Terminale S - Loi normale PDF Soit une variable aléatoire à

La loi normale

µ = 0 et ? = 1 : loi normale centrée/réduite. Chapitre 3. 2012–2013 Cette formule n'est pas utile pour ce cours ! Chapitre 3. 2012–2013 ...

LA LOI NORMALE

Loi normale = loi de Gauss = loi de Laplace-gauss : ? Courbe en forme de cloche Loi normale centrée réduite: moyenne = 0 écart type = 1.

Lois normales cours

http://mathsfg.net.free.fr/terminale/TS2011/probabilites/loinormalecoursTS.pdf

Cours de probabilités et statistiques

De plus ?X suit encore une loi normale centrée réduite. preuve : le calcul de l'espérance est immédiat quand on a observé que xf(x) est une fonction impaire.

Cours de Statistiques inférentielles

Calculons maintenant l'espérance et la variance. Selon la définition de la loi du ?2 chaque variable. Zi suit la loi normale centrée réduite. Ainsi E(Z2.

LOI NORMALE

conçoit une loi statistique continue appelée loi normale ou loi de Laplace- Pour une loi normale centrée réduite

Lois de probabilité à densité Loi normale - Lycée dAdultes

Mar 31 2015 2.2 La loi normale centrée réduite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9. 2.2.1 La densité de probabilité de Laplace-Gauss .

Terminale S - Loi normale

Soit une variable aléatoire à valeurs réelles. On dit qu'elle suit la loi normale centrée réduite (0 ; 1) si elle admet pour densité la fonction ?.

LOI NORMALE CENTREE REDUITE

LOI NORMALE CENTREE REDUITE. Cette table indique pour certaines valeurs de t

COURS DE PROBABILITE

Support de cours Statistique Mathématique. SMOUNI Rachid On appelle loi normale centrée réduite la loi normale de paramètres : la moyenne.

Loi normale

1) Définition

Soit ࢄ une variable aléatoire à valeurs réelles. On dit qu'elle suit la loi normale centrée réduite définie sur Թ par : ࣐(࢞)= (0 ; 1) Remarques : łLa fonction est continue et à valeurs strictement positives sur Թ łSa courbe représentative est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées łL'aire du domaine situé sous la courbe et au-dessus de l'axe des abscisses vaut 1 (admis) Donc on peut en conclure que la fonction peut bien être considérée comme densité de probabilité sur Թ.

Courbe de la fonction

2) Théorème 1

ĭ est définie par :

Pour tout

Représentation graphique :

Propriétés :

łPour tout réel ݔ on a

Ȱ (- ݔ) = 1 - Ȱ (ݔ)

Si ܺ

Remarque importante :

Les valeurs prises par une variable aléatoire suivant une loi normale ࣨ( 0 ; 1) ne s'obtiennent qu'à l'aide d'une calculatrice ou d'une table de valeurs de la fonction Ȱ

P(ܺ

ł ܾ ൒ 0 P( ܺ ൑ ܾ )= 0,5+ P (0 ൑ ܺ ൑ ܾ ł ܾ ൑ 0 P( ܺ ൑ ܾ )= 0,5 - P (ܾ ൑ ܺ La table de valeurs de Ȱ ne donne que les valeurs de P(ܺ ൑ ܾ) pour ܾ pour ܾ Ȱ ( - ܺ ) = 1 - Ȱ (ܺ

Exemple :

Soit ܺ

1) Calculer P( - ܺ

Avec la calculatrice on obtient P(- ܺ

Avec la table de valeurs

P (- ܺ

0,9032 - 1 +0.7019 0,6051

2) Calculer P (X )

Avec la table on obtient immédiatement P (ܺ

0,5 + 0,4554 0,9554

3) Théorème 2

est E( ࢄ) = 0

La variance de

4) Théorème

3 tel que

Démonstration :

Soit ܨ la fonction définie sur ] 0 ; + [ par ܨ(ݑ)=ܲ( െݑ ൑ܺ൑ݑ )= ߮׬

On constate que

lim = 1

Comme est strictement positive sur Թ, ܨ

existe un unique réel ݑ tel que ܨ résultat énoncé.

Exemples :

Pour

On obtient

1,96

Pour ߙ

On obtient ݑ

2,58

II) Théorème de Moivre - Laplace

Si ࢄ

suit une loi binomiale B ( ࢔ ; ࢖ ) alors la variable aléatoire ࢆ définie par : ࢆ converge en loi vers la loi normale centrée réduite

Ce théorème est admis

Rappel :

On dit que la variable aléatoire

suit la loi binomiale ࣜ( ݊ ; ݌ ) de paramètres ݊ et , si pour tout entier ݇ compris entre 0 et ݊, la loi de probabilité de ܺ est définie par : ܲ (ܺ (1െ݌)

Illustration :

Sur les figures suivantes les histogrammes bleus représentent la répartition de la loi binomiale et la courbe rouge représente la densité de la loi normale centrée réduite. On constate que lorsque n devient grand l'histogramme " converge » vers la courbe rouge ݊ = 20 ݁ݐ ݌ = 0,3 ݊ = 50 ݁ݐ ݌ = 0,3 ݊ = 100 ݁ݐ ݌ = 0,3 2

1) Définition

d'univers ) , si la variable suit la loi normale centrée réduite ࣨ( 0 ; 1 )

Remarques :

) est symétrique par rapport à la droite

2) La densité de ܺ

4) Graphique illustrant l'influence de ߪ

2) Fonction de répartition

) sa fonction de répartition ࡲ est définie par :

3) Propriété

Pour tout

Թ, pour tout ࢼ Թ si ࢼ alors ࡼ( ࢻ൑ࢄ൑ࢼ)= ۴(ࢼ)െ۴

4) Espérance mathématique et écart type

L'espérance mathématique d'une variable ࢄ qui suit la loi normale ൯ est ࣆ et son écart type de de ࢄ est ࣌

Exemples de calculs :

Comme précédemment pour le calcul de probabilités on utilisera soit la calculatrice, soit une table de valeurs.

Avec une calculatrice :

Sur une calculatrice, on peut calculer les ܺ

Exemple : avec ܺ

Pour calculer les probabilités P(ࢄ :

Avec une table de valeurs :

Soit on possède une table de valeurs donnant F(ݔ) = P(ܺ ) alors ܺ Soit on ne possède que la table de valeurs donnant Ȱ(x)=ܲ ( ܺ centrée réduite ࣨ ( 0 ; 1 ) alors ܺ

Exemple :

avec ܺ calculer la probabilité ݌ = P(1,3 : ଷ ) Ȱ(0,33)െ Ȱ(െ0,23) d'où ݌ Ȱ(0,33)െ(1െȰ(0,23)) 0,6293 - (1 - 0,5910) 0,2203

5) Résultats à retenir

Alorsquotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

[PDF] Terminale S - Loi normale Soit une variable aléatoire à

Loi normale

1) Définition

Courbe de la fonction

2) Théorème 1

ĭ est définie par :

Pour tout

Représentation graphique :

Propriétés :

łPour tout réel ݔ on a

Ȱ (- ݔ) = 1 - Ȱ (ݔ)

Si ܺ

Remarque importante :

P(ܺ

Exemple :

Soit ܺ

1) Calculer P( - ܺ

Avec la calculatrice on obtient P(- ܺ

Avec la table de valeurs

P (- ܺ

0,9032 - 1 +0.7019 0,6051

2) Calculer P (X )

Avec la table on obtient immédiatement P (ܺ

0,5 + 0,4554 0,9554

3) Théorème 2

La variance de

4) Théorème

Démonstration :

On constate que

Comme est strictement positive sur Թ, ܨ

Exemples :

On obtient

Pour ߙ

On obtient ݑ

II) Théorème de Moivre - Laplace

Si ࢄ

Ce théorème est admis

Rappel :

On dit que la variable aléatoire

Illustration :

1) Définition

Remarques :

2) La densité de ܺ

4) Graphique illustrant l'influence de ߪ

2) Fonction de répartition

3) Propriété

Pour tout

4) Espérance mathématique et écart type

Exemples de calculs :

Avec une calculatrice :

Sur une calculatrice, on peut calculer les ܺ

Exemple : avec ܺ

Pour calculer les probabilités P(ࢄ :

Avec une table de valeurs :

Exemple :

5) Résultats à retenir