La loi normale
µ = 0 et ? = 1 : loi normale centrée/réduite. Chapitre 3. 2012–2013 Cette formule n'est pas utile pour ce cours ! Chapitre 3. 2012–2013 ...
LA LOI NORMALE
Loi normale = loi de Gauss = loi de Laplace-gauss : ? Courbe en forme de cloche Loi normale centrée réduite: moyenne = 0 écart type = 1.
Lois normales cours
http://mathsfg.net.free.fr/terminale/TS2011/probabilites/loinormalecoursTS.pdf
Cours de probabilités et statistiques
De plus ?X suit encore une loi normale centrée réduite. preuve : le calcul de l'espérance est immédiat quand on a observé que xf(x) est une fonction impaire.
Cours de Statistiques inférentielles
Calculons maintenant l'espérance et la variance. Selon la définition de la loi du ?2 chaque variable. Zi suit la loi normale centrée réduite. Ainsi E(Z2.
LOI NORMALE
conçoit une loi statistique continue appelée loi normale ou loi de Laplace- Pour une loi normale centrée réduite
Lois de probabilité à densité Loi normale - Lycée dAdultes
Mar 31 2015 2.2 La loi normale centrée réduite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9. 2.2.1 La densité de probabilité de Laplace-Gauss .
Terminale S - Loi normale
Soit une variable aléatoire à valeurs réelles. On dit qu'elle suit la loi normale centrée réduite (0 ; 1) si elle admet pour densité la fonction ?.
LOI NORMALE CENTREE REDUITE
LOI NORMALE CENTREE REDUITE. Cette table indique pour certaines valeurs de t
COURS DE PROBABILITE
Support de cours Statistique Mathématique. SMOUNI Rachid On appelle loi normale centrée réduite la loi normale de paramètres : la moyenne.
Le modele de la loi normaleCa lculsp ratiques
Chapitre 3
La loi normale
Universite de Paris Ouest2012{2013
Chapitre 32012{2013
Le modele de la loi normaleCa lculsp ratiques
Sommaire
1Le mo deled ela lo in ormale
Un exemple
Proprietes de la loi normale
2C alculsp ratiques
Chapitre 32012{2013
Le modele de la loi normaleCa lculsp ratiques
Un exemple pour commencer : Test de memoire
Etude de lacapacite de memoired'adultes atteints d'une maladie neurologique. Chaque individu lit 30 mots et doit ensuite en reciter le plus possible. IPopulationP=fpatients atteints de la maladieg
IVariablequantitativeX= "nombre de mots retenus"
I2 parametres;.Chapitre 32012{2013
Le modele de la loi normaleCa lculsp ratiques
La courbe "en cloche"
En sciences humaines on observe souvent des distributions I plut^otsymetriquesautour de I avec une forme declochePourpouvoir faire des calculs, on va parfois supposer queXsuit une distribution "modele", appeleeLoi normale.Chapitre 32012{2013Le modele de la loi normaleCa lculsp ratiques
La courbe "en cloche"
En sciences humaines on observe souvent des distributions I plut^otsymetriquesautour de I avec une forme declochePourpouvoir faire des calculs, on va parfois supposer queXsuit une distribution "modele", appeleeLoi normale.Chapitre 32012{2013Le modele de la loi normaleCa lculsp ratiques
Premieres proprietes de la loi normale
SiXsuit cette distribution "modele", on lui associe une courbe : I courbesymetriquepar rapport a I forme declocheI l'aire grisee represente la proportion cumuleeChapitre 32012{2013Le modele de la loi normaleCa lculsp ratiques
Premieres proprietes de la loi normale
I courbesymetriquepar rapport a I forme declocheI l'aire grisee represente la proportion cumuleeChapitre 32012{2013Le modele de la loi normaleCa lculsp ratiques
Parametres de la loi normale
Pour chaque;, il existe uneloi normale de moyenneet d'ecart-type.On la noteN(;).Cas particulier
= 0 et= 1 : loi normale centree/reduite.Lorsque l'on suppose qu'une variableXsuit le modele de la loi normale
N(;), on ecrit
X N(;):Chapitre 32012{2013
Le modele de la loi normaleCa lculsp ratiques
Parametres de la loi normale
Pour chaque;, il existe uneloi normale de moyenneet d'ecart-type.On la noteN(;).Cas particulier
= 0 et= 1 : loi normale centree/reduite.Lorsque l'on suppose qu'une variableXsuit le modele de la loi normale
N(;), on ecrit
X N(;):Chapitre 32012{2013
Le modele de la loi normaleCa lculsp ratiques
Parametres de la loi normale
Exemples de lois normales avecmoyennes dierentes, m^eme ecart-type :3-1N(3,1)N(-1,1)Exemples de lois normales avec m^eme moyenne,ecart-types dierents:3N(3,1)N(3,2)Chapitre 32012{2013
Le modele de la loi normaleCa lculsp ratiques
Parametres de la loi normale
Exemples de lois normales avecmoyennes dierentes, m^eme ecart-type :3-1N(3,1)N(-1,1)Exemples de lois normales avec m^eme moyenne,ecart-types dierents:3N(3,1)N(3,2)Chapitre 32012{2013
Le modele de la loi normaleCa lculsp ratiques
Pour les plus matheux : l'equation de la courbe
Pour la tracer a la calculatrice/ordinateur,
y=1 p2exp (x)222Cette formule n'est pas utile pour ce cours!
Chapitre 32012{2013
Le modele de la loi normaleCa lculsp ratiques
Exemple : QI
Etude sur leQIde 515 enfants du m^eme ^age,= 100;1,= 5;7.En rose, courbe de la loi normaleN(= 100;1;= 5;7).Chapitre 32012{2013
Le modele de la loi normaleCa lculsp ratiques
Exemple : QI
Etude sur leQIde 515 enfants du m^eme ^age,= 100;1,= 5;7.En rose, courbe de la loi normaleN(= 100;1;= 5;7).Chapitre 32012{2013
Le modele de la loi normaleCa lculsp ratiques
Loi normaleN(;) : a retenir
I distribution "modele"pour desvariables quantitatives continues I moyenne, ecart-type I allure de la courbe : I aires = proportions cumuleesChapitre 32012{2013Le modele de la loi normaleCa lculsp ratiques
Sommaire
1Le mo deled ela lo in ormale
2C alculsp ratiques
Loi normale centree/reduite
Loi normale quelconque
Quantiles
Chapitre 32012{2013
Le modele de la loi normaleCa lculsp ratiques
Loi normale centree/reduiteN(0;1)Exemple
On suppose qu'une certaine variableX N(0;1). Pour quelle proportiond'individus est-ce queX1;56?On chercheP(X1;56) (rappel : on ecrit aussiF(1;56)).0airegris ee=F(1,56)1,56Chapitre 32012{2013
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Loi normale centree/reduiteN(0;1)Exemple
On suppose qu'une certaine variableX N(0;1). Pour quelle proportiond'individus est-ce queX1;56?On chercheP(X1;56) (rappel : on ecrit aussiF(1;56)).0airegris ee=F(1,56)1,56Chapitre 32012{2013
Le modele de la loi normaleCa lculsp ratiques
Loi normale centree/reduiteN(0;1)Exemple
On suppose qu'une certaine variableX N(0;1). Pour quelle proportion d'individus est-ce queX1;56?On chercheP(X1;56) (rappel : on ecrit aussiF(1;56)).On cherche
1,5 6 d ansla table::::0;06:::. ..1;5:::0:9406::: ...DoncP(X1;56) = 0;9406. Pour 94;06 % des individus, la variableXest inferieure a 1;56.Chapitre 32012{2013Le modele de la loi normaleCa lculsp ratiques
Loi normale centree/reduiteN(0;1)Exemple
On suppose qu'une certaine variableX N(0;1). Pour quelle proportion d'individus est-ce queX1;56?On chercheP(X1;56) (rappel : on ecrit aussiF(1;56)).On cherche
1,5 6 d ansla table::::0;06:::. ..1;5:::0:9406::: ...DoncP(X1;56) = 0;9406. Pour 94;06 % des individus, la variableXest inferieure a 1;56.Chapitre 32012{2013Le modele de la loi normaleCa lculsp ratiques
Loi normale centree/reduiteN(0;1)Exemple
On suppose qu'une certaine variableX N(0;1). Pour quelle proportion d'individus est-ce queX1;49?On chercheP(X1;49).On ecrit d'abord P(X1;49) = 1P(X1;49) = 1F(1;49)On cherche1,4 9d ansla table.::: :::0;09. ..1;4::: :::0:9319 ...DoncP(X1;49) = 0;9319. SoitP(X1;49) = 10:9319 = 0:0681.Chapitre 32012{2013Le modele de la loi normaleCa lculsp ratiques
Loi normale centree/reduiteN(0;1)Exemple
On suppose qu'une certaine variableX N(0;1). Pour quelle proportion d'individus est-ce queX1;49?On chercheP(X1;49).On ecrit d'abord P(X1;49) = 1P(X1;49) = 1F(1;49)On cherche1,4 9d ansla table.::: :::0;09. ..1;4::: :::0:9319 ...DoncP(X1;49) = 0;9319. SoitP(X1;49) = 10:9319 = 0:0681.Chapitre 32012{2013Le modele de la loi normaleCa lculsp ratiques
Loi normale centree/reduiteN(0;1)Exemple
On suppose qu'une certaine variableX N(0;1). Pour quelle proportion d'individus est-ce queX1;49?On chercheP(X1;49).On ecrit d'abord P(X1;49) = 1P(X1;49) = 1F(1;49)On cherche1,4 9d ansla table.::: :::0;09. ..1;4::: :::0:9319 ...DoncP(X1;49) = 0;9319. SoitP(X1;49) = 10:9319 = 0:0681.Chapitre 32012{2013Le modele de la loi normaleCa lculsp ratiques
Loi normale centree/reduiteN(0;1) : valeurs negativesExemple On suppose qu'une certaine variableX N(0;1). Pour quelle proportionP(X1;1) = 1P(X1;1) = 10;8643:
Finalement,P(X 1;1) = 0;1357:Chapitre 32012{2013
Le modele de la loi normaleCa lculsp ratiques
Loi normale centree/reduiteN(0;1) : valeurs negativesExemple On suppose qu'une certaine variableX N(0;1). Pour quelle proportionP(X1;1) = 1P(X1;1) = 10;8643:
Finalement,P(X 1;1) = 0;1357:Chapitre 32012{2013
Le modele de la loi normaleCa lculsp ratiques
Loi normale centree/reduiteN(0;1) : valeurs negativesExemple On suppose qu'une certaine variableX N(0;1). Pour quelle proportionP(X1;1) = 1P(X1;1) = 10;8643:
Finalement,P(X 1;1) = 0;1357:Chapitre 32012{2013
Le modele de la loi normaleCa lculsp ratiques
Loi normale centree/reduiteN(0;1) : valeurs negativesExemple On suppose qu'une certaine variableX N(0;1). Pour quelle proportionP(X1;1) = 1P(X1;1) = 10;8643:
Finalement,P(X 1;1) = 0;1357:Chapitre 32012{2013
Le modele de la loi normaleCa lculsp ratiques
Loi normale centree/reduiteN(0;1) : valeurs negativesA retenir :
Le modele de la loi normaleCa lculsp ratiques
Calculs avec laN(0;1), tous les cas
Pour n'importe quela>0,
IP(Xa)0a
)tableIIP(Xa)0a = 10a )cas IIIIP(X a)0-a=0a )cas IIIVP(X a)0-a=0a )cas IChapitre 32012{2013Le modele de la loi normaleCa lculsp ratiques
Loi normale quelconqueN(;)
I Pour faire des calculs avec uneN(;), on se ramene a la loiN(0;1).Theoreme
SiX N(;) alorsX
N(0;1)=Z:On dit que l'oncentre et reduitX.On utilise la lettreZpour designer une loi normale centree/reduite.Chapitre 32012{2013
Le modele de la loi normaleCa lculsp ratiques
Loi normale quelconqueN(;)
I Pour faire des calculs avec uneN(;), on se ramene a la loiN(0;1).Theoreme
SiX N(;) alorsX
N(0;1)=Z:On dit que l'oncentre et reduitX.On utilise la lettreZpour designer une loi normale centree/reduite.Chapitre 32012{2013
Le modele de la loi normaleCa lculsp ratiques
Loi normale quelconqueN(;)
I Pour faire des calculs avec uneN(;), on se ramene a la loiN(0;1).Theoreme
SiX N(;) alorsX
N(0;1)=Z:On dit que l'oncentre et reduitX.On utilise la lettreZpour designer une loi normale centree/reduite.Chapitre 32012{2013
Le modele de la loi normaleCa lculsp ratiques
Un exemple avec uneN(11;2)Exemple
On suppose qu'une certaine variableX N(11;2). Pour quelle proportion d'individus est-ce queX14?On chercheP(X14).IOncentre et on reduitX:X112
N(0;1).IP(X14) =PX112
14112=P(Z1;5)I On cherche 1;5 dans la table.On trouve nalementP(X14) = 0;9332.Chapitre 32012{2013
Le modele de la loi normaleCa lculsp ratiques
Un exemple avec uneN(11;2)Exemple
On suppose qu'une certaine variableX N(11;2). Pour quelle proportion d'individus est-ce queX14?On chercheP(X14).IOncentre et on reduitX:X112
N(0;1).IP(X14) =PX112
14112=P(Z1;5)I On cherche 1;5 dans la table.On trouve nalementP(X14) = 0;9332.Chapitre 32012{2013
Le modele de la loi normaleCa lculsp ratiques
Un exemple avec uneN(11;2)Exemple
On suppose qu'une certaine variableX N(11;2). Pour quelle proportion d'individus est-ce queX14?On chercheP(X14).IOncentre et on reduitX:X112
N(0;1).IP(X14) =PX112
14112=P(Z1;5)I On cherche 1;5 dans la table.On trouve nalementP(X14) = 0;9332.Chapitre 32012{2013
Le modele de la loi normaleCa lculsp ratiques
Un exemple avec uneN(11;2)Exemple
On suppose qu'une certaine variableX N(11;2). Pour quelle proportion d'individus est-ce queX14?On chercheP(X14).IOncentre et on reduitX:X112
N(0;1).IP(X14) =PX112
14112=P(Z1;5)I On cherche 1;5 dans la table.On trouve nalementP(X14) = 0;9332.Chapitre 32012{2013
Le modele de la loi normaleCa lculsp ratiques
Quantile>50% d'uneN(0;1)Exemple
On cherche le quantile a 97;5% pour laN(0;1).Cela revient a trouveratel queP(Za) = 0;975.On lit la tablea l'envers::::0;06:::.
..1;9:::0:9750::: ...DoncP(X1;96) = 0;9750.Le quantile recherche est donc 1;96.Notation
Le quantile d'ordrepour la loi normale centree/reduite est notez.Par exemple,z0;975= 1;96.Chapitre 32012{2013
Le modele de la loi normaleCa lculsp ratiques
Quantile>50% d'uneN(0;1)Exemple
On cherche le quantile a 97;5% pour laN(0;1).Cela revient a trouveratel queP(Za) = 0;975.On lit la tablea l'envers::::0;06:::.
..1;9:::0:9750::: ...DoncP(X1;96) = 0;9750.Le quantile recherche est donc 1;96.Notation
Le quantile d'ordrepour la loi normale centree/reduite est notez.Par exemple,z0;975= 1;96.Chapitre 32012{2013
Le modele de la loi normaleCa lculsp ratiques
Quantile>50% d'uneN(0;1)Exemple
On cherche le quantile a 97;5% pour laN(0;1).Cela revient a trouveratel queP(Za) = 0;975.On lit la tablea l'envers::::0;06:::.
..1;9:::0:9750::: ...DoncP(X1;96) = 0;9750.Le quantile recherche est donc 1;96.Notation
Le quantile d'ordrepour la loi normale centree/reduite est notez.Par exemple,z0;975= 1;96.Chapitre 32012{2013
Le modele de la loi normaleCa lculsp ratiques
Quantile>50% d'uneN(0;1)Exemple
On cherche le quantile a 97;5% pour laN(0;1).Cela revient a trouveratel queP(Za) = 0;975.On lit la tablea l'envers::::0;06:::.
..1;9:::0:9750::: ...DoncP(X1;96) = 0;9750.Le quantile recherche est donc 1;96.Notation
Le quantile d'ordrepour la loi normale centree/reduite est notez.Par exemple,z0;975= 1;96.Chapitre 32012{2013
Le modele de la loi normaleCa lculsp ratiques
Quantile<50% d'uneN(0;1)Exemple
On cherche le quantile a 14% pour laN(0;1).Cela revient a trouveratel queP(Za) = 0;14.Il n'y a pas de nombre<0;5 dans la table!00,14?
Le quantile est doncz0;14=1;08.Chapitre 32012{2013Le modele de la loi normaleCa lculsp ratiques
Quantile<50% d'uneN(0;1)Exemple
On cherche le quantile a 14% pour laN(0;1).Cela revient a trouveratel queP(Za) = 0;14.Il n'y a pas de nombre<0;5 dans la table!00,14?
Le quantile est doncz0;14=1;08.Chapitre 32012{2013Le modele de la loi normaleCa lculsp ratiques
Quantile<50% d'uneN(0;1)Exemple
On cherche le quantile a 14% pour laN(0;1).Cela revient a trouveratel queP(Za) = 0;14.Il n'y a pas de nombre<0;5 dans la table!00,14?0,14Le quantile est doncz0;14=1;08.Chapitre 32012{2013
Le modele de la loi normaleCa lculsp ratiques
Quantile<50% d'uneN(0;1)Exemple
On cherche le quantile a 14% pour laN(0;1).Cela revient a trouveratel queP(Za) = 0;14.Il n'y a pas de nombre<0;5 dans la table!00,14?0,14z
0,86=1 ,08Le quantile est doncz0;14=1;08.Chapitre 32012{2013
Le modele de la loi normaleCa lculsp ratiques
Quantile<50% d'uneN(0;1)Exemple
On cherche le quantile a 14% pour laN(0;1).Cela revient a trouveratel queP(Za) = 0;14.Il n'y a pas de nombre<0;5 dans la table!00,14-1,080,14z
0,86=1 ,08Le quantile est doncz0;14=1;08.Chapitre 32012{2013
Le modele de la loi normaleCa lculsp ratiques
Quantile<50% d'uneN(0;1)
A retenir :
z =z100,14-1,080,14z0,86=1 ,08par exemple : z
0;14=z0;86.Chapitre 32012{2013
Le modele de la loi normaleCa lculsp ratiques
Quantile d'une loi normale quelconque
NotonsQle quantile d'ordre alpha d'uneloi normale quelconque N(;).A retenir :
Q =+z: On "dereduit"et on "decentre"le quantile de la loi normale centree/reduite.Exercice Quel est le quantile a 90% pour une loi normaleN(11;2)?Chapitre 32012{2013Le modele de la loi normaleCa lculsp ratiques
Quantile d'une loi normale quelconque
NotonsQle quantile d'ordre alpha d'uneloi normale quelconque N(;).A retenir :
Q =+z: On "dereduit"et on "decentre"le quantile de la loi normale centree/reduite.Exercice Quel est le quantile a 90% pour une loi normaleN(11;2)?Chapitre 32012{2013quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47[PDF] loi normale cours et exercices corrigés
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[PDF] Loi normale, estimations etc
[PDF] loi n° 12-03 relative aux études d'impact sur l'environnement
[PDF] loi n° 36-15 sur l'eau
[PDF] loi pour l'égalité des chances des personnes handicapées
