NOUVEAUTÉS DE SOLIDWORKS® 2021— CAO 3D
la longueur de courbes et non la longueur cordale. Simplification et amélioration des assemblages. • Modèles simplifiés enregistrés en tant.
Nombre chromatique et sous-graphes induits (Partie 1)
8 juin 2020 Aucun cycle ? Forêt. Aucun cycle (induit) de longueur 4+ ? Graphe cordal. Marthe Bonamy. Nombre chromatique et sous-graphes induits.
Sur la coloration de certains graphes sans trou pair
16 nov. 2020 Un trou est un cycle de longueur ? 4. C4. C5. C6. C7. Définition. Un graphe est dit cordal s'il est sans trou. graphe non-cordal.
Longueur Arborescente des Graphes S´erie-Parall`eles†
La longueur d'une décomposition arborescente d'un graphe G est la plus grande 1 si et seulement si G est un graphe cordal (sans cycles induits de.
Géométrie hyperbolique
10 mars 2010 la longueur d'une courbe dans tout plan hyperbolique. En effet si A est un plan hyperbolique il existe une isométrie ? de A vers H2 unique ...
Théorie des graphes
17 mars 2012 Un graphe est cordal (ou triangulé) si tout cycle de longueur ? 4 possède une corde. G1 est cordal mais pas G2. Les graphes complets (Kn) ...
Graphes triangulés
6 avr. 2016 ... par les sommets d'un cycle de longueur 4 ou 5 contient un sommet adjacent `a tous les autres sommets du cycle. On dit aussi cordal.
Nombre chromatique et sous-graphes induits (Partie 2)
15 juin 2020 Un graphe est dit cordal si il ne contient pas de trou.a. aUn trou dans un graphe G est un cycle induit de G de longueur ? 4.
3 semaine du DE
occuper environ la moitié de la longueur de l'embryon. La ligne primitive résulte de la prolifération et (canal cordal – plaque cordale-corde dorsale) ...
STRUCTURE CORDALE de la micro-structure à la micro-fonction
structure cordale. • Epithélium (E). • Membrane basale structure cordale (2). Gray et al 2000 ... les plus étirables (jusqu'à 2 fois leur longueur).
Longueur Arborescente des Graphes
S´erie-Parall`eles†
Thomas Dissaux
1, Guillaume Ducoffe2, Nicolas Nisse1et Simon Nivelle3
1 Universit´e Cˆote d"Azur, Inria, CNRS, I3S, France2University of Bucharest&National Institute of Research and Development in Informatics, Romania
3INSP´E Paris, Sorbonne Universit´e, FranceLalongueurd"une d´ecomposition arborescente d"un grapheGest la plus grande distance entre deux sommets d"un
sac de la d´ecomposition. Lalongueur arborescentedeGest la plus petite longueur d"une de ses d´ecompositions ar-
borescentes. Ce param`etre a´et´e´etudi´e pour ses applications algorithmiques dans des probl`emes classiques comme le
probl`eme du voyageur de commerce ou le calcul de tables de routage compactes et´egalement pour ses liens avec la
largeur arborescente. D ´ecider si la longueur arborescente d"un graphe quelconque est au plus 2 est NP-complet, et lemeilleur algorithme d"approximation connu a un rapport d"approximation de 3 (il n"existe pas dec-approximation pour
c<32). Le probl`eme de calculer la longueur arborescente est facile dans certaines classes de graphes comme celle des
graphes planaires ext´erieurs. Cependant, rien n"est connu sur la complexit´e de ce probl`eme dans d"autres classes de
graphes planaires. Dans cet article, nous ´etudions ce probl`eme dans la classe des graphes s´erie-parall`eles (graphes SP).Nous montrons que le probl
`eme est non-trivial dans les graphes melons, une sous-classe tr`es simple des graphes SP.Nous concevons une
32-approximation pour calculer la longueur arborescente (et une d´ecomposition correspondante) dans les graphes SP. Notre r ´esultat principal est que d´ecider si la longueur arborescente d"un graphe SP est au plus 2 peut
ˆetre r´esolu en temps polynomial. Ce r´esultat se base sur une caract´erisation de ces graphes par des sous-graphes
isom´etriques interdits.
Mots-clefs :d´ecomposition arborescente, longueur arborescente, graphes s´erie-parall`eles, sous-graphes isom´etriques.1 Introduction
Lesd´ecompositions arborescentesde graphes sont tr`es´etudi´ees depuis leur introduction dans le cadre de
la th´eorie des mineurs de graphes de Robertson et Seymour et pour leurs nombreuses applications algorith-
miques. Une d ´ecomposition arborescente d"un grapheG= (V;E)est une paire(T;X=fXtjt2V(T)gtelle queTest un arbre etXest une famille de sous-ensembles (appel´es sacs) de sommets dansGtelle que : -S t2V(T)Xt=V(G);Pour toute ar
ˆetefu;vg 2E(G), il existet2V(T)tel queu;v2Xt;
Pour tout sommet v2V(G), l"ensembleft2V(T)jv2Xtginduit un sous-arbre deT.Une mesure classique d"une d
´ecomposition arborescente(T;X)est salargeur w((T;X))=maxt2V(T)jXtj1, correspondant
`a la taille d"un plus gros sac. Lalargeur arborescente tw(G)deGest la plus petite largeur des d´ecompositions arborescentes deG. Les d´ecompositions arborescentes ont´et´e extrˆemement´etudi´ees
pour leurs applications algorithmiques. Par exemple, de nombreux probl `emes NP-difficiles peuventˆetre r´esolus en temps lin´eaire dans la classe des graphes de largeur arborescente born´ee [6]. Le calcul de la
largeur arborescente d"un graphe est un probl `eme NP-complet [1] mais FPT en la taille de la solution [3]. Il n"existe pas d"algorithme d"approximation de ratio constant pour ce probl `eme en g´en´eral. Par ailleurs, des algorithmes polynomiaux pour r ´esoudre ce probl`eme ont´et´e propos´es dans de nombreuses classes de graphes. En revanche, la complexit ´e du probl`eme dans les graphes planaires reste ouverte depuis plus de 30 ans. Le meilleur algorithme polynomial connu pour les graphes planaires est une 32-approximation [14].†
et le projet CCCDI-UEFISCDI. no. 17PCCDI/2018. Les preuves omises dans cet article sont disponibles ici [8]
Thomas Dissaux, Guillaume Ducoffe, Nicolas Nisse et Simon NivelleLongueur arborescente.D"autres mesures ont´et´e propos´ees pour les d´ecompositions arborescentes. En
particulier, lalongueur length((T;X))d"une d´ecomposition(T;X)d"un grapheG= (V;E)est la plusgrande distance (dansG) entre deux sommets d"un mˆeme sac. Pr´ecis´ement,´etant donn´esu;v2V,dG(u;v)
estlepluspetitnombred"arLalongueur arborescente t`(G)est la plus petite longueur d"une d´ecomposition arborescente deG[9].
Comme la largeur arborescente, la longueur arborescente a de nombreuses applications algorithmiques.Par exemple, le probl
`eme du voyageur du commerce admet un FPTAS [12], les probl`emes de couverture et de "packing" admettent des algorithmes d"approximation [4] et des sch´emas de routage compacts peuvent
etre calcul´es [11] dans les graphes de longueur arborescente born´ee, le calcul de la dimension m´etrique est
FPT quand la longueur arborescente est born
´ee [2],etc.En contraste avec la largeur arborescente, calculer la longueur arborescente est non seulement NP-complet mais n"est pas mˆeme FPT. Pr´ecis´ement, d´ecider
si la longueur arborescente d"un graphe est au plus 2 est NP-complet [13]. En revanche, il existe une 3-
approximation pour ce probl `eme [9] (mais pas dec-approximation g´en´erale pourc<32 siP6=NP[13]).Les principales applications de la longueur arborescente (TSP, routage,etc.) sugg`erent que le calcul de
ce param`etre dans les graphes planaires est un probl`eme important. Peu de r´esultats`a ce sujet sont connus,
le principal ´etant que la longueur arborescente du cycleCn`ansommets est´egale`adn3 e[9]. Ajout´e au fait que, pour tout sous-grapheisom´etrique HdeG(un sous-grapheHdeGest isom´etrique dansGsi les distances dansHsont´egales`a celles dansG),t`(H)t`(G), cela permet de prouver que, pour toutgrapheplanaire ext´erieur G(qui admet un plongement planaire tel que tous les sommets sont sur la face
ext´erieure),t`(G) =dis(G)3
eo`uis(G)est la taille d"un plus grand cycle isom´etrique deG[9]. Ainsi, dans cet article, nous initions l" ´etude de la longueur arborescente dans une autre sous-classe de graphes planaires tr `es´etudi´ee,`a savoir les graphes s´erie-parall`eles [10]. Pour conclure cette introduction, une autre motivation pour´etudier la longueur arborescente des graphes
planaires vient de la relation entre longueur et largeur arborescentes dans une large classe de graphes (in-
cluant les graphes planaires) [5]. Ainsi, obtenir de nouveaux r´esultats sur la longueur arborescente des
graphes planaires pourrait permettre de mieux comprendre leur largeur arborescente et, donc, de progresser
dans l"´etude de la complexit´e de calculer la largeur arborescente des graphes planaires (voir, e.g., [7]).
Nos contributions.Nous´etudions le calcul de la longueur arborescente dans la classe des graphes (pla-
naires) s´erie-parall`eles (SP). Dans un premier temps, nous explicitons une formule close de la longueur ar-
borescente des graphesmelons(obtenus par composition parall`ele de plusieurs chemins). Dans ces graphes,
la longueur arborescente d ´epend`a la fois de la longueur d"un plus grand cycle et de celle d"un plus grand cycle isom´etrique (qui peuventˆetre calcul´ees en temps polynomial) et la formule non-triviale que nous ob-
tenons laisse pr ´esager de la difficult´e du probl`eme. Nous pr´esentons ensuite une32 -approximation pour le calcul de la longueur arborescente dans la classe des graphes SP. Notre r´esultat principal est un algorithme
polynomial pour d ´ecider sit`(G)2 pour tout graphe SPG. Ce r´esultat repose sur une caract´erisation des graphes SP de longueur arborescente au plus 2 par des sous-graphes isom´etriques interdits.
2 Graphes S
´erie-Parall`eles et Graphes Melons
Tout d"abord, restreignons les classes de graphes
`a consid´erer.´Etant donn´e un grapheG= (V;E), un ensembleSVest uns´eparateursi supprimerSdeGaugmente le nombre de composantes connexes.De plus,Sest uneclique-s´eparatricesiSinduit un graphe complet dansG. Il est facile de prouver que
le probl `eme du calcul de la longueur arborescente peut se restreindre`a la classe des graphes sans clique- s´eparatrices. Dans ce qui suit, nous supposons que les graphes consid´er´es sont sans clique-s´eparatrices et,
en particulier, sont 2-connexes, i.e., sans sommet (clique de taille 1) s´eparateurs.
LaclassedesgraphesSPestd
une arˆete, soit est obtenu par la "composition en s´erie" ou la "composition en parall`ele" de deux graphes
SP. Les graphes SP ont
´et´e tr`es´etudi´es`a la fois dans le contexte de la th´eorie des graphes et pour des
applications pratiques, entre autres parce qu"ils mod´elisent des circuits´electriques [10].
Certaines de nos preuves sont bas
´ees sur la d´efinition suivante qui est´equivalente dans le cas des graphes2-connexes. Un graphe 2-connexe est un graphe SP si et seulement si il admet uned´ecomposition en
oreillesimbriquLongueur Arborescente des Graphes S
´erie-Parall`eles
Pr´ecis´ement, un graphe SP 2-connexeG= (V;E)admet uned´ecomposition isom´etrique en oreilles im-
briqu ´ees, c"est-`a-dire une partition(E0;:::;Ep)deEtelle que : -E0induit un plus grand cycle isom´etrique dansG;Pour tout 0 ip, le sous-grapheGiinduit parS
jiV(Ej)est un graphe SP 2-connexe qui est un sous-graphe isom´etrique deG;
Pour tout 1 ip, il existejiPourconclurecettesectionpr
a savoir lesmelons, qui sont obtenus par la composition parall`ele de chemins. Bien que cette classe de
graphes soit tr`es simple, l"expression de leur longueur arborescente n"est, de fac¸on surprenante, pas triviale.
Un graphemelon G= (P1;:::;Pp)est obtenu`a partir dep2 cheminsP1;:::;Ppen identifiant une extr´emit´e de chaque chemin en un sommet uniquex, puis en identifiant l"autre extr´emit´e de chaque chemin
en un sommety(i.e., sip=2, alors le graphe est un cycle et sinon,xetysont les seuls sommets de degr ´e au moins 3). Soit`i=jPijle nombre d"arˆetes dePipour tous 1ipet, w.l.o.g., supposons que1:::`p>0. Notons que les cycles isom´etriques deGsont de la formePp[Pipour touti grand cycle isom ´etrique est ainsi form´e parP1etPp, doncis(G) =`1+`p. Pour finir,P1[P2est un plus grand cycle deG. Soitlc(G) =`1+`2is(G), i.e.,lc(G)est la taille d"un plus grand cycle dansG. Th ´eor`eme 1.Pour tout graphe melon G= (P1;:::;Pp), t`(G) =minfdlc(G)3 e;maxfdis(G)3 e;jPpjgg. Id ´ee de la preuve :Le fait quet`(G)minfdlc(G)3
e;maxfdis(G)3 e;jPpjggvient de constructions explicites de d ´ecompositions arborescentes (voir [8]). La borne inf´erieure est plus instructive. Tout d"abord, rappelons
que la longueur arborescente d"un cycle est le tiers de sa longueur, et que la longueur arborescente est close
par sous-graphes isom ´etriques. Ainsi,dis(G)3
e=t`(P1[Pp)t`(G)puisqueP1[Ppest un plus grand cycle isom ´etrique. Supposons quejPpj>dis(G)3
e. Sixetysont dans un mˆeme sac d"une d´ecomposition(T;X), alorslength(T;X) jPpj. Sinon, sixetyn"appartiennent pas`a un mˆeme sac de(T;X), alors, par les propri ´et´es des d´ecompositions arborescentes, un sac contenantxdoit contenir un s´eparateur dexety. Ce
sac devra donc contenirxet au moins un sommet de chaque cheminPi,ip. Cela implique que ce sac doit contenir 3 sommets de chaque cycle deG. En particulier, ce sac contient 3 sommets deP1[P2(de taille lc(G)) et il est possible de montrer qu"au moins 2 d"entre eux sont`a distance au moinsdlc(G)3 e. Notons que nous pouvons construire des exemples de graphes SP (pas melons) dont la longueur arbores- cente ne satisfait pas la formule du Th ´eor`eme 1 [8].
3 32
-Approximation et cas de la longueur arborescente´egale`a2 Cette section est d
´edi´ee`a nos r´esultats principaux. Tout d"abord, nous d´ecrivons une32 -approximation pour approcher la longueur arborescente de tout graphe SP. Notre r ´esultat principal est une caract´erisation
(d ´ecidable en temps polynomial) sous forme de sous-graphes isom´etriques interdits des graphes SP de
longueur arborescente au plus 2. Th ´eor`eme 2.Pour tout graphe SP G, une d´ecomposition arborescente de G de longueur au plus32 t`(G) peut ˆetre calcul´ee en temps quadratique.
Id ´ee de la preuve :Comme dit plus haut, il est possible de se restreindre au cas des graphes SP 2-connexes.
Ainsi, supposons queGest 2-connexe et soit(E0;:::;Ep)une d´ecomposition isom´etrique en oreilles im-
briqu ´ees deG. Notre algorithme repose sur deux observations : (1)is(G)3t`(G)(pour tout grapheG) et (2) chaque oreilleEi, 0ip, fait partie d"un cycle isom´etrique (en effet, soitPun plus court chemin
entreaietbidansGi1, alorsP[Eiest un cycle isom´etrique deG). Par (1),jV(E0)j=is(G)3t`(G)et la distance entre deux sommets deV(E0)est au plus32 t`(G). D"apr`es (2) et le fait queGi1est isom´etrique, la Thomas Dissaux, Guillaume Ducoffe, Nicolas Nisse et Simon Nivelle distance entre deux sommets deEiest au plus32 t`(G). La d´ecomposition construite r´ecursivement comme suit a donc une longueur au plus 32
t`(G). Commenc¸ons avec un sac contenantV(E0). Puis, pour 1ip, ajoutons un sac contenantV(Ei)adjacent au sac contenantV(Eji). La complexit´e de l"algorithme vient donc
uniquement du calcul de la d ´ecomposition isom´etrique en oreilles imbriqu´ees deG. Nous d
´efinissons la famille des graphesDumbocomme celle de tout graphe obtenu d"un cycleC0= (v0;:::;v5)de taille 6 auquel on ajoute un cheminRde longueur au moins 3 entrev0etv2, et un cheminL de longueur au moins 3 entrev3etv5(RetLn"intersectentC0qu"en leurs extr´emit´es et sont mutuellement
sommet-disjoints). Notons qu"un graphe Dumbo est un graphe SP. Th ´eor`eme 3.Soit G un graphe SP. Alors, t`(G)2si et seulement si is(G)6et G ne contient aucun grapheDumbocomme sous-grapheisom ´etrique. Deplus,ilexisteun algorithmepolynomialquisoitcalcule une d ´ecomposition arborescente de longueur au plus2soit exhibe un sous-graphe isom´etrique interdit.
Id ´ee de la preuve :Notons quet`(G) =1 si et seulement siGest un graphe cordal (sans cycles induits de
plus de 3 sommets, ce qui peut ˆetre d´ecid´e en temps lin´eaire). Donc supposons quet`(G)>1 et, encore une fois, queGest 2-connexe et donc admet une d´ecomposition isom´etrique en oreilles imbriqu´ees(E0;:::;Ep).
Le "seulement si" vient du fait que la longueur arborescente est close par sous-graphe isom ´etrique (en
particuliert`(G) dis(G)3 e) et du fait que nous prouvons que, pour tout graphe DumboD,t`(D)>2. Pour le "si", nous commenc¸ons par calculeris(G)(en temps polynomial). Dans le cas o`uis(G) 6, nous concevons un algorithme r
´ecursif (sur le nombre d"oreilles) qui, en temps polynomial, soit cal- cule une d ´ecomposition arborescente de longueur 2, soit exhibe un graphe Dumbo comme sous-graphe isom ´etrique. Informellement, supposons par induction surique, pour 0i une d ´ecomposition arborescente(Ti;Xi)deGide longueur 2 et telle que, pour toute oreilleEj,j>i, dequotesdbs_dbs47.pdfusesText_47
´ee de la preuve :Le fait quet`(G)minfdlc(G)3
e;maxfdis(G)3 e;jPpjggvient de constructions explicites de d´ecompositions arborescentes (voir [8]). La borne inf´erieure est plus instructive. Tout d"abord, rappelons
que la longueur arborescente d"un cycle est le tiers de sa longueur, et que la longueur arborescente est close
par sous-graphes isom´etriques. Ainsi,dis(G)3
e=t`(P1[Pp)t`(G)puisqueP1[Ppest un plus grand cycle isom´etrique. Supposons quejPpj>dis(G)3
e. Sixetysont dans un mˆeme sac d"une d´ecomposition(T;X), alorslength(T;X) jPpj. Sinon, sixetyn"appartiennent pas`a un mˆeme sac de(T;X), alors, par les propri´et´es des d´ecompositions arborescentes, un sac contenantxdoit contenir un s´eparateur dexety. Ce
sac devra donc contenirxet au moins un sommet de chaque cheminPi,ip. Cela implique que ce sac doit contenir 3 sommets de chaque cycle deG. En particulier, ce sac contient 3 sommets deP1[P2(de taille lc(G)) et il est possible de montrer qu"au moins 2 d"entre eux sont`a distance au moinsdlc(G)3 e. Notons que nous pouvons construire des exemples de graphes SP (pas melons) dont la longueur arbores- cente ne satisfait pas la formule du Th´eor`eme 1 [8].
3 32-Approximation et cas de la longueur arborescente´egale`a2
Cette section est d
´edi´ee`a nos r´esultats principaux. Tout d"abord, nous d´ecrivons une32 -approximation pour approcher la longueur arborescente de tout graphe SP. Notre r´esultat principal est une caract´erisation
(d´ecidable en temps polynomial) sous forme de sous-graphes isom´etriques interdits des graphes SP de
longueur arborescente au plus 2. Th ´eor`eme 2.Pour tout graphe SP G, une d´ecomposition arborescente de G de longueur au plus32 t`(G) peutˆetre calcul´ee en temps quadratique.
Id´ee de la preuve :Comme dit plus haut, il est possible de se restreindre au cas des graphes SP 2-connexes.
Ainsi, supposons queGest 2-connexe et soit(E0;:::;Ep)une d´ecomposition isom´etrique en oreilles im-
briqu ´ees deG. Notre algorithme repose sur deux observations : (1)is(G)3t`(G)(pour tout grapheG)et (2) chaque oreilleEi, 0ip, fait partie d"un cycle isom´etrique (en effet, soitPun plus court chemin
entreaietbidansGi1, alorsP[Eiest un cycle isom´etrique deG). Par (1),jV(E0)j=is(G)3t`(G)et la distance entre deux sommets deV(E0)est au plus32 t`(G). D"apr`es (2) et le fait queGi1est isom´etrique, la Thomas Dissaux, Guillaume Ducoffe, Nicolas Nisse et Simon Nivelle distance entre deux sommets deEiest au plus32 t`(G). La d´ecomposition construite r´ecursivement comme suit a donc une longueur au plus 32t`(G). Commenc¸ons avec un sac contenantV(E0). Puis, pour 1ip,
ajoutons un sac contenantV(Ei)adjacent au sac contenantV(Eji). La complexit´e de l"algorithme vient donc
uniquement du calcul de la d ´ecomposition isom´etrique en oreilles imbriqu´ees deG.Nous d
´efinissons la famille des graphesDumbocomme celle de tout graphe obtenu d"un cycleC0= (v0;:::;v5)de taille 6 auquel on ajoute un cheminRde longueur au moins 3 entrev0etv2, et un cheminLde longueur au moins 3 entrev3etv5(RetLn"intersectentC0qu"en leurs extr´emit´es et sont mutuellement
sommet-disjoints). Notons qu"un graphe Dumbo est un graphe SP. Th ´eor`eme 3.Soit G un graphe SP. Alors, t`(G)2si et seulement si is(G)6et G ne contient aucun grapheDumbocomme sous-grapheisom ´etrique. Deplus,ilexisteun algorithmepolynomialquisoitcalcule une d´ecomposition arborescente de longueur au plus2soit exhibe un sous-graphe isom´etrique interdit.
Id´ee de la preuve :Notons quet`(G) =1 si et seulement siGest un graphe cordal (sans cycles induits de
plus de 3 sommets, ce qui peut ˆetre d´ecid´e en temps lin´eaire). Donc supposons quet`(G)>1 et, encore unefois, queGest 2-connexe et donc admet une d´ecomposition isom´etrique en oreilles imbriqu´ees(E0;:::;Ep).
Le "seulement si" vient du fait que la longueur arborescente est close par sous-graphe isom´etrique (en
particuliert`(G) dis(G)3 e) et du fait que nous prouvons que, pour tout graphe DumboD,t`(D)>2. Pour le "si", nous commenc¸ons par calculeris(G)(en temps polynomial). Dans le cas o`uis(G)6, nous concevons un algorithme r
´ecursif (sur le nombre d"oreilles) qui, en temps polynomial, soit cal- cule une d ´ecomposition arborescente de longueur 2, soit exhibe un graphe Dumbo comme sous-graphe isom´etrique. Informellement, supposons par induction surique, pour 0i
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