[PDF] La contraposée de p ? q est par définition la proposition (¬q) ? (¬ p

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Rappel :

La contrap osée de p→qest par définition la proposition(¬q)→(¬p). faute d"écriture du manuel p. 7 : ne laissez-vous pas distraire). La recip roque de p→qest par définition la propositionq→p.

Montré :

la propositionp→qet sa contraposée sont logiquement équivalentes : (p→q)?(¬q→ ¬p). Et p↔qest vraie si et seulementp→qet sa reciproque sont vraies : (p↔q)?((p→q)?(q→p))22 septembre 2015 1 / 34

Qu"est-ce que vous en pensez :

q→pest une sorte d"opposé dep→q(sa réciproque) et l"opposé de(q→p)est¬(q→p) et donc p→qest la même chose que¬(q→p). Ou, dans la langue de la semaine passée, ça semble que (p→q)? ¬(q→p).

Raisonable? Logique?

22 septembre 2015 2 / 34

Vous avez des doutes?

Vérifions :p qp→qq→p¬(q→p)(q→p)↔(¬(q→p))V VVVF F

V FFV FV

F VVF VV

F FVVF F

NON, c"est une contre-vérité!

Il faut aiguiser le sens critique.

En effet :q→pn"estpas l"opp oséde p→q.22 septembre 2015 3 / 34

Qu"est-ce que vous en pensez :

E : "...... on a déjà montré quepimpliqueq.... alorsqest vraie et ......"

P : "Non, on n"a pas le droit"

E : "Mais, en supposant quepest vraiej"ai montré que qest vraie, n"est-ce pas? Alorsqest vraie, non?"

P : "Non!"

22 septembre 2015 4 / 34

On ap→qest vraie sipest fausse. Donc ça montre : ("0=1")→"Dieu existe". Il suit que "Dieu existe" ?! Non. Il suit que "Dieu n"existe pas" ?! Non.

22 septembre 2015 5 / 34

Mais " .....on a montrépet que ça impliqueq, doncqest vraie ...." ou "...... on a déjà montré quepimpliqueq, etpest vraie.... alorsqest vrai et ......" est une raisonne mentlogique, basée sur la tautologie : (p?(p→q))→q (c.-à-d, toujours vraie, n"importepetq).22 septembre 2015 6 / 34 (p?(p→q))→qest une proposition logique toujours vraie, n"importe les propositionspetq. Preuve par tableau :p qp→q p?(p→q)[p?(p→q)]→qV VV VV

V FF FV

F VV FV

F FV FV

22 septembre 2015 7 / 34

(p?(p→q))→qest une proposition logique toujours vraie, n"importe les propositionspetq.

Une preuve directe :

Supposons l"hypothèse est vraie; c.-à-d.,petp→qsont supposés vraies. p→qvraie veut dire par définition : soit (i)pest faux, soit (ii)petq sont vraies. Un des deux cas. Mais on a supposépest vraie, donc c"est cas (ii). Ce qui implique queq est vraie aussi. Donc si l"hypothèse est vraie, la conclusion est vraie aussi. Cet implication est vraie.

22 septembre 2015 8 / 34

(p?(p→q))→qest une proposition logique toujours vraie, n"importe les propositionspetq.

En particulier

, sipest remplacé par une autre proposition logique, etq aussi par une autre proposition logique alors l"implication reste vraie. Exemple : remplace "p" partout dans la formule parq?(r→s) et "q" partout parp→son obtient la proposition logique automatiquement VRAIE (attention aux()"s et[ ]"s).22 septembre 2015 9 / 34

Règles d"inférence

SiPetQsont deux formules logiques telles queP→Qest une tautologie, on dit que c"est une règle d"inférence et on écrit P?Q alors siPest vraie alors AUTOMATIQUEMENT aussiQest vraie. Mais siPest fausse, nous ne pouvons rien conclure a proposQ.

Par exemple, proposition logique :

(p?(p→q))?q une règle d"inférence appelée classiquement mo dusp onens

22 septembre 2015 10 / 34

ConsidéronsP:="S"il fait beau je vais nager cet après-midi. Il fait beau.

Donc je vais nager cet après-midi."

Vraie ou Fausse?

Analyse.

Posons :

p:="il fait beau" q:=" je vais nager cet après-midi".

Donc :

p→q= "S"il fait beau je vais nager cet après-midi."

P= [(p→q)?p]→q.

Est-ce que "il fait beau"? est-ce que " je vais nager cet après-midi"? est ce que "" S"il fait beau je vais nager cet après-midi"? Qui sait. N"importe, au moins il est certain quePest vraiepa rmo dusp onens!!22 septembre 2015 11 / 34 Règles d"inférence déjà utilisés correctement par vous tous les jours : p?(p?q) (p?q)?p (p?q)?(¬p)?q.22 septembre 2015 12 / 34

Un peu d"attention, mais bien "connues" aussi :

(p?(p→q))?q(modus ponens) et (¬q?(p→q)? ¬p(modus tollens) et (p→q)?(q→r)?(p→r)(syllogisme par hypothèse)22 septembre 2015 13 / 34 Pour montrer modus tollens, commençons avec modus ponens (p?(p→q))?q Faisons les substitutionsppar¬qetqpar¬p(on a le droit!) : (¬q?(¬q→ ¬p))? ¬p.

Puis utilisons l"équivalence logique

(¬q→ ¬p)?(p→q) nous obtenons modus tollens : (¬q?(p→q)? ¬p.22 septembre 2015 14 / 34 "S"il fait beau je vais nager cet après-midi. Je ne vais pas nager cet après-midi. Donc il ne fait pas beau." Cette proposition composée (ou cet argument) est VRAIE pa rmo dus tollens. Mais je ne sais pas si "S"il fait beau je vais nager cet après-midi" est vraie ou fausse!! "S"il fait beau je vais nager cet après-midi. Si je vais nager cet après-midi, je dormirai bien ce soir. Donc s"il fait beau je dormirai bien se soir." Cette proposition composée (ou cet argument) est vraie

22 septembre 2015 15 / 34

On peut combiner des règles d"inférence et les équivalences logiques :

SiP?QetQ?Ralors aussiP?R.

Et

P?Qsi et seulement siP?QetQ?P.

Exemple :

[(p?q)→r]?(p→r)?(q→r) implique la règle d"inférence [(p→r)?(q→r)]?[(p?q)→r]22 septembre 2015 16 / 34

Preuve algébrique de l"équivalence logique

[(p?q)→r]?(p→r)?(q→r). [(p?q)→r]? ¬(p?q)?r(Carp→q? ¬p?q) ?(¬p? ¬q)?r(Par De Morgan) ?(¬p?r)?(¬q?r) (Par distr.) ?(p→r)?(q→r) (Carp→q? ¬p?q)22 septembre 2015 17 / 34 Une formule qui n"est pas une tautologie est appelée :contrevérité .

Par exemple :

P(p,q) := [(p→q)?q]→p

n"est PAS une tautologie, donc une contrevérité, car sipest fausse etq vraie, alorsPest fausse. Si on sait seulement queqest vraie, on ne sait pas encore siPest vraie ou fausse! Considérons : "... ainsi on a montré quepimpliqueq. Parce que on sait aussi queqest vraie, on conclut quepest aussi vraie. " cet argument n"est pas logiquement co rrect.

22 septembre 2015 18 / 34

[(p→q)?q]→pest une contrevérité, donc "C"est certain que si quelqu"un fait beaucoup des haltères il sera fort. Vous êtes fort. Donc vous devez avoir faites beaucoup des haltères. Non?" n"est pas un argument acceptable.

22 septembre 2015 19 / 34

Autre contrevérité "utilisée" souvent :

P:= [(p→q)? ¬p]→ ¬q

"C"est certain que si quelqu"un fait beaucoup des haltères il sera fort. Vous ne faites pas beaucoup des haltères. Donc vous ne serez pas fort!" n"est pas acceptable comme argument.

22 septembre 2015 20 / 34

Considérons l"argument :

P:=" Si 32085 est divisible par 13, alors 320852est divisible par 13

2=169. Le nombre 32085 est divisible par 13. Par conséquent, 320852

est divisible par 169". Analyse : posonsp="32085 est divisible par 13",q:="320852est divisible par 13

2=169". AlorsP= [(p→q)?p]→q. DoncPest vraie par

modus ponens! Cet argumentPest valide, donc 320852est divisible par 169? !22 septembre 2015 21 / 34

Calculatrice :

320852169

=6091403.69822....

Hè?! On a fait une erreur! En effet.

"Cet argument est valide, donc 32085

2est divisible par 169"

est basée sur une contre-vérité ([(p→q)?p]→q)→q (si c"est une tautologie et son hypothèsePest vraie (ce qui est le cas), alors par modus ponens, en effetqserait vraie aussi. Mais.....)22 septembre 2015 22 / 34

Partie d"un argument :

"... Supposonsp. Puis on donne des arguments qui montre finalement que pest vraie. Doncpest vraie." On supposepest vraie pour montrer quepest vraie. Hmmm.

Raisonnement circulaire.

22 septembre 2015 23 / 34

Preuve par l"absurde ou Reductio ad absurdum

Une telle preuve est basée sur une autre règle d"inférence : [(¬p→q)? ¬q]?p. Pour montrer cette règle. Commençons avec modus ponens [(¬q→p)? ¬q]?p, et utilisons(¬q→p)?(¬p→q).22 septembre 2015 24 / 34 Supposons on veut montrer qu"une propositionpest vraie. En supposantpest fausse, on montre une proposition auxiliaire disonsq.

Alors que¬p→qest vraie.

Mais on sait que son opposé¬qest vraie.

Donc l"hypothèse de la règle d"inférence est vraie : [(¬p→q)? ¬q]?p. C"est une règle d"inférence, donc aussi la conclusionpest vraie.22 septembre 2015 25 / 34 SoientAetBdeux ensembles etF:A→BetG:B→Adeux fonctions telles queG◦F=1A.

Considérons la proposition logique

p:="Fest injective". Preuve par l"absurde : Supposonspest faux, c.-à-d.,Fn"est pas injective. Par définition d"injectivité, ils existent deux élémentsa1,a2deAtelles que F(a1) =F(a2), maisa1?=a2. Parce queG◦F=1Aon a a

1=1A(a1) =G(F(a1)) =G(F(a2)) =1A(a2) =a2.

Donc sous l"hypothèse quepest fausse, on a montré la proposition q:="ils existenta1,a2dansAtels quea1=a2eta1?=a2" est vraie. Ce qui est absurde, car son opposé,¬q, est vraie.

On conclutpest vraie.22 septembre 2015 26 / 34

SoitPune proposition en mathématiques.Théorème P

Preuve par l"absurde typique

SupposonsPest fausse. Puis (avec cette hypothèse et avec de l"aide de théorèmes déjà montrés) on montre une proposition auxiliaire, disonsq. Puis on montre directement (sans utiliser l"hypothèse quePest fausse) queqest fausse. Ce qui serait absurde.

On conclut :Pest vraie.22 septembre 2015 27 / 34

Un cas spécial. SoientPetQdeux propositions en mathématiques.Théorème

P→QPreuve par l"absurde typique.

SupposonsP→Qest fausse, c.-à-d., supposonsPvraie etQfausse. Puis (avec ces deux hypothèses et avec de l"aide de théorèmes déjà montrés) on montre une proposition auxiliaire, disonsr. Puis on montre directement (sans utiliser l"hypothèse queP→Qest fausse) querest fausse. Ce qui serait absurde. On conclut :P→Qest vraie.22 septembre 2015 28 / 34 Si on veut montrerP→Qil y a trois types de preuves typiques, trois stratégies. Preuve directe. Avec l"hypothèsePon montre (avec de l"aide de théorèmes déjà établis)Q. Preuve indirecte. Avec l"hypothèse¬Qon montre (avec de l"aide de théorèmes déjà établis)?=P. Preuve par l"absurde. Avec les hypothèsePet¬Qon montre (avec de l"aide de théorèmes déjà établis) une absurdité auxiliaire.

22 septembre 2015 29 / 34

Preuve vides.

Supposons on doit montrerP→Q.

Si on sait quePest faux ou siQest vraie : il n"y a plus rien à faire!

L"implication est vraie.

22 septembre 2015 30 / 34

Si on doit montrer(p?q)→r, il suffit de montrer cas par casp→ret q→r.

Par exemple. Soitnun nombre naturel.

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