[PDF] Chapitre 3 - Racines dun polynôme





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Chapitre 3 Dérivabilité des fonctions réelles

une fonction polynôme est dérivable sur R et sa dérivée est un polynôme. Théor`eme 3.2.3 (Dérivation des fonctions réciproques).



Chapitre 3 - Racines dun polynôme

polynôme associée x 7 ! x + x2 est la fonction nulle. Exercice 3.1 Trouver un polynôme A 2 R[X] de degré inférieur ou égal `a trois tel que A(0) = 0.



Aide-mémoire TI-Nspire CAS

Cette fonction permet aussi de calculer la valeur du polynôme en un point. © T³ France 2008 / Photocopie autorisée. Page 7. Aide-mémoire. 7.



Corrigé du TD no 11

(pour un calcul plus détaillé d'une bijection réciproque voir l'exercice suivant). Exercice 11. 1. Soit la fonction f : [?1



Utilisation des modules de Drinfeld en cryptologie

fonction ? est alors définie par : ?(z) = (?c1 ? ? ? ?c2 )(z) donnée comme un polynôme de B[z]. Cette fonction est bijective et sa réciproque est la 



Notes de cours Calcul différentiel

5 est un nombre premier » « x2 ? 1 = (x ? 1)(x + 1) » « La fonction polynôme de degrée 2 que l'on veut factoriser on trouve.



SAVOIR – FAIRE

8- Connaissant un encadrement des réel r et savoir trouver un encadrement des réels : degré (en particulier où f est une fonction polynôme du.



Mathématiques B30

Pour chacune des fonctions illustrées ci-dessous trace le graphique de la fonction inverse. a) b). Page 57. P.54 - Math B30 - Fonctions poly 



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est une assertion vraie lorsque l'on peut trouver au moins un x de E pour lequel P(x) est vraie. On L'image réciproque existe quelque soit la fonction.



Cours - Injections surjections

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Montrer que ƒ admet une fonction réciproque g dont on précisera les domaines de définition et de dérivabilité 2 Calculer g'(11) Exercice 3: 1 On considère 



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La réciproque dune fonction - Alloprof

La réciproque d'une fonction est une relation où le domaine et l'image sont inversés Il faut intervertir x et y ou faire une réflexion de la courbe



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Tout polynôme réciproque du quatrième degré à coefficients réels est factorisable par deux polynômes du second degré à coefficients réels Exercice 2 30



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Déterminer la fonction réciproque dune fonction - Terminale

20 jui 2020 · Dans cette vidéo tu pourras apprendre à déterminer la fonction réciproque d'une fonction ???? Site Durée : 6:10Postée : 20 jui 2020

  • Comment trouver la fonction réciproque d'un polynôme ?

    La relation réciproque d'une fonction f de X dans Y est la relation notée f-1, de Y dans X, telle que, pour tous les éléments du domaine de f, si y = f(x), alors x = f -1(y).

  • Quelle est la formule de la réciproque ?

    En analyse, la fonction réciproque (ou bijection réciproque) d'une fonction bijective f est une fonction notée f-1 qui, à partir du résultat obtenu en appliquant f sur un nombre, redonne ce nombre.

  • Quelle est la fonction réciproque ?

    On va déterminer la réciproque par intervalles. Remarquons d'abord que f f définit une bijection de ]??;1[ ] ? ? ; 1 [ dans ]??;1[ ] ? ? ; 1 [ par la formule f(x)=x f ( x ) = x . La bijection réciproque est donnée par f?1(y)=y f ? 1 ( y ) = y .

Chapitre3

Racinesd'unpolynˆom e

3.1Fonction polynˆome

D´efinition3.1SoitA=a

0 +a 1

X+···+a

n X n unp olynˆomedeK[X].Onappellefonction polynˆomeassoci´ee`aAl'application A:K!Kqui`ato utxdeKfaitcorre spondrel'´el´ement

A(x)=a

0 +a 1 x+···+a n x n deK. Remarque.Commeonleverra plu sloin, laconfusionentreu npolynˆomeets afonction polynˆomeassoci´een'a,dan slecaso`ulecorpsKestinfini(etdoncenp articulier lorsqu eK=R ouC)pas decons´ equenc efˆacheuse.Danslapratique,onconfondra doncsouventAet A. C'estparcontretout autrec hoselorsqueKestuncorps fini.Par exemple,siK=Z/2Z,le polynˆomeA=X+X 2 n'estpasnul(tous sescoe cientsnesontpasnuls )etpour tantlafonc tion polynˆomeassoci´eex7!x+x 2 estlafonc tionnul le...

Proposition3.2Soient(A,B)2(K[X])

2 et2K.Ona• A+B= e A+ e

Bet•

g AB= e A e B. D´emonstration:Celar´esulte demani`ereimm´ediatedesd´ efiniti onsdesop´erationssurles

Sch´emadeH¨orner

Gardonslesnotations pr´ec´ede ntesete

ectuonslecalculdeA(a)pou runcertain a2K.

Leco ˆutenmultiplicat ionsdu calculdea

0 +a 1 a+···+a n a n parlam´ ethod e"naturelle»est den1mu ltiplicationspourcalculerlespuissancesa 2 ,···,a n ,plusnmultiplicationspour calculerlestermesa 1 a,···,a n a n ,soi tautotal2n1.Les ch ´emadeH¨ornerconsiste `acalculer successivement p n =a n a n p n1 =(a n1 +p n )a=a n1 a+a n a 2 p 2 =(a 2 +p 3 )a=a 2 a+a 3 a 2 +···+a n a n1 p 1 =(a 1 +p 2 )a=a 1 a+···+a n a n etenfin A(a)=a 0 +p 1 ,ce quifai tseulemen tnmultiplications. Th´eor`eme3.3(FormuledeTaylor) Onsuppose lecorpsKdecar act´eristiquenulle 1 .Pour toutpolynˆ omeA= n X k=0 a k X k ett outscalair eadeK,ona:A(X)= n X k=0 A (k) (a) k! (Xa) k

1.Cett ehypoth`esen'es tl`aquepourgarantirquel'onpuissedivi serparlesk!.Q,RetCsontdescorpsde

caract´eristiquenulle. 17

18CHAPITRE3.RACINESD'UNP OLYN

OME

D´emonstration:

EcrivonsA(X)=

n X k=0 a k (Xa+a) k .Siond´ eve loppechaqueterme(Xa+a) k parlaf ormuled ubinˆome(Xa+a) k k X i=0 k i a ki (Xa) i ,onobt ient,enr´eordonnantsuiv ant lespuissa ncesde(Xa), A(X)= n X k=0 b k (Xa) k avecdesc oe cientsb k quel'onva explicite rautrem ent. OnaA (0) (a)=A( a)=b 0 et,pour`2[[1,n]],parlin´ earit´e delad´erivation`al'ordre` A (X)= n X k=0 b k (Xa) k `1 X k=0 b k (Xa) k |{z} =0 n X k=` b k (Xa) k n X k=` b k k(k1)···(k`+1)( Xa) k` =b n X k=`+1 b k k(k1)···(k`+1)( Xa) k` En´eval uantcettequantit´eena,nou sobtenonsA (a)=b `!c'est`adireb A (a)

·On

trouvedoncbienfin alementA(X)= n X k=0 A (k) (a) k! (Xa) k

Exemple.PourA=X

3 +Xeta=1on obti ent :X 3 +X=2+4( X1)+3(X1) 2 +(X1) 3 Remarque.Lasp ´ecificit´edecetteformuledeTaylordansl ecaspoly nomialestqu'iln'y apas derest e. Exercice3.1TrouverunpolynˆomeA2R[X]ded egr´ein f´erieurou´egal`at roistelqueA(0)=0 etA(1)=A 0 (1)=A 00 (1)=2.

3.2Racines, ordred'uneracine

D´efinition3.4SoientAunpo lynˆomedeK[X]etaun´e l´ementdeK.Onditqueaestune racinedeAsil'applic ationpolynomialeA:K!K,x7!A(x)s'annuleena:A(a)=0. Proposition3.5SoientAunpoly nˆomedeK[X]etaun´e l´ementdeK.aestune racinedeA siet seulement siXadiviseA. D´emonstration:SupposonsqueXadiviseA,soitA=(Xa)Q.Onobti entauss itˆot

A(a)=(aa)Q(a)=0.

R´eciproquement,supposonsqueA(a)=0. Onp eut fairela divisioneucl idiennedeApar Xa: A=Q(Xa)+R ,o `ulede gr´edeRest strict ementinf´erieu r`a1=d eg( Xa)don cRestune constantec.En ´evaluan tcetterelationena,onob tie nt0=A(a)=c.Ain si,A=(Xa)Qet

3.2.RACI NES,ORDRED'UNERACINE19

Remarque.Lad´ emonstrationmetenlumi`erelefaitquel erestedans ladivi sioneuclidienne deApar Xan'estautrequeA(a).

Exemple.Ilex isteQtelqueX

4 2X 3 +X 2

X2=(X2)Qcar2 estraci ned e

X 4 2X 3 +X 2

X2.On trouveX

4 2X 3 +X 2

X2=(X2)(X

3 +X+ 1). Proposition3.6Unpoly nˆomenonnuldedegr´endeK[X]aauplusnracinesdistinctes. D´emonstration:Par r´ecu rrencesurn.Pou rn=0,u npol ynˆomec onstantnonnulposs`ede

´evidemmentz´eroracine.

Soitnfix´e,supposonsler ´esultatvraipourlespolyn ˆomesde degr´en;soi tmaintenant Aun polynˆomededegr´en+1. SiA n'aaucu ner acine,ler´ esultatestvraipou rA;sinonsoitaune racinedeA;parlapr opositi onpr´ec ´edent eonpeut ´ecrireA=(Xa)Qpouru npolynˆomeQ , quiestcl airementde degr´en.Mai ntenant,sibestuneraci nedeA,alors0 =A(b)=(ba)Q(b) doncb=aoubestunerac inedeQ(onu tilisel'hypoth` esed'i nt´ egrit´e deK);orQaau plu sn Cons´equence.Lese ulpolynˆomeay antuneinfinit´ederacine sestlepolynˆom enul. Exercice3.2Onsupp oselecorpsKinfini.Montrerquesid euxpolynˆomesdeK[X]d´efi nissent lamˆem efonctionpolynˆomed eKdansKalorsilsson t´egaux.

D´efinition3.7SoientA2K[X],r2N

eta2K.Onditqueaestracin ed'ordrerdeAs'il existeunpolynˆ omeQtelqueA=(Xa) r

QavecQ(a)6=0.Autrementdit,aestraci ned'ordre

rdeAsiAestdivi siblepar(Xa) r maispas par(Xa) r+1

Vocabulaire

Uneracin eestditesimplesielle estd'ordre1,doublesielle estd'ordre2,.. . D'unemani`ereg´e n´erale,l'entierrestappel´e ordredemultipl icit ´edelarac ine.

Exemple.A=X

5 9X 4 +25X
3 9X 2

54X+54, a=3.

A=(X3)(X

4 6X 3 +7X 2 +12X18) =(X3) 2 (X 3 3X 2 2X+6) =(X3) 3 (X 2 2)

3es tdoncracin ed'ordre3d upolynˆomeA.

Exercice3.3SoitAunpol ynˆ omenoncon stantdeK[X].Montrer quesia 1 ,···,a p sontdes racinesdeAd'ordresre spect ifs k 1 ,···,k p alorsAestdi vis iblepar(X a 1 k 1

···(Xa

p kp End´ed uirequ'unpolynˆomenonnulde degr´endeK[X]aaupl us nracines(compt´eesave c multiplicit´e).

Th´eor`eme3.8Soientr2N

,A2K[X]eta2K.aestracine d'ordrerdupol ynˆomeAsiet seulementsi

A(a)=A

0 (a)=...=A (r1) (a)=0etA (r) (a)6=0. D´emonstration:Parlafor mulede Taylor,ennotantd=de gA,onaA= d X k=0 A (k) (a) k! (Xa) k •SiA(a)=...=A (r1) (a)=0etA (r) (a)6=0,on an´ ece ssai rementd>ret A= d X k=r A (k) (a) k! (Xa) k =(Xa) r d X k=r A (k) (a) k! (Xa) kr |{z} Q(X)

20CHAPITRE3.RACINESD'UNP OLYN

OME etdoncaestracined 'ordrerdeApu isqueQ (a)= A (r) (a) r! 6=0. •R´eciproquement,siaestracined 'ordrerdeA,onad>ret: A= r1 X k=0 A (k) (a) k! (Xa) k |{z} R +(Xa) r d X k=r A (k) (a) k! (Xa) kr |{z} Q L'´ecritureci-dessusestcelle(u nique)deladivisioneuclidien nedeApar( Xa) r .Puisque (Xa) r |A,ona R=0 d'o `u

A(a)=A

0 (a)=...=A (r1) (a)=0.

Etcomme Q(a)6=0,A

(r) Exemple.Onconsi d`erelepolynˆomepr´ec´edent. OnaA(3)= 0. PuisA 0 =5X 4 36X
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