Loi exponentielle exercices corrigés. Document gratuit disponible
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Corrig´es des exercices
Corrig´es des exercices 325
Chapitre 1 : Variables al´eatoires
Exercice 1.1
Clairement, on a (avec la conventionA
0 n j=1 A j =A n n j=1 A j θA j1 et : n =1 A n n =1 A n θA n 1La suite{A
n θA n 1 }´etant une suite d"´ev´enements incompatibles, on a : P( n =1 A n n =1 P(A n θA n 1 = lim n Σn j=1 P(A j θA j1 = lim n P n j=1 A j θA j1 = lim n P(A nNote : SoitXunev.a.defonctionder´epartitionF
X , montrons queP(X X (x .Consid´erons l"´ev´enementA n =]ε,x 1 n ]-soit, avec la convention de notation usuelle (Xνx 1 n .Comme n =1 A n =]ε,x[, on a :P(XP(Xνx
1 n ) = lim n F X x 1 n .Or,enraisondela non-d´ecroissance deF X ,lim n F X x 1 n ) = lim Σ0 F X (x)=F X x Exercice 1.2
Utilisons le fait que{
B n }est une suite croissante. On a : P( n =1 B n )=1P( n =1 B n =1lim n P(B n =1lim n [1P(B n )] = lim n P(B n326 Statistique - La th´eorie et ses applications
Note : Dans le meme contexte d"application que celui de la note pr´ec´edente, prenonsB n =]ff,x+ 1 n ].On a ainsi lim n P(B n ) = lim n F X x+ 1 n F X x Comme n =1 B n =]ff,x]ild´ecoule du r´esultat pr´ec´edent queF X x F X x ce qui ´etablit la continuit´e`adroitedelafonctionder´epartition.Exercice 1.3
Consid´erons la suite croissante d"´ev´en´ements{A n }avecA n =]ff,n]. Comme n =1 A n =R,ona: P( n =1 A n ) = 1 = lim n P(A n ) = lim n F X (n).En raison de la non d´ecroissance deF
X , on a lim n F X n ) = lim x Fquotesdbs_dbs18.pdfusesText_24[PDF] loi exponentielle paramètre lambda
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