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Exemples de fonctions réciproques Racines et carrés Graphiquement Exemples en géométrie Calcul de la fonction réciproque Dérivée de la fonction réciproque
Fonctions réciproquesy=f(x)
XY x = g(y)=f (y) -1 x=messagey=message codécodage décodagex=messageB. Aoubiza
IUT Belfort-Montbéliard
Département GTR
6 janvier 2003
Table des matières
11.1Fonctionsréciproques .......................................... 3
11.1.1 Fonction réciproque - Définition................................ 3
11.1.2Fonctionréciproque-Domaineetdomaineimage...................... 4
11.1.3Fonctionréciproque-Déterminationdelafonctionréciproque............... 4
11.1.4Fonctionréciproque-Propriétédecontinuité ........................ 5
11.1.5Fonctionréciproque-Graphe................................. 5
11.1.6Fonctionréciproque-Dérivée................................. 6
11.1.7Fonctionréciproque-unthéorèmed'existence........................ 7
11.2Fonctionstrigonométriquesréciproques................................. 7
11.2.1 Fonction réciproque desin - Définition............................. 7
11.2.2 Fonction réciproque desin - Propriétés ............................ 8
11.2.3 Fonction réciproque desin - Graphe.............................. 8
11.2.4 Fonction réciproque desin - Dérivée.............................. 9
11.2.5 Fonction réciproque decos - Définition ............................ 9
11.2.6 Fonction réciproque decos - Propriétés ............................ 9
11.2.7 Fonction réciproque decos - Graphe.............................. 10
11.2.8 Fonction réciproque decos - Dérivée.............................. 10
11.2.9Relationfondamentale...................................... 11
11.2.10Fonction réciproque detan - Définition ............................ 11
11.2.11Fonction réciproque detan - Propriétés ............................ 11
11.2.12Fonction réciproque detan - Graphe.............................. 12
11.2.13Fonction réciproque detan - Dérivée.............................. 12
11.2.14Fonction réciproque decot - Définition ............................ 13
11.2.15Fonction réciproque decot - Propriétés ............................ 13
11.2.16Fonction réciproque decot - Graphe.............................. 14
11.2.17Fonction réciproque decot - Dérivée.............................. 14
11.2.18Fonctionstrigonométriquesréciproques - Résumé....................... 14
11.3 Fonctions exponentielles de base................................... 15
11.3.1 Fonctions exponentielles de base - Propréités........................ 15
11.3.2 Fonctions exponentielles de base - Graphe.......................... 15
11.4 Fonction exponentielle de base.................................... 16
11.4.1 Fonction exponentielle - Définition............................... 16
11.4.2Fonctionexponentielle - Propriétésetlimitesusuelles .................... 17
11.4.3Fonctionexponentielle - Graphe ................................ 17
11.4.4Fonctionexponentielle - Dérivée ................................ 18
11.4.5Fonctionexponentielle - Dérivéedelacomposée ....................... 18
11.5Fonctionshyperboliques......................................... 19
11.5.1 Fonctions hyperboliques - Définitions ............................. 19
11.5.2 Fonctions hyperboliques - Fonctioncosh............................ 19
11.5.3 Fonctions hyperboliques - Fonctionsinh............................ 20
11.5.4Fonctionshyperboliques - Relationfondamentale....................... 20
11.6Fonctionshyperboliquesréciproques .................................. 20
11.6.1 Fonction réciproque decosh - Définition............................ 20
11.6.2 Fonction réciproque decosh - Propriétés............................ 21
11.6.3 Fonction réciproque decosh - Graphe ............................. 21
111.6.4 Fonction réciproque decosh - Dérivée............................. 21
11.6.5 Fonction réciproque desinh - Définition............................ 21
11.6.6 Fonction réciproque desinh - Propriétés............................ 22
11.6.7 Fonction réciproque desinh - Graphe ............................. 22
11.6.8 Fonction réciproque desinh - Dérivée ............................. 22
11.7 Fonction logarithme........................................... 23
11.7.1 Fonction logarithme - Définition ................................ 23
11.7.2 Fonction logarithme - Graphe.................................. 23
11.7.3 Fonction logarithme - Propriétés . ............................... 23
11.7.4 Fonction logarithme - Dérivée . . ............................... 25
11.7.5 Fonction logarithme - Dérivéeln(())............................ 25
11.8 Fonctions logarithme de base(0)................................. 27
11.8.1 Fonctions logarithme de base - Définition.......................... 27
11.8.2 Fonctions logarithme de base - Propriétés.......................... 27
11.8.3 Fonctions logarithme de base - Changementdebase.................... 27
11.8.4 Fonctions logarithme de base - Dérivation.......................... 28
11.9 Fonctions exponentielles de base................................... 28
11.9.1 Fonctions exponentielles de base - Nouvelleformulation.................. 28
11.9.2 Fonctions exponentielles de base - Dérivation........................ 28
11.10Fonctionspuissances........................................... 28
11.10.1Fonctions puissances - Définition................................ 28
11.10.2Fonctionspuissances - Dérivée ................................. 29
11.10.3Fonctionspuissances - Graphes................................. 29
11.11Comparaisondescroissances....................................... 29
211.1 Fonctions réciproques
11.1.1 Fonction réciproque - Définition
Il arrive souvent que, pour une fonction donnée, on a besoin (si c'est possible) d'une autre fonctiontelle
que : yfgxx Dèfinition 1(Fonctions réciproque)Siest une application dedansetest une application de danstelles que - (()) =pour tout - (()) =pour tout on dit queest la fonctionréciproquede,etqueest la fonctionréciproquede.Notation 1La fonction réciproque dese note
1 y=f x()XYx = g yf y() = ()
-1 xy Exemple 1Soientetles deux fonctions définies par :[0+[[0+[ 7 2 et:[0+[[0+[ 7 Ces deux fonctions vérifient les relations suivantes : 2 =pour tout[0+[ 2 2 =pour tout[0+[ Doncest la fonctionréciproquede,etest la fonctionréciproquede.Dèfinition 2(Fonction Bijective)une fonctionestbijectivesur un domaine (intervalle) si chaque fois
que( 1 2 ),alors 1 2 Remarque 1Rappelons que toute fonction bijective admet une fonction réciproque.Exemple 2Montrer que la fonction()=
3 est bijective.Solution :Montrons que si(
1 2 )alors 1 2Soient
1 et 2 deux réels quelconques tels que( 1 2 ).Ona 3132
et donc 31
32
=0 or 31
32
1 2 21
1 2 22
)=0 Le produit est nul si l'un des facteurs est nul. On déduit donc que 1 2 car 21
1 2 22
ne peut pas être nul dansR. (dire pourquoi?)
Exemple 3La fonction()=
2 définie pour tout réel, n'est pas bijective car(1) =(1)mais16=1. 3Test de la droite horizontale
Une fonctionestbijectivesi et seulement si toute droite horizontale ne peut rencontrer qu'au plus en un point.Fonction bijective
Même image pour 2 valeurs
différentes x 2 x 11 f( )x 2 f( ) x 11Fonction non bijective
11.1.2 Fonction réciproque - Domaine et domaine image
On déduit facilement les relations suivantes entre ledomaine imageet ledomainede définition : domaine de 1 =domaine image de domaine image de 1 =domaine de11.1.3 Fonction réciproque - Détermination de la fonction réciproque
Pour déterminer la fonction réciproque de=():1. Résoudre l'équation=()où l'inconnue est, on obtient alors=().
2. Remplacerparetpardans l'expression=()pour obtenir
1Exemple 4Soit()=
2 pour0. Déterminer sa fonction réciproque.Solution: On résout l'équation
2 0 où l'inconnue est,onobtient 0Maintenant on remplaceparetparon obtient
0Ainsi, la fonction réciproque
1 ()de()= 2 ,pour0, est la fonction racine carrée : 1 Point de vue graphique. Si on regarde le graphe de= 2 ,pourtouton voit que cette fonction ne peut pas avoir de réciproque pour tout. 02468-4 -2 2 4 x 2 Noter que la droite horizontale=4coupe la courbe de= 2 en deux points. Ce qui signifiequelafonction n'est pas bijective et donc elle n'admet pas de fonction réciproque. 4
11.1.4 Fonction réciproque - Propriété de continuité
Théorème 1Siest une fonction bijective continue sur un intervalle, alors sa fonction réciproque
1 est aussi continue.11.1.5 Fonction réciproque - Graphe
Théorème 2Les courbes des fonctionset de sa réciproque 1 sont symétriques par rapport à la droite Preuve.Lapentededroitepassantparlespointes()et()est donnée par e=1 Ce qui signifie que cette droite est orthogonale à la droite=de pente1En utilisant des arguments géométriques :(\)=(\)est donc les trianglesetsont "semblables", on déduit que y=f x()() b,a x ()a,b y=fx -1 y y=x B O A C Ce qui signifiequeest le symétrique depar rapport à la première bissectrice=.Exemple 5Lesgraphesdesfonctions
2 ,,et. y=x y y=x 2 y=x xCourbes de
2 ,,et Exemple 6Déterminer la fonction réciproque de=4+1et tracer son graphe. Solution :Résolvons l'équation=4+1où l'inconnue est: =4+1 =(1)4=1 414Maintenant on remplaceparetparon obtient
=1 414Ainsi,
1 1 4 1 4 . Les courbes deet de 1 sont symétriques par rapport à= 5 xy= x+ 41y y=x y= x- 1414
Exemple 7Déterminer la fonction réciproque de()= 2 pour0et tracer sa courbe. Solution :Résolvons l'équation où l'inconnue est 2 0 on obtient 0
Maintenant on remplaceparetparon obtient
0Ainsi,
1 ()==pour0. Les courbes deet de 1 sont symétriques par rapport à= y=x x y=x 2 y=xyCourbes de
2 ,et11.1.6 Fonction réciproque - Dérivée
Notons que siest bijective, alors elle admet une fonction réciproque 1 . Ces deux fonctions vérifient la relation suivante : 1 ()) =et 1 Ainsi, en dérivant des deux côtés, on obtient 1 0 =1 et en utilisant la relation de la dérivation des fonctions composées : 0 0 0 on déduit que 1 0 0 1 1 0 ()=1 d'où 1 0 ()=1 0 1 6 Exemple 8Déterminer la dérivée de la fonction réciproque de()=quotesdbs_dbs41.pdfusesText_41[PDF] fonction réciproque pdf
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