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Mathématiques pour léconomie et la gestion

INFORMATIQUE APPLIQUÉE. À LA GESTION. Skander Belhaj. • Cours complet. • Plus de 70 exercices. • Tous les corrigés détaillés. Mathématiques pour l'économie.



Mathématiques appliquées à lÉconomie et à la Gestion

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Nom de l'UE MATH 306 Mathématiques appliquées à la gestion 1 1 Mathématiques générales 3 1 1 Calcul différentiel et intégral

  • Quel est le rôle des mathématiques dans l'économie ?

    Les mathématiques fournissent alors des outils qui peuvent aider à parvenir à un objectif défini – le profit de certains ou le bien être de la collectivité, par exemple – ou à extraire de l'information à partir des données disponibles, en mobilisant des techniques comme l'analyse factorielle ou l'analyse discriminante.

  • Quels sont les outils mathématiques utilisés par les économistes ?

    Les mathématiques
    Les outils les plus couramment utilisés par les économistes à ce stade des études sont : les fonctions, les graphiques, les dérivées, le calcul différentiel, l'optimisation sous ou sans contrainte et le calcul matriciel.

  • Pourquoi les maths sont importants dans le commerce ?

    On n'y pense pas toujours, mais les mathématiques sont intimement liées à l'informatique. Au vu de la numérisation croissante de la société, et notamment de l'automatisation électronique des processus, beaucoup de domaines du monde du commerce associent de manière étroite les mathématiques et l'informatique.
  • Parmi les branches de l'économie, certaines, comme la microéconomie, la macroéconomie, l'économétrie ou l'économie de l'environnement (qui joue un rôle particulier dans une approche de développement durable), constituent des approches transverses de l'économie.

Skander Belhaj

Mathématiques pour

l'économie et la gestion

Analyse et algèbre

Constitué d'un cours completet de 75 exercices corrigés,ce manuel présente l'ensemble du programme d'algèbre et d'analyse des filières Sciences de gestion, Sciences économiques et Informatique appliquée à la gestion. Il introduit de façon simple et pédagogique les techniques et les résultats des mathématiques de base que les étudiants en première année de Licence doivent maîtriser. -:HSMDLB=UUW\X\:

ISBN 978-2-311-00273-7

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Mathématiques pour l'économie et la gestion

LICENCE

1 -

SCIENCES DE GESTION

SCIENCES ÉCONOMIQUES

- IAG

Cours & exercices corrigésLICENCE1

SCIENCES DE GESTION

SCIENCES ÉCONOMIQUES

INFORMATIQUE APPLIQUÉE

À LA GESTION

Skander Belhaj

Directeur du département des méthodes quantitatives de la faculté des Sciences juridiques, économiques et de gestion de Jendouba (Tunisie),Skander Belhaj est docteur en mathématiques

appliquées et spécialiste d'algèbre matricielle rapide. Chercheur à l'université de Tunis El Manar

(ENIT-LAMSIN) et à l'université de Franche-Comté (Besançon), il enseigne actuellement à l'institut

supérieur des arts du multimédia de la Manouba (Tunisie) et à l'université libre de Tunis.Sommaire

I. Analyse

1. Fonctions d'une variable réelle

2. Développements limités

3. Fonctions réelles à deux variables

4. Optimisation et recherche d'extremums

de deux variables

5. IntégrationII. Algèbre1. Polynômes et fractions rationnelles2. Espaces vectoriels3. Applications linéaires, matrices4. Systèmes d'équations linéaires,

déterminant

5. Diagonalisation d'une matrice carrée

Cours complet•

Plus de 70 exercices

Tous les corrigés détaillés

Mathématiques

pour l'économie et la gestion

Analyse et algèbre

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Analyse et algèbre

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Couverture : Linda Skoropad/Prescricom

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La loi du 11 mars 1957 n'autorisant aux termes des alinéas 2 et 3 de l'article 41, d'une part, que les " copies ou reproductions

strictement réservées à l'usage privé du copiste et non destinées à une utilisation collective » et, d'autre part, que les analyses et les

courtes citations dans un but d'exemple et d'illustration, " toute représentation ou reproduction intégrale, ou partielle, faite sans le

consentement de l'auteur ou de ses ayants droit ou ayants cause, est illicite » (alinéa 1 er de l'article 40). Cette représentation ou

reproduction, par quelque procédé que ce soit, constituerait donc une contrefaçon sanctionnée par les articles 425 et suivants du

Code pénal. Des photocopies payantes peuvent être réalisées avec l'accord de l'éditeur. S'adresser au Centre français d'exploitation du

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ii belhaj 2011/10/20 16:16 page III #1 ii i ii iTable des matières

Introduction VII

Analyse 1

1 Les fonctions numériques d'une variable réelle3

1.1 Limite d'une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Fonctions continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3 Dérivabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.4 Fonctions convexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.5 Formules de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.6 Diérentielle et approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.7 Fonctions usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.8 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2 Développements limités29

2.1 Développements limités au voisinage de zéro . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.2 Opérations sur les développements limités . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.3 Fonctions équivalentes, dénition et opérations . . . . . . . . . . . . . 37

2.4 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3 Fonctions réelles à deux variables43

3.1 Généralités et dénitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.2 Fonctions réelles à deux variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4 Optimisation et recherche d'extremums de deux variables53

4.1 Cas de recherche sans contrainte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

4.2 Cas de recherche sous contrainte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

ii belhaj 2011/10/20 16:16 page IV #2 ii i ii iIVTable des matières

5 Intégration59

5.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

5.2 Méthodes d'intégration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

5.3 Calcul pratique des intégrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

5.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

Algèbre67

6 Polynômes et fractions rationnelles69

6.1 Polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

6.2 Fractions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

6.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

7 Espaces vectoriels81

7.1 L'espace vectorielRn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

7.2 Espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

7.3 Combinaisons linéaires, sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . 84

7.4 Indépendance linéaire, base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

7.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

8 Applications linéaires, matrices91

8.1 Applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

8.2 Calcul matriciel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

8.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

9 Systèmes d'équations linéaires, déterminant111

9.1 Systèmes d'équations linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

9.2 Le déterminant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

9.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

10 Diagonalisation d'une matrice carrée125

10.1 Élément propre d'une matrice carrée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

10.2 Diagonalisation d'une matrice carrée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

10.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

Corrigés133

Corrigés du chapitre 1135

Corrigés du chapitre 2147

Corrigés du chapitre 3153

Corrigés du chapitre 4161

Corrigés du chapitre 5169

ii belhaj 2011/10/20 16:16 page V #3 ii i ii iTable des matièresV

Corrigés du chapitre 6173

Corrigés du chapitre 7175

Corrigés du chapitre 8179

Corrigés du chapitre 9187

Corrigés du chapitre 10191

ii belhaj 2011/10/20 16:16 page VI #4 ii i ii i ii belhaj 2011/10/20 16:16 page VII #5 ii i ii iIntroduction

L'ouvrageLe but de ce cours est d'introduire de façon simple et élémentaire les techniques et les

résultats mathématiques de bases en algèbre et en analyse que l'étudiant en première année de SG (Sciences de Gestion), SE (Sciences Économique), et IAG (Informatique Appliquée à la Gestion) doit maîtriser et qu'il pourra réutiliser dans d'autres cours

d'enseignement. Il ne s'agit pas de démontrer les théorèmes ou les résultats énoncés

mais d'expliquer leurs utilisations et leurs règles de calcul. À la n de chaque chapitre, de nombreux exercices corrigés, permettant aux étudiants de tester leurs connaissances, complètent et illustrent le cours.

L'auteur

Docteur en mathématiques appliquées, Skander Belhaj est spécialiste d'algèbre ma- tricielle rapide. Chercheur à l'école nationale d'ingénieurs de Tunis (ENIT-LAMSIN) et à l'université de Franche-Comté (Besançon), il enseigne actuellement à l'institut supérieur des arts du multimédia de la Manouba (université de la Manouba, Tunisie) et l'université libre de tunis. Il a été élu directeur de département des méthodes quantitatives et aussi enseignant à la faculté des Sciences juridiques, économiques et de gestion de Jendouba (Tunisie).

Le public

Étudiants en première année des Licences de Sciences de Gestion, Sciences Économique et Informatique Appliquée à la Gestion (hors prépas hec). ii belhaj 2011/10/20 16:16 page VIII #6 ii i ii i ii belhaj 2011/10/20 16:16 page 1 #7 ii i ii iPremière partie

Analyse

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