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Université Joseph Fourier, Grenoble Maths en Ligne

Intégrales convergentes

La plupart des intégrales que vous rencontrerez ne sont pas des aires de domaines bornés du plan. Nous allons apprendre ici à calculer les intégrales de domaines non bornés, soit parce que l"intervalle d"intégration est infini, soit parce que la fonction à intégrer tend vers l"infini aux bornes de l"intervalle. Pour assimiler ce chapitre, vous avez juste besoin d"une petite révision des techniques de calcul des primitives, et d"une bonne compréhension de la notion de limite.

Table des matières

1 Cours 1

1.1 Définitions et propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Fonctions positives, intervalle non borné . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3 Fonctions positives, intervalle borné . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.4 Fonctions oscillantes, intervalle non borné . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.5 Fonctions oscillantes, intervalle borné . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.6 Plan d"étude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.7 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2 Entraînement 19

2.1 Vrai ou faux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.2 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.3 QCM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.4 Devoir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.5 Corrigé du devoir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3 Compléments 37

3.1 La pédagogie des sourds-muets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.2 Un tour de passe-passe d"Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.3 La courbe de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

9 mai 2012

Maths en LigneIntégrales convergentesUJF Grenoble1 Cours

1.1 Définitions et propriétés

Notre but dans ce chapitre est de calculer des intégrales sur des intervalles non bornés (allant jusqu"à+∞ou-∞), ou bien des intégrales sur un domaine borné, de

fonctions ayant une limite infinie en un point de l"intervalle d"intégration. Si on se réfère

à l"interprétation intuitive d"une intégrale comme la surface d"un domaine dans le plan, dans les deux cas nous cherchons à calculer des surfaces de domainesnon bornés. Considérons par exemple la fonctionfqui àt?R?associef(t) =|t|-3/2sin(t):

son graphe est représenté sur la figure 1. Comment donner un sens à l"intégrale def-20-16-12-8-4048121620-1.5

-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 y=|t|^(-3/2) sin(t) tyFigure1 - Graphe de la fonctiont?→ |t|-3/2sin(t). surR? Nous souhaitons une définition qui respecte les propriétés de base que sont la relation de Chasles, la linéarité et la monotonie. On commence d"abord par identifier lespoints incertains, soit±∞d"une part, et d"autre part le ou les points au voisinage desquels la fonction n"est pas bornée (t= 0 dans notre exemple). On découpe ensuite l"intervalle d"intégration en autant d"inter- valles qui faut pour que chacun d"eux ne contienne qu"un seul point incertain, placé à l"une des deux bornes. La relation de Chasles impose que l"intégrale sur l"intervalle complet soit la somme des intégrales sur les intervalles du découpage. Dans l"exemple de la fonctionf(t) =|t|-3/2sin(t)ci-dessus, il faut découper en 4 sous-intervalles : 2 pour isoler-∞et+∞, et 2 autres pour le point incertain0. On pourra écrire par exemple : -∞f(t)dt=? -1 -∞f(t)dt+? 0 -1f(t)dt+? 1

0f(t)dt+?

1f(t)dt .

Le seul but est d"isoler les difficultés : les choix de-1et1comme points de découpage sont arbitraires (par exemple-3et10auraient convenu tout aussi bien). Par ce découpage, on se ramène à des intégrales de 4 types. 1 Maths en LigneIntégrales convergentesUJF Grenoble1. intégrale sur]- ∞,a],

2. intégrale sur[a,+∞[,

3. intégrale sur]a,b], fonction non bornée ena,

4. intégrale sur[a,b[, fonction non bornée enb,

Le changement de variablet?→ -tpermet de réduire ces 4 cas à 2 seulement. En effet : a -∞f(t)dt=? -af(-u)du , b af(t)dt=? -a -bf(-u)du . Nous devons donc définir l"intégrale dans deux cas distincts.

Définition 1.

1. Soitfune fonction continue sur[a,+∞[. On dit que l"intégrale?+∞

af(t)dt convergesi la limite quandxtend vers+∞de la primitive?x af(t)dtexiste.

Si c"est le cas, on pose :

af(t)dt= limx→+∞? x af(t)dt .(1) Dans le cas contraire, on dit que l"intégralediverge.

2. Soitfune fonction continue sur]a,b]. On dit que l"intégrale?b

af(t)dtconverge si la limite à droite quandxtend versade?b xf(t)dtexiste. Si c"est le cas, on pose :?b af(t)dt= limx→a+? b xf(t)dt .(2) Dans le cas contraire, on dit que l"intégralediverge.

Observons que la deuxième définition est cohérente avec les propriétés de l"intégrale

d"une fonction continue : si la fonctionfest continue sur[a,b]tout entier, alors?b xf(t)dt est une fonction dexcontinue ena, et (2) est vérifié.

Dans?+∞

af(t)dt, la borne de gauche de l"intervalle d"intégration n"a pas d"influence sur le comportement de l"intégrale. Supposonsfcontinue sur[a,+∞[et choisissons un réela?> a. Par la relation de Chasles, x af(t)dt=? a? a f(t)dt+? x a ?f(t)dt Comme ?a? af(t)dtne dépend pas dex, la limite de?x af(t)dtexiste si et seulement si celle de?x a ?f(t)dtexiste aussi. La convergence d"une intégrale ne dépend donc pas du comportement de la fonction sur des intervalles bornés, mais seulement de son comportement au voisinage de+∞. 2

Maths en LigneIntégrales convergentesUJF GrenobleSifn"est pas bornée au voisinage dea, la convergence de?b

af(t)dtne dépend pas deb, pour la même raison : elle ne dépend que du comportement defau voisinage de a.

Le résultat suivant est une conséquence immédiate de la linéarité des intégrales et

des limites.

Proposition 1.

1. Soientfetgdeux fonctions continues sur[a,+∞[, etα,βdeux réels. Si les inté-

grales?+∞ af(t)dtet?+∞ ag(t)dtconvergent, alors?+∞ aαf(t)+βg(t)dtconverge et aαf(t) +βg(t)dt=α? af(t)dt+β? ag(t)dt .

2. Soientfetgdeux fonctions continues sur]a,b], etα,βdeux réels. Si les intégrales?b

af(t)dtet?b ag(t)dtconvergent, alors?b aαf(t) +βg(t)dtconverge et b aαf(t) +βg(t)dt=α? b af(t)dt+β? b ag(t)dt . Quand on peut calculer une primitive de la fonction à intégrer, l"étude de la conver- gence se ramène à un calcul de limite. Voici plusieurs exemples.

L"intégrale

011 +t2dtconverge.

En effet,

x

011 +t2dt=?

arctan(t)? x

0= arctan(x)etlimx→+∞arctan(x) =π2

On pourra écrire :

011 +t2dt=?

arctan(t)?

0=π2

à condition de se souvenir que

arctan(t)?

0désigne une limite en+∞.

Par contre, l"intégrale

011 +tdtdiverge.

En effet,

x

011 +tdt=?

ln(1 +t)? x

0= ln(1 +x)etlimx→+∞ln(1 +x) = +∞.

L"intégrale

?1

0ln(t)dtconverge.

3 Maths en LigneIntégrales convergentesUJF GrenobleEn effet, 1 xln(t)dt=? tln(t)-t? 1 x=x-xln(x)-1etlimx→0+(x-xln(x)-1) =-1

On pourra écrire :

?1

0ln(t)dt=?

tln(t)-t? 1 0=-1.

Par contre, l"intégrale

?1 01t dtdiverge.

En effet,

?1 x1t dt=? ln(t)? 1

x=-ln(x)etlimx→0-ln(x) = +∞.(a)(b)(c)(d)Figure2 - Différents types d"intégrales : (a) intervalle non borné, fonction de signe

constant; (b) intervalle borné, fonction de signe constant; (c) intervalle non borné, fonction de signe non constant; (d) intervalle borné, fonction de signe non constant. Quand on ne sait pas calculer une primitive, on a recours à deux types de méthodes, selon que la fonction est ou non de signe constant au voisinage du point incertain. Il y a donc 4 cas distincts, selon le type du point incertain, et le signe, constant ou non, de

la fonction à intégrer. Ces 4 types sont schématisés dans la figure 2 et leur étude fait

l"objet des sections suivantes. 4 Maths en LigneIntégrales convergentesUJF Grenoble1.2 Fonctions positives, intervalle non borné

Nous considérons ici

af(t)dt, oùfest de signe constant au voisinage de+∞.

Quitte à réduire l"intervalle d"intégration, et à changer éventuellement le signe defs"il

est négatif, nous pouvons supposer que la fonction est positive ou nulle sur l"intervalle

d"intégration[a,+∞[(figure 3). Rappelons que par définition,(a)Figure3 - Intégrale d"une fonction positive sur un intervalle non borné.

af(t)dt= limx→+∞? x af(t)dt . Observons que si la fonctionfest positive, alors la primitive?x af(t)dtest une fonction croissante dex(car sa dérivée estf(x)). Quandxtend vers l"infini, soit?x af(t)dtest bornée, et l"intégrale?+∞ af(t)dtconverge, soit?x af(t)dttend vers+∞. Si on ne peut pas (ou si on ne veut pas) calculer une primitive def, on étudie la convergence en comparant avec des intégrales dont la convergence est connue, grâce au théorème suivant. Théorème 1.Soientfetgdeux fonctions positives et continues sur[a,+∞[. Suppo- sons quefsoit majorée pargau voisinage de+∞: ?A,?t > A , f(t)6g(t). •Si?+∞ ag(t)dtconverge alors?+∞ af(t)dtconverge. •Si?+∞ af(t)dtdiverge alors?+∞ ag(t)dtdiverge. Démonstration: Comme nous l"avons observé, la convergence des intégrales ne dépend pas de la borne de gauche de l"intervalle, et nous pouvons nous contenter d"étudier?x

Af(t)dtet?x

Ag(t)dt. Or en utilisant la monotonie des intégrales, on obtient que pour toutx > A:?x

Af(t)dt6?

x

Ag(t)dt .

5 Maths en LigneIntégrales convergentesUJF GrenobleSi

Ag(t)dtconverge, alors?x

Af(t)dtest une fonction croissante et majorée par?+∞

Ag(t)dt, donc convergente. Inversement, si?x

Af(t)dttend vers+∞, alors?x

Ag(t)dt

tend vers+∞également. Comme application typique du théorème de comparaison des intégrales 1, nous allons montrer que l"intégrale

1tαe-tdtconverge,

pour tout réelα. Pour cela nous écrivons : t

αe-t=tαe-t/2e-t/2.

On sait que

limt→+∞tαe-t/2= 0, pour toutα(l"exponentielle l"emporte sur les puissances det). En particulier, il existe un réelA >0tel que : ?t > A, tαe-t/261. En multipliant les deux membres de l"inégalité pare-t/2on obtient : ?t > A, tαe-t6e-t/2.

Or l"intégrale

1e-t/2dtconverge. En effet :

x

1e-t/2dt=?-2e-t/2?x

1= 2e-1/2-2e-x/2etlimx→+∞2e-1/2-2e-x/2= 2e-1/2.

On peut donc appliquer le théorème de comparaison 1 : puisque

1e-t/2dtconverge,

on en déduit que?+∞

1tαe-tdtconverge aussi.

Grâce au théorème de comparaison 1, on peut remplacer la fonction à intégrer par un équivalent au voisinage de+∞pour étudier la convergence d"une intégrale. Théorème 2.Soientfetgdeux fonctions continues et positives sur[a,+∞[, équiva- lentes au voisinage de+∞: lim t→+∞f(t)g(t)= 1.

L"intégrale

af(t)dtconverge si et seulement si?+∞ ag(t)dtconverge. Démonstration: Dire que deux fonctions sont équivalentes au voisinage de+∞, c"est dire que le rapport tend vers1, ou encore : ?ε >0,?A,?t > A ,? ????f(t)g(t)-1? 6 Maths en LigneIntégrales convergentesUJF Grenoblesoit encore : ?ε >0,?A,?t > A ,(1-ε)g(t)< f(t)<(1 +ε)g(t). Fixonsε <1, et appliquons le théorème de comparaison 1 sur l"intervalle[A,+∞[.

Si l"intégrale?+∞

Af(t)dtconverge, alors l"intégrale?+∞

A(1-ε)g(t)dtconverge, donc

l"intégrale?+∞ Ag(t)dtaussi par la linéarité (proposition 1).

Inversement, si?+∞

Af(t)dtdiverge, alors?+∞

A(1+ε)g(t)dtdiverge, donc?+∞

Ag(t)dt

diverge aussi.

Par exemple, l"intégrale

1t

5+ 3t+ 1t

3+ 4e-tdtconverge.

En effet,

t

5+ 3t+ 1t

3+ 4e-t≂+∞t2e-t,

et nous avons déjà montré que l"intégrale

1t2e-tdtconverge.

L"utilisation des équivalents permet ainsi de ramener l"étude de la convergence d"une intégrale pour laquelle on n"a pas de primitive, à un catalogue d"intégrales dont la convergence est connue. Les plus classiques sont les intégrales de Riemann et de

Bertrand.

Intégrales de Riemann :

1t-αdt,

oùαest un réel strictement positif. Dans ce cas, la primitive est explicite :

1t-αdt=?

???lim x→+∞?

1-α+ 1t-α+1?x

1siα?= 1

lim x→+∞? ln(t)? x

1siα= 1

On en déduit immédiatement la nature (convergente ou divergente) des intégrales de

Riemann.

Siα61?

1t-αdtdiverge,

siα >1?

1t-αdtconverge.

Intégrales de Bertrand :

2t-1(ln(t))-βdt,

oùβest un réel strictement positif. La primitive est explicite :

2t-1(ln(t))-βdt=?

???lim x→+∞?

1-β+ 1(ln(t))-β+1?x

2siβ?= 1

lim x→+∞? ln(ln(t))? x

2siβ= 1

7

Maths en LigneIntégrales convergentesUJF GrenobleOn en déduit la nature (convergente ou divergente) des intégrales de Bertrand.

Siβ61?

2t-1(ln(t))-βdtdiverge,

siβ >1?

2t-1(ln(t))-βdtconverge.

Voici un exemple d"application :

2⎷t

2+ 3tln?

cos?1t sin

2?1ln(t)?

dtconverge. Pour le démontrer, calculons un équivalent de la fonction au voisinage de+∞. ⎷t

2+ 3t=t?1 +

3t ≂+∞t . ln cos(1t = ln?

1-12t2+o(1t

2)? +∞-12t2. sin

2?1ln(t)?

1ln(t)?

2 D"où un équivalent de la fonction au voisinage de+∞: ⎷t

2+ 3tln?

cos(1t sin

2?1ln(t)?

+∞-12t(ln(t))2. Remarquons que la fonction est négative au voisinage de+∞, ce qui ne change pas la

nature de l"intégrale. D"après le théorème 2, l"intégrale proposée est de même nature

que l"intégrale de Bertrand?+∞

2t-1(ln(t))-2dt, donc convergente.

1.3 Fonctions positives, intervalle borné

Nous traitons ici le cas où la fonction à intégrer tend vers l"infini en l"une des bornes de l"intervalle d"intégration. Le traitement est tout à fait analogue au cas précédent.

Quitte à réduire l"intervalle d"intégration, et à changer éventuellement le signe def,

nous pouvons supposer que la fonction est positive ou nulle sur l"intervalle d"intégration ]a,b], et tend vers+∞ena(figure 2). Rappelons que par définition, b af(t)dt= limx→a+? b xf(t)dt . Observons que si la fonctionfest positive, alors?b xf(t)dtcroît quandxdécroît vers a: soit?b xf(t)dtest bornée, et l"intégrale?b af(t)dtest convergente, soit?b xf(t)dttend vers+∞. Si on ne peut pas (ou si on ne veut pas) calculer une primitive def, on étudie la convergence en comparant avec des intégrales dont la convergence est connue, grâce au théorème suivant. 8

Maths en LigneIntégrales convergentesUJF Grenoble(b)Figure4 - Intégrale d"une fonction positive non bornée.

Théorème 3.Soientfetgdeux fonctions positives et continues sur]a,b]. Supposons quefsoit majorée pargau voisinage dea: ?ε,?t?]a,a+ε], f(t)6g(t). •Si?b ag(t)dtconverge alors?b af(t)dtconverge. •Si?b af(t)dtdiverge alors?b ag(t)dtdiverge. Démonstration: Comme nous l"avons observé, la convergence des intégrales ne dépend pas de la borne de droite de l"intervalle, et nous pouvons nous contenter d"étudier?a+ε xf(t)dtet?a+ε xg(t)dt. Or en utilisant la monotonie des intégrales, on obtient que pour toutx?]a,a+ε]:?a+ε xf(t)dt6? a+ε xg(t)dt . Si ?a+ε ag(t)dtconverge, alors?a+ε xf(t)dtcroît quandxdécroît versaet est majorée par?a+ε ag(t)dt, elle converge donc. Inversement, si?a+ε xf(t)dttend vers+∞, alors?a+ε xg(t)dttend vers+∞également. Voici une application typique du théorème de comparaison des intégrales 3. Nous allons montrer que l"intégrale 1

0(-ln(t))α⎷t

dtconverge, pour tout réelα. Pour cela nous écrivons :quotesdbs_dbs41.pdfusesText_41

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