables quelquesoitle choixdel'origine dechacun desdeuxr ep`eresetenparticuliersi cechoixest telquele pointde croisementsesitue`al'originedu rep `ereR (x p1 =-x p2 )etsi l'originedur ep`ereResttellequ'en t=0,l'originedu rep `ereR coincideavecl'origine durep `ereR.Danscette configuration,on aura doncx =0etx=vt,cequi permet`apartirdu syst`emed'´equationspr´ec´edentd'end ´eduireque

0=γvt-δct→

v c =β.Lejeu d'´equationssetransforme alorsen x =γ(x-vt) ct =γ(ct-βx)(1.4) y =y z =z Ilreste encoreuneconstanteind ´etermin´eedansnotr esyst `eme.Nousallons pouvoirlever cettein- certitudeenutilisant lesecondpostulatdelar elativit´e,c'est`adire quenousallonsreprendr etoutle raisonnementpr ´ec´edentennous plac¸ant dansler ´ef´erentielR etenconsid ´erantler ´eferentielRen mouvementdansR avecunevitesse ´egale`a-v e x .Enr eprenanttoutes les´etapesduraisonnement pr´ec´edent,onarrive alors`aunjeu d'´equationtelque x=γ(x +vt ct=γ(ct +βx )(1.5) y=y z=z Enutilisantles deuxjeux d'´equationsquipar d´efinitiondoiventˆetreidentiquesonarrive`a x =γ(γ(x +vt v c

γ(ct

v c x 2 (1-β 2quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

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