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L2 Économie Probabilités

VARIABLES ALÉATOIRES DISCRÈTES

§ 1. - Lois quelconques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 § 2. - Lois binomiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 § 3. - Lois et séries géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 § 4. - Lois de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

§ 1. -

Lois quelconques Rappels de cours : Espérance et variance

SiXest une variable aléatoire discrète,

E(X)=X

k2X( )kP(X=k) etVar(X)=E(X2)E(X)2=X k2X( )k

2P(X=k)

E(X)2:Exercice 1.1.On considère le lancé d"un dé pipé dont la loi est donnée par le tableau suivant(aveca2R) :k123456

P(X=k)a2a3a3a2aa

(a)À quelle(s) condition(s) surace tableau définit bien une loi de probabilité?(b)Calculer l"espérance et la variance deX.Corrigé de l"exercice 1.1.

(a)Pour démontrer qu"on est en présence d"une loi de probabilité, il faut vérifier les deux

conditions suivantes :

8k2 f1;:::;6g;P(X=k)0 etP6

k=1P(X=k)=1: La première condition donnea0; regardons ce que donne la deuxième : a+2a+3a+3a+2a+a=1()12a=1()a=112 1 On est donc en présence d"une loi de probabilité si et seulement sia=112 . Le tableau devientk123456

P(X=k)1

122
123
123
122
121
12 (On ne simplifie par les fractions car on va devoir les additionner pour calculer l"espérance et la variance.) (b)Calculons l"espérance deX:

E(X)=6X

k=1kP(X=k)=112 +412
+912
+1212
+1012
+612
=4212 =72 =3;5:

Calculons la variance :

Var(X)=E(X2)E(X)2;

avec

E(X)=6X

k=1k

2P(X=k)=112

+812
+2712
+4812
+5012
+3612
=17012 =14;1667: et donc :

Var(X)=17012

722

2=17012

494
=17012 14712
=2312 =1;9167:

§ 2. -

Lois binomiales Rappels de cours : Loi binomiale

SiXsuit une loi binomiale de paramètrespetn, on a, pourk2 f0;1;2;:::;ng,

P(X=k)=n

kpk(1p)nk;E(X)=npetVar(X)=np(1p):Exercice 2.1.La proportion de la population française qui a un groupe sanguin AB est de 3%.Dans un hôpital, un patient de groupe sanguin AB nécessite une transfusion d"urgence et il n"y

a plus de sang AB disponible. Quelle est la probabilité que, parmi les 40 personnes en salle

d"attente, les médecins trouvent un individu de groupe sanguin AB pour pouvoir eectuer latransfusion? Et si on était au Japon, où il y a 10% des personnes de groupe AB? Et à Hawaï

où seulement 1% des personnes sont du groupe AB?On supposera que les groupes sanguinsdes personnes dans la salle d"attente sont indépendants les uns des autres.

Corrigé de l"exercice 2.1.SoitXle nombre de personnes de la salle d"attente qui ont un groupe 2 on aP(A)=0;03. La variable aléatoireXsuit une loi binomiale de paramètresp=P(A)=0;03 etn=40. On a

P(X1)=1P(X=0)=140

0(0;03)0(0;97)40=1(0;97)40'70;43%:

Au Japon, la probabilité devient

P(X1)=1(0;90)40'98;52%;

et à Hawaï

P(X1)=1(0;99)40'33;10%:Exercice 2.2.Dans le cadre du test d"un vaccin pour une infection, on fait plusieurs expé-riences pour mesurer l"ecacité du vaccin :

on teste le v accinsur 10 animaux et aucun n"est malade ;-on teste le v accinsur 17 animaux et un seul est malade ;

on teste le v accinsur 23 animaux et deux seulement sont malades. On sait que l"infection touche 25% du bétail lorsque les bêtes ne sont pas vaccinées.

(a)SoitXla variable aléatoire discrète comptant le nombre de bêtes malades parminsi ellesne sont pas vaccinées. Quelle est la loi suivie parX? Calculer les probabilitésP(X=0)pour l"expérience n

o1,P(X1) pour la no2 etP(X2) pour la no3.(b)Parmi les trois expériences précédentes, quelle est la plus concluante pour prouver l"e-cacité du vaccin?

Corrigé de l"exercice 2.2.

(a)La loi deXest une loi binomiale de paramètrep=0;25 etn; la valeur denest 10, 17 ou

23 selon l"expérience considérée.

Pour la première expérience, on an=10 et donc

P(X=0)=10

0(0;25)0(0;75)100=(0;75)10'5;63%:

Pour la deuxième expérience, on an=17 et donc

P(X1)=P(X=0)+P(X=1)=(0;75)17+10

1(0;25)(0;75)16'5;01%:

Pour la troisième expérience, on an=23 et donc

P(X2)=(0;75)23+10

1(0;25)(0;75)22+10

2(0;25)2(0;75)21'4;92%:

(b)L"expérience la plus concluante est celle qui a la probabilité la plus faible de se produire

lorsqu"on suppose que le vaccin n"a aucun eet. La troisième étant celle qui a la plus petite probabilité, c"est celle qui est la plus concluante. 3

§ 3. -Lois et séries géométriques

Rappels de cours : Loi géométrique

SiXsuit une loi géométrique de paramètrep, on a, pourk1,

P(X=k)=n

kp(1p)k1;E(X)=1p etVar(X)=1pp

2:Exercice 3.1 (Temps d"attente de métros).On suppose que le temps d"attente (en minutes)d"un métro suit une loi géométrique. Durant les heures de pointes du matin, le temps d"attente

moyen d"un métro pour la ligne 8 est de 3 minutes tandis qu"il est de 2 min pour la ligne 9.

(a)Quels sont les paramètres des lois géométriques pour les lignes no8 et no9?(b)Quelle est la probabilité d"attendre entre 2 et 4 minutes un métro de la ligne 8? de laligne 9?

(c)Même question pour un temps d"attente de plus de 5 minutes.Corrigé de l"exercice 3.1.NotonsXle temps d"attente de la ligne 8 etYcelui de la ligne 9.

(a)Le temps moyen d"attente est l"espérance donc on doit avoirE(X)=3 etE(Y)=2. L"espérance d"une loi géométrique de paramètrepest1p donc le paramètre deXest13 tandis que celui deYest12 . On a donc

P(X=k)=13

(23 )k1etP(Y=k)=12 (12 )k1=(12 )k: (b)On a

P(2X4)=P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)

13 (23 )21+13 (23 )31+13 (23 )41=29 +427
+881
=18+12+881

3881'46;91%:

et

P(2Y4)=P(Y=2)+P(Y=3)+P(Y=4)

=(12 )2+(12 )3+(12 )4=14 +18 +116
=4+2+116

716'43;75%:

(c)On a (rappelons qu"une loi géométrique prend ses valeurs dansNdonc ne prend jamais la valeur 0)

P(X5)=1P(X<5)

=1P(X=1)P(X=2)P(X=3)P(X=4) =1P(X=1)P(2X4)=113 3881
=81273881

1681'19;75%:

Autre m´ethode. On peut aussi utiliser la formuleP(X5)=P+1 k=5P(X=k) et calculer la somme en faisant le changement de variablek0=k5. 4

Faisons le même calcul pourY:

P(X5)=1P(Y=1)P(2Y4)=112

716
=168716

116'6;25%:Exercice 3.2 (Une variante de la loi géométrique).Soit un paquet de 52 cartes.

(a)On tire une carte dans la paquet. SoitAl"événement " on tire un trèfle numéroté de 2 à7»,Bl"événement "on tire un roi, une reine ou un valet de trèfle» etC=A\B. CalculerP(C).(b)On tire maintenant indéfiniment des cartes du paquets en les remettant à chaque fois.NotonsSl"événement "Ase produit avantB» etSkl"événement " lesk1 premierstirages correspondent à l"événementCet lek-ième à l"événementA». CalculerP(Sk)puis montrer qu"on a l"union disjointeS=S+1

k=1Sk.(c)En déduire queP(S)=P+1 k=1P(Sk) et calculerP(S).Corrigé de l"exercice 3.2. (a)On aP(A)=652 etP(B)=352 . Les événementsAetBsont incompatibles doncP(A\B)=0.

Par suite,

=1P(A)P(B)=4352: (b)Puisque les tirages sont indépendants (il y a remise à chaque fois et on tire les cartes au hasard), on a

P(Sk)=P(C)k1P(A)=(4352

)k1652 Supposons que l"événementSse produise. Il existe alors un tiragektel queAse soit produit la première fois auk-ième tirage et qu"au cours d"aucun des tirages précédentes ni l"événementAni l"événementBne se soient produit (autrement dit, à chaque fois, c"est l"événementCqui s"est produit); cette événement est exactementSk, doncSest l"union, pour tous les entiersk1, desSk. Cette union est disjointe car tous lesSksont incompatibles. (c)Puisque lesSksont incompatibles, on a

P(S)=PS+1

k=1Sk=P+1 k=1P(Sk)=652 P +1 k=1 4352
k1:

Faisons le changement de variablek0=k1 :

P(S)=652

P +1 k 0=0 4352
k0=652

114352

=652 1952
=69 =23: Il y a donc 66;67% de chances que l"événementAse produise avant l"événementB. 5

§ 4. -Lois de P oisson

Rappels de cours : Loi de Poisson

SiXsuit une loi de Poisson de paramètre, on a

P(X=k)=kk!e;E(X)=etVar(X)=:

Rappelons que0=1 et 0!=1.Exercice 4.1 (Nombre de désintégrations d"une substance radioactive).Le nombreXdedésintégrations d"une substance radioactive durant un intervalle de temps de 7,5 secondes suit

une loi de Poison de paramètre 3;87.

(a)Quel est le nombre moyen de désintégrations durant un intervalle de temps de 7,5 se-condes? Calculer l"écart-type correspondant.

(b)Déterminer la probabilité qu"il n"y ait aucune désintégration durant un intervalle detemps de 7,5 secondes.

(c)Quelle est la probabilité qu"il y ait entre 3 et 5 désintégrations durant un intervalle detemps de 7,5 secondes?

Corrigé de l"exercice 4.1.

(a)Le nombre moyen de désintégrations est l"espérance deX. PuisqueXsuit une loi de Pois- son de paramètre=3;87, on aE(X)=et donc il y a en moyenne 3;87 désintégrations durant chaque période de 7,5 secondes. La variance d"une loi de Poisson de paramètreest égale à=3;87 donc l"écart-type estp3;87=1;97. (b)On a

P(X=0)=00!

e=e'0;0209:

Il y a 2,09% de chances qu"il y ait zéro désintégrations durant une période de 7,5 secondes.

(c)On a

P(3X5)=P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)

36
e+424 e+5120 e=36 +424
+5120
e '0;5473: Il y a 54,73% de chances qu"il y ait entre 3 et 5 désintégrations durant une période de 7,5

secondes.Exercice 4.2 (Bombardement de Londres).Durant la seconde guerre mondiale, le sud deLondres a été bombardé continuellement pour un total de 537 impacts de bombes. On divise

cette partie de Londres en 576 zones de 25 hectares chacune et on noteNla variable aléatoiretelle queN=kest l"événement " une zone a été touchée parkimpacts ». On suppose queNsuit une loi de Poisson.

(a)Quel est le paramètre de la loi de Poisson?6

(b)Calculer le nombre de zones ayant reçu 1, 2, 3, 4 et plus de 5 impacts. Les bombarde-ments étaient-ils ciblés sur des zones spécifiques ou étaient-ils fait à l"aveugle?

(c)Les données réelles sont reproduites dans le tableau suivant. Y a-t-il concordance avecles résultats précédents?

nombre d"impacts012345nombre de zones229211933571

Corrigé de l"exercice 4.2.

bombardements par zones. Puisqu"il y a 537 impacts et 576 zones, on a=537576 '0;9323. (b)Le nombre de zones ayant reçukimpacts est égal à 576P(N=k). Calculons les proba- bilités :

P(N=0)=00!

e=e'e0;9323'0;393651

P(N=1)=11!

e=e'e0;9323'0;366997

P(N=2)=22!

e=22 e'e0;9323'0;171074

P(N=3)=33!

e=36 e'e0;9323'0;053164

P(N=4)=44!

e=424 e=e'e0;9323'0;012391

P(N5)=1P(N<5)=1P(N4)

=1P(N=0)P(N=1)P(N=2)P(N=3)P(N=4) =0;002723: Pour obtenir les nombres de zones correspondant aux nombres d"impacts par zone, on multiplie par 576 et on arrondi le résultat :nombre d"impacts012345nombre de zones227211993172 On remarque qu"il y a assez peu de zones ayant beaucoup d"impacts. On peut donc consi- dérer que les bombardements étaient fait à l"aveugle.

(c)Quand on compare les chires de deux tableaux, on voit une nette correspondance :nombre d"impacts012345nombre r

´eel de zones229211933571

nombre calcul

´e de zones227211993172

Il faudrait néanmoins faire un test statistique (test du2par exemple) pour vérifier la

correspondance.Exercice 4.3.Un ambassadeur reçoit 500 personnes lors d"une réception le 1er janvier. Il aprévu d"orir un cadeau coûtant 20 euros à chaque invité, sauf aux invités dont l"anniversairetombe le 1er janvier, qui auront un cadeau coûtant 100 euros. Pour simplifier, on considérera

qu"une année a 365 jours (on néglige les années bissextiles) et que toutes les dates d"anniver-

7 saire ont la même probabilité.

(a)SoitXla variable aléatoire " nombre d"invité ayant leur anniversaire qui tombe le 1erjanvier». Quelle est la loi suivie parX? En déduire le coût moyen des cadeaux.(b)On approximeXpar une loi de PoissonY. Trouver le paramètre. Le coût moyen descadeaux change-t-il? Comparer dans les deux cas de figure la probabilité qu"il n"y ait 0

des invités né le 1er janvier. Même question pour 1, 2, 3 ou 4 invités. L"approximation par la loi de Poisson est-elle bonne?

Corrigé de l"exercice 4.3.

(a)Vu les hypothèses de l"énoncé, la probabilité que la date d"anniversaire d"un invité tombe

le 1er janvier estp=1365 . Puisque les dates d"anniversaire de tous les invités sont indépen- dantes entre elles,Xsuit une loi binomiale de paramètrespetn=500. Le nombre moyen de personnes ayant un anniversaire tombant le 1er janvier est doncE(X)=np=500365

1;37. Le coût moyen des cadeaux sera donc

500365

100+(500500365

)20=3690000365 '10109;59: Le coût moyen des cadeaux de la réception sera de 10109,59 euros.

(b)Puisque le paramètre d"une loi de Poisson est égal à son espérance, on va prendre=500365

Le coût moyen des cadeaux ne change pas, car l"espérance est la même dans les deux cas. Les probabilités qu"il n"y aitkinvités né le 1er janvier sont

P(X=k)=k

500pk(1p)500k=k

500(364365

)500etP(Y=k)=kk!e: Comparons dans le tableau suivant les valeurs trouvées pourk2 f0;1;2;3;4g:k01234

P(X=k)0,25370,34840,23880,10890,0372

P(Y=k)0,25410,34810,23850,10890,0373

Les résultats obtenus sont très proches. On pouvait le prévoir, car l"approximation d"une loi binomiale par une loi de Poisson est relativement bonne lorsquepest petit,ngrand et =npni grand ni petit. Pour démontrer que l"approximation est bonne, il faudrait faire un test statistique approprié (test du2). 8quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

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