Fonctions réciproques
fonction réciproque de f . La situation n'est plus aussi simple que dans le premier exemple (et le premier exercice). Par exemple à la question « de quel
La notion de fonction réciproque et son enseignement
Or parallèlement persistent des exercices "classiques" dans lesquels le recours aux contenus disparus est nécessaire pour justifier certaines méthodes de
Feuille dexercices 7 Fonctions trigonométriques réciproques
Feuille d'exercices 7. Fonctions trigonométriques réciproques. Exercice 1. 1. Montrer que. 0 < arccos (. 3. 4. ) <. . 4. 2. Résoudre arccos( ) = 2 arccos(. 3.
Corrigé du TD no 11
Donner un exemple de fonction continue g :]0 1[→]0
Composition de fonctions dérivées successives et fonction réciproque
12 oct. 2017 Exemple : Soit la fonction h définie sur ] − ∞;1] par h(x) = √1 − x. 1) Décomposer h en deux fonctions élémentaires. 2) Déterminer les ...
1 Fonction réciproque
Soit f une fonction définie et continue sur un intervalle I. Si f est strictement monotone sur I alors f est bijective de I dans f(I). Exemple 7. Soit f
1) Fonction reciproque 2) Propriete de la fonction reciproque
Exposé 65 : Fonction reciproque d'une fonction continue strictement monotone sur un intervalle de » . Exemple. Pre requis : - notion d'intervalle.
CHAPITRE 1 Fonctions réelles dune variable réelle I. Généralités
= et. = Exemple 5. ( ) = :[0+∞[ → [0
I Fonction réciproque dune fonction II Logarithme népérien
La fonction logarithme népérien est la bijection réciproque de la fonction exponentielle. → Exemple : Exprimer en fonction de ln 2 et de ln 3 les nombres A = ...
Chapitre 3 Dérivabilité des fonctions réelles
La réciproque est fausse. Par exemple la fonction f : x ↦→
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La réciproque (ou l'inverse) d'une fonction x ?? f(x) est une fonction x Voici trois exemples de fonctions f et g réciproques l'une de l'autre et
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Remarque 1 Rappelons que toute fonction bijective admet une fonction réciproque Exemple 2 Montrer que la fonction f (x) = x3 est bijective
[PDF] La réciproque f?1 dune fonction bijective f
· Par exemple soit la fonction f(x)=(x+1)2 = y avec domaine D = {x : x ? ?1} · L'image R de cette fonction est R = {x : x ? 0} (puisque f(x) peut prendre
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Correction du problème 1 – Etude d'une fonction réciproque Si par exemple en ?? cette limite est ? > ?? on obtient par croissante
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Exposé 65 : Fonction reciproque d'une fonction continue strictement monotone sur un intervalle de » Exemple Pre requis : - notion d'intervalle
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Donner un exemple où g ? f est bijective mais f n'est pas surjective et g n'est pas injective Exercice 2 : [corrigé] Étudier l'injectivité la surjectivité
[PDF] I Fonction réciproque dune fonction II Logarithme népérien
I et J sont des intervalles de R f est une bijection de I sur J signifie que : "Pour tout y de J il existe un unique x ? I tel que y = f(x) " ? exemples
[PDF] 1 Bijection et fonctions réciproques
On note ? la fonction réciproque de f restreinte à [?2 +?[ ? est-elle dérivable en ?3? Exercice 18 (une étude modèle) On pose f : x ?? arcsin
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FONCTION RÉCIPROQUE D'UNE FONCTION CONTINUE D'UNE FONCTION DÉRIVABLE EXEMPLES ON SE LIMITERA AUX FONCTIONS NUMÉRIQUES DÉFINIES SUR UN INTERVALLE DE R
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Remarque 1 Rappelons que toute fonction bijective admet une fonction réciproque Exemple 2 Montrer que la fonction f (x) = x3 est bijective
[PDF] 1) Fonction reciproque 2) Propriete de la fonction reciproque
Exemple Pre requis : - notion d'intervalle - bijection - continuité et derivabilité d'une fonction - theoreme
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Exemple : Voici un exemple : la fonction logarithme définie sur ]0; +?[ et la fonction exponentielle définie sur R 1 2 3 4 ?1 ?2 ?3 1 2
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Dérivation de fonctions réciproques- Fonctions élémentaires Exercice 1: Montrer que les fonctions ƒ et g admettent une fonction réciproque que l'on
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Fonctions trigonométriques réciproques Exercice 1 Soit la fonction définie par Sur quel ensemble cette fonction est-elle définie et continue ?
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La notion de fonction réciproque depuis les changements de programme de 2002 au secondaire est un exemple de ces contenus disparus des programmes de
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sa fonction réciproque appelée arc tangente ainsi : arctan : r ? ]- 2 ? ; 2 ? [ x arctan(x) avec l'équivalence : y = arctan(x) ? x = tan(y) Exemples
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L'application réciproque de ln est la fonction exponentielle c'est-à-dire ?x ? R ?y ?]0 +?[ exp(x) = y ?? x = ln y Définition 5 Fonction logarithme
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LEÇON N? 63 : Fonction réciproque d'une fonction strictement monotone sur un intervalle de R Étude de la continuité de la dérivabilité Exemples
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Exemples de fonctions réciproques Racines et carrés Graphiquement Exemples en géométrie Calcul de la fonction réciproque Dérivée de la fonction réciproque
Pre requis :
- notion d"intervalle - bijection - continuité et derivabilité d"une fonction - theoreme des valeurs intermediaires dans tout l"exposé, I designe un intervalle non vide de ?. On note( )mC Il"ensemble des fonctions continues et strictement monotones sur I.1) Fonction reciproque
Theoreme : Si ( )mf C I? alors f realise une bijection sur ( )f IPreuve :
( )f I est un intervalle d"apres le theoreme des valeurs intermédiaires : ( )f I f I→ est surjective par construction Soit 21 2( , )x x I?, supposons fstrictement croissante (on change le sens des inegalité si elle
est strictement decroissante, ou on considere f-qui sera alors strictement croissante)1 2 1 2( ) ( )x x f x f x< ? Definition : Soit
( )mf C I?. L"application qui a tout ( )y f I? associe son unique antecedent par la fonction f est appelée fonction reciproque de f. On la note 1f- Remarque :
1( )( )
y f xx f y x Iy f I Si ( )mf C I? alors 1 If f Id-=? et1
( )f If f Id-=? Preuve (si le jury le demande)
, ( )x I y f I? ?tel que 1( ); ( )y f x x f y-= = 1 1 1( ) ( )If f x f y x f f Id- - -= = ? =? ?
2) Propriete de la fonction reciproque
a) Sens de variation Proposition : Si ( )mf C I? alors 1f- est strictement monotone sur ( )f I et a le même sens de variation que f. Preuve : cas où f est strictement croissante sur I Soient
2 1 2( , ) ( ( ))y y f I? tel que 1 2y y<. On pose 1 1 2 2( ), ( )x f y x f y= =
1 1 1 2 1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )y y f x f x x x f y f y- -< ? < ? < ? <
L"implication du milieu vient du fait que
f est croissante donc 1 2 1 2( ) ( )x x f x f x< ? < or si on prend la contraposé on a b) Continuité Lemme : Soit ( )mf C I?.( )f I est un intervalle si et seulement si f est continue sur I. Preuve : cela vient du fais que l"image d"un compact par une fonction continue est un compact. Propriété : Si
( )mf C I? alors 1f- est continue sur ( )f I. Preuve ( à faire) :
fest continue et strictement monotone sur I donc fest bijective de I sur ( )f I. fcontinue implique ( )J f I=est un intervalle, or 1f- existe et est strictment monotone d"où 1( )f J I-=, intervalle, ce qui entraine 1f-continue.
Exemple :
[ ], 1,1:2 2 sinf x x c) Dérivabilité Theoreme : Soit ( )mf C I? et ox I? tel que f soit derivable en ox et "( ) 0of x≠ Alors 1f- est dérivable en ( )o oy f x=et on a 1 11 1( )"( )
"( ) "( ( ))o o of yf x f f y Remarque : il se peut que
f ne soit pas derivable en un point et que 1f-le soit. Sur le graphe f aura une tangente verticale, et donc 1f-une tangente horizontale. Preuve (du theoreme) :
Montrons que
1 1( ) ( )1lim , "( ) 0"( )o
o oy yo of y f yf xy y f x- - La fonction
f étant dérivable en ox, on a ( ) ( )"( ) lim o o ox xof x f xf xx x -=-, comme 1f- est continue en oy, le théoreme de compositions de limites donne : 1 1 1 1( ( )) ( )"( ) lim lim
( ) ( ) ( )oo o o ox x y y oo f f y f x y yf x f y x f y f y Cette limite etant supposée non nulle, d"apres le theoreme de l"inverse d"une limite,on a (en fait c"est le theoreme des compositions de fonction avec la fonction inverse, sur un point non nul donc ou la fonction onverse est definie) 1 1( ) ( )1lim , "( ) 0"( )o
o oy yo of y f yf xy y f x- - Exemple :
2 21 1 1(arctan )"1 1 tan (tan )"
tan arctanx x y y y x y x= = = d) Graphe Soit ( )mf C I?
Graphe de
f :={}( , ( );fG x f x x I= ? Graphe de
1f- := {}{}1
1( , ( )); ( ) ( ( ), );fG y f y y f I f x x x I-
1fG- est donc le symetrique de fG par rapport à la 1ere bissectrice
Dessin
3) Exemple
a) Fonction exponentielle et logarithme neperien. exp:? +→? ?exp est continue et strictmenent monotone sur ? exp( ) Elle admet une fonction reciproque qui est ln:
( , ) ( , ln )xx e y y x y? dessin b) Fonction tangente et arctangente tan: ,2 2π π? ?- →? ?? ??, tan est continue et strictement monotone sur cet intervalle. tan ,2 2π π( )? ?- =( )? ?? ?( )?, elle admet donc une fonction reciproque notée arctan. arctan: ,2 2 ( ), ,tan ,arctan2 2x x y y y xπ π( )? ?? ? - = ? ? ? =( )? ?? ?( )? dessinquotesdbs_dbs4.pdfusesText_7
Definition : Soit
( )mf C I?. L"application qui a tout ( )y f I? associe son unique antecedent par la fonction f est appelée fonction reciproque de f. On la note 1f-Remarque :
1( )( )
y f xx f y x Iy f I Si ( )mf C I? alors 1If f Id-=? et1
( )f If f Id-=?Preuve (si le jury le demande)
, ( )x I y f I? ?tel que 1( ); ( )y f x x f y-= =1 1 1( ) ( )If f x f y x f f Id- - -= = ? =? ?
2) Propriete de la fonction reciproque
a) Sens de variation Proposition : Si ( )mf C I? alors 1f- est strictement monotone sur ( )f I et a le même sens de variation que f. Preuve : cas où f est strictement croissante sur ISoient
21 2( , ) ( ( ))y y f I? tel que 1 2y y<. On pose 1 1 2 2( ), ( )x f y x f y= =
1 11 2 1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )y y f x f x x x f y f y- -< ? < ? < ? <
L"implication du milieu vient du fait que
f est croissante donc 1 2 1 2( ) ( )x x f x f x< ? < or si on prend la contraposé on a b) Continuité Lemme : Soit ( )mf C I?.( )f I est un intervalle si et seulement si f est continue sur I. Preuve : cela vient du fais que l"image d"un compact par une fonction continue est un compact.Propriété : Si
( )mf C I? alors 1f- est continue sur ( )f I.Preuve ( à faire) :
fest continue et strictement monotone sur I donc fest bijective de I sur ( )f I. fcontinue implique ( )J f I=est un intervalle, or 1f- existe et est strictment monotone d"où1( )f J I-=, intervalle, ce qui entraine 1f-continue.
Exemple :
[ ], 1,1:2 2 sinf x x c) Dérivabilité Theoreme : Soit ( )mf C I? et ox I? tel que f soit derivable en ox et "( ) 0of x≠ Alors 1f- est dérivable en ( )o oy f x=et on a 111 1( )"( )
"( ) "( ( ))o o of yf x f f yRemarque : il se peut que
f ne soit pas derivable en un point et que 1f-le soit. Sur le graphe f aura une tangente verticale, et donc 1f-une tangente horizontale.Preuve (du theoreme) :
Montrons que
1 1( ) ( )1lim , "( ) 0"( )o
o oy yo of y f yf xy y f x- -La fonction
f étant dérivable en ox, on a ( ) ( )"( ) lim o o ox xof x f xf xx x -=-, comme 1f- est continue en oy, le théoreme de compositions de limites donne : 11 1 1( ( )) ( )"( ) lim lim
( ) ( ) ( )oo o o ox x y y oo f f y f x y yf x f y x f y f y Cette limite etant supposée non nulle, d"apres le theoreme de l"inverse d"une limite,on a (en fait c"est le theoreme des compositions de fonction avec la fonction inverse, sur un point non nul donc ou la fonction onverse est definie)1 1( ) ( )1lim , "( ) 0"( )o
o oy yo of y f yf xy y f x- -Exemple :
2 21 1 1(arctan )"1 1 tan (tan )"
tan arctanx x y y y x y x= = = d) GrapheSoit ( )mf C I?
Graphe de
f :={}( , ( );fG x f x x I= ?Graphe de
1f- := {}{}1
1( , ( )); ( ) ( ( ), );fG y f y y f I f x x x I-
1fG- est donc le symetrique de fG par rapport à la 1ere bissectrice
Dessin
3) Exemple
a) Fonction exponentielle et logarithme neperien. exp:? +→? ?exp est continue et strictmenent monotone sur ? exp( )Elle admet une fonction reciproque qui est ln:
( , ) ( , ln )xx e y y x y? dessin b) Fonction tangente et arctangente tan: ,2 2π π? ?- →? ?? ??, tan est continue et strictement monotone sur cet intervalle. tan ,2 2π π( )? ?- =( )? ?? ?( )?, elle admet donc une fonction reciproque notée arctan. arctan: ,2 2 ( ), ,tan ,arctan2 2x x y y y xπ π( )? ?? ? - = ? ? ? =( )? ?? ?( )? dessinquotesdbs_dbs4.pdfusesText_7[PDF] fonction réciproque pdf
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