FICHE : LIMITES ET ÉQUIVALENTS USUELS
FICHE : LIMITES ET ÉQUIVALENTS USUELS. Limites usuelles Équivalents classiques pour les suites. Si un ??????? n?+?. 0 alors :.
Limites et équivalents
6.1.4 Limite au voisinage de l'infini. Définition 9. Soit f une fonction définie au voisinage de +? et soit l ? R. On dit que la fonction f admet pour.
Limites et asymptotes
1) Limite infinie à l'infini On peut à présent définir une limite quelconque en l'infini : ... f(x) = l est équivalent à avoir lim x?+?[f(x) ? l]=0.
DÉVELOPPEMENTS LIMITÉS ET ÉQUIVALENTS
n dérivées successives en x = 0 peut se développer jusqu'à l'ordre n au voisinage de 0. ... II.3 Équivalents des fonctions polynômes en 0 et à l'infini.
Intégrales convergentes
9 mai 2012 bornés soit parce que l'intervalle d'intégration est infini
Développements limités et asymptotiques
Voici par exemple deux développements à l'ordre 4 au voisinage de 0
Intégrales impropres
désigne l'intervalle infini [a+?[ (si b = +?) ou l'intervalle fini. [a
Développements limités équivalents et calculs de limites
En déduire un équivalent de ?( ) ? 1 au voisinage de 0. Allez à : Correction exercice 26. Exercice 27. tend vers 0 lorsque tend vers l'infini.
Limites et continuité
un principe général : f(x) tend vers l (fini ou infini) quand x tend vers a Nous admettrons pour l'instant les équivalents suivants au voisinage de 0 ...
Feuille dexercices 10 Développements limités-Calculs de limites
e) Il faut factoriser par le terme qui tend le plus vite vers l'infini En déduire un équivalent de ?( ) ? 1 au voisinage de 0. Correction exercice 15.
[PDF] Limites et équivalents
On dit que f est définie au voisinage de ?? s'il existe un réel b tel que ] ? ?b] ? Df Exemple : Soit g : x ?? ? ln(x ? 8) Cette fonction est
[PDF] FICHE : LIMITES ET ÉQUIVALENTS USUELS
FICHE : LIMITES ET ÉQUIVALENTS USUELS Limites usuelles lnx x ?????? x?+? 0 x lnx ?????? x?0+ 0 ln(x) x ?1 ???? x?1 1 ln(1+ x)
[PDF] developpements limités usuels
Le développement limité de MAC LAURIN au voisinage de x = 0 à l'ordre "n" pour une fonction "f" indéfiniment dérivable s'écrit : /(x) = /(0) + x/'(0) +x2
[PDF] Chapitre 10 - Équivalents La notion de fonctions équivalentes est un
De plus la notion a un intérêt en tant que telle : savoir qu'une fonction f est équivalente `a n donne n3 quand n tend vers l'infini cela donne en pratique une
[PDF] Révision des équivalents et des développements limités - PAESTEL
La méthode la plus utilisée pour trouver un équivalent d'une fonction f est de chercher une fonction g non nulle au voisinage de x0 x0 exclu telle que
[PDF] I´Equivalence II Négligeabilité
Définition : Soient fg deux fonctions définies sur I sauf peut-être en x0 et continues On dit que f est équivalente `a g au voisinage de x0 et on écrit f(x)
[PDF] DL équivalents usuels limites à connaître
DL équivalents usuels limites à connaître Janvier 2012 ex =1+ x 1! + x2 2! + ··· + xn n! + xn?(x) = n ? k=0 xk k! + xn?(x) sin(x) = x ?
[PDF] Développements limités équivalents et calculs de limites
Développements limités équivalents et calculs de limites Pascal Lainé 3 Exercice 12 Déterminer le développement limité à l'ordre 4 au voisinage de
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13 jan 2018 · En fait une fonction donnée admet une infinité d'équivalents au voisinage d'un point a Seulement l'intérêt d'un équivalent est de
[PDF] Limites et continuité
On écrit f(x) ? g(x) qui se lit « f(x) est équivalent à g(x) » (au voisinage de a) Très souvent on appliquera ces définitions pour une fonction g non nulle
Comment trouver un equivalent en infini ?
Si l'on cherche une limite à l'infini, il est judicieux de procéder à un changement de variable en posant X=1x. On cherche alors la limite lorsque X tend vers 0 (voir la fonction xsin1x ? ). Enfin, le développement limité d'une fonction en un point n'est autre que la recherche d'une fonction polynomiale équivalente.Comment trouver un équivalent ?
On dit que f est équivalente `a g quand t ? a lorsqu'il existe un réel ? > 0 et une fonction h de [a? ?, a+ ?]?D vers R telle que pour t dans cet intervalle, f(t) = h(t)g(t) et que h(t) tende vers 1 quand t ? a.Quelles sont les limites de l'infini ?
Définition : Limite à l'infini
Si les valeurs de ( ) augmentent (ou diminuent) sans limite lorsque tend vers l'infini, alors on dit que la limite de ( ) à l'infini est égale à l'infini positif (ou négatif) respectivement.- Limite infinie d'une fonction quand la variable tend vers +?
On dit que f tend vers +? (ou bien diverge vers +?) quand x ?+? si ? M??, ? X?? tel que x>X ? f(x)>M.
Intégrales impropres
1. Définitions et premières propriétésLa plupart des intégrales que vous rencontrerez ne sont pas des aires de domaines bornés du plan. Nous allons
apprendre ici à calculer les intégrales de domaines non bornés, soit parce que l"intervalle d"intégration est infini
(allant jusqu"à+1ou1), soit parce que la fonction à intégrer tend vers l"infini aux bornes de l"intervalle. Pour
assimiler ce chapitre, vous avez juste besoin d"une petite révision des techniques de calcul des primitives, et d"une
bonne compréhension de la notion de limite.1.1. Points incertains
Considérons par exemple la fonctionfqui àt2]1,0[[]0,+1[associef(t) =sinjtjjtj32. Comment donner un sens à
l"intégrale defsurR?tsinjtjjtj3=2•On commence d"abord par identifier lespoints incertains, soit+1, soit1d"une part, et d"autre part le ou les
points au voisinage desquels la fonction n"est pas bornée (t=0 dans notre exemple).On découpe ensuite chaque intervalle d"intégration en autant d"intervalles qu"il faut pour que chacun d"eux ne
contienne qu"un seul point incertain, placé à l"une des deux bornes.Nous souhaitons une définition qui respecte la relation de Chasles. Ainsi l"intégrale sur l"intervalle complet est la
somme des intégrales sur les intervalles du découpage.Dans l"exemple de la fonctionf(t) =sinjtjjtj32ci-dessus, il faut découper les deux intervalles de définition]1,0[et
]0,+1[en 4 sous-intervalles : 2 pour isoler1et+1, et 2 autres pour le point incertain 0. INTÉGRALES IMPROPRES1. DÉFINITIONS ET PREMIÈRES PROPRIÉTÉS2On pourra écrire pour cet exemple :Z
+1 1 f(t)dt=Z 1 1 f(t)dt+Z 01f(t)dt+Z
1 0 f(t)dt+Z +1 1 f(t)dt.•Le seul but est d"isoler les difficultés : les choix de1et1comme points de découpage sont arbitraires (par
exemple3 et 10 auraient convenu tout aussi bien).1.2. Convergence/divergence
Par ce découpage, et par changement de variablet7! t, on se ramène à des intégrales de deux types.
1.Intégrale sur [a,+1[.
2. Intégrale sur ]a,b], avec la fonction non bornée ena.Nous devons donc définir une intégrale, appeléeintégrale impropre, dans ces deux cas.Définition 1.1.
Soitfune fonction continue sur[a,+1[. On dit que l"intégraleR+1 af(t)dtconvergesi la limite, lorsquextend vers+1, de la primitiveRx af(t)dtexiste et est finie. Si c"est le cas, on pose : Z +1 a f(t)dt=limx!+1Z x a f(t)dt. (1) Dans le cas contraire, on dit que l"intégralediverge. 2. Soitfune fonction continue sur]a,b]. On dit que l"intégraleRb af(t)dtconvergesi la limite à droite, lorsque xtend versa, deRb xf(t)dtexiste et est finie. Si c"est le cas, on pose : Z b a f(t)dt=limx!a+Z b x f(t)dt. (2) Dans le cas contraire, on dit que l"intégralediverge.Remarque.•Convergence équivaut donc à limite finie. Divergence signifie soit qu"il n"y a pas de limite, soit que la
limite est infinie.Observons que la deuxième définition est cohérente avec l"intégrale d"une fonction qui serait continue sur[a,b]
tout entier (au lieu de]a,b]). On sait que la primitiveRb xf(t)dtest une fonction continue. Par conséquent, l"intégrale usuelleRb af(t)dtest aussi la limite deRb xf(t)dt(lorsquex!a+). Dans ce cas, les deux intégrales coïncident.1.3. Exemples
Quand on peut calculer une primitiveF(x)de la fonction à intégrer (par exempleF(x) =Rx af(t)dt), l"étude de la convergence se ramène à un calcul de limite deF(x). Voici plusieurs exemples.Exemple 1.
L"intégraleZ+1
011+t2dtconverge.
En effet,
Zx011+t2dt="
arctant x0=arctanxet limx!+1arctanx=2
On pourra écrire :
Z+1011+t2dt="
arctant +1 0=2à condition de se souvenir que
arctant +10désigne une limite en+1.
INTÉGRALES IMPROPRES1. DÉFINITIONS ET PREMIÈRES PROPRIÉTÉS311+t2Cela prouve que le domaine sous la courbe n"est pas borné, mais cependant son aire est finie!
Exemple 2.
Par contre, l"intégraleZ+1
011+tdtdiverge.
En effet,
Zx011+tdt="
ln(1+t) x0=ln(1+x)et limx!+1ln(1+x) = +1.
Exemple 3.
L"intégraleZ1
0 lntdtconverge.En effet,
Z1 x lntdt=" tlntt 1 x=xxlnx1 et limx!0+(xxlnx1) =1 .On pourra écrire :
Z1 0 lntdt=" tlntt 1 0=1 .Exemple 4.
Par contre, l"intégraleZ1
01t dtdiverge.En effet,
Z1 x1t dt=" lnt 1 x=lnxet limx!0+lnx= +1.1.4. Relation de ChaslesLorsqu"elle converge, cette nouvelle intégrale vérifie les mêmes propriétés que l"intégrale de Riemann usuelle, à
commencer par la relation de Chasles :Proposition 1(Relation de Chasles). Soitf:[a,+1[!Rune fonction continue et soita02[a,+1[. Alors les intégrales impropresR+1 af(t)dtetR+1 a0f(t)dt sont de même nature. Si elles convergent, alorsZ
+1 a f(t)dt=Z a0 a f(t)dt+Z +1 a0f(t)dt.
" Être de même nature » signifie que les deux intégrales sont convergentes en même temps ou bien divergentes en
même temps.Le relation de Chasles implique donc que la convergence ne dépend pas du comportement de la fonction sur des
intervalles bornés, mais seulement de son comportement au voisinage de+1. INTÉGRALES IMPROPRES1. DÉFINITIONS ET PREMIÈRES PROPRIÉTÉS4Démonstration.La preuve découle de la relation de Chasles pour les intégrales usuelles, aveca6a06x:
Z x a f(t)dt=Z a0 a f(t)dt+Z x a0f(t)dt.
Puis on passe à la limite (lorsquex!+1).Bien sûr, si on est dans le cas d"une fonction continuef:]a,b]!Ravecb02]a,b], alors on a un résultat similaire,
et en cas de convergence :Zb a f(t)dt=Z b0 a f(t)dt+Z b b0f(t)dt.
Dans ce cas la convergence de l"intégrale ne dépend pas deb, mais seulement du comportement defau voisinage de
a.1.5. Linéarité
Le résultat suivant est une conséquence immédiate de la linéarité des intégrales usuelles et des limites.Proposition 2(Linéarité de l"intégrale).
Soientfetgdeux fonctions continues sur[a,+1[, et,deux réels. Si les intégralesR+1 af(t)dtetR+1 ag(t)dt convergent, alorsR+1 af(t)+g(t)dt converge et Z +1 a f(t)+g(t)dt=Z +1 a f(t)dt+Z +1 ag(t)dt.Les mêmes relations sont valables pour les fonctions d"un intervalle]a,b], non bornées ena.
Remarque : la réciprocité dans la linéarité est fausse, il est possible de trouver deux fonctionsf,gtelles queR+1
af+g converge, sans queR+1 af, niR+1 agconvergent. Trouvez un tel exemple!1.6. PositivitéProposition 3(Positivité de l"intégrale).
Soient f,g:[a,+1[!Rdes fonctions continues, ayant une intégrale convergente.Si f6g alorsZ +1 a f(t)dt6Z +1 a g(t)dt.En particulier, l"intégrale (convergente) d"une fonction positive est positive :Sif>0 alorsZ
+1 a f(t)dt>0Une nouvelle fois, les mêmes relations sont valables pour les fonctions définies sur un intervalle]a,b], non bornées
ena, en prenant bien soin d"avoiraSi l"on ne souhaite pas distinguer les deux types d"intégrales impropres sur un intervalle[a,+1[(ou] 1,b])
d"une part et]a,b](ou[a,b[) d"autre part, alors il est pratique de rajouter les deux extrémités à la droite numérique :R=R[f1,+1g
Ainsi l"intervalleI= [a,b[aveca2Retb2Rdésigne l"intervalle infini[a,+1[(sib= +1) ou l"intervalle fini
[a,b[(sib<+1). De même pour un intervalleI0=]a,b]aveca=1oua2R. INTÉGRALES IMPROPRES1. DÉFINITIONS ET PREMIÈRES PROPRIÉTÉS51.7. Critère de CauchyOn termine par une caractérisation de la convergence un peu plus délicate (qui peut être passée lors d"une première
lecture). Rappelons d"abord le critère de Cauchy pour les limites. Rappel: Soitf:[a,+1[!R. Alors limx!+1f(x)existe et est finie si et seulement si8 >09M>au,v>M=)f(u)f(v)< .Théorème 1(Critère de Cauchy).
Soit f:[a,+1[!Rune fonction continue. L"intégrale impropreR+1 af(t)dt converge si et seulement si8 >09M>a
u,v>M=)Z v u f(t)dt< .Démonstration. Il suffit d"appliquer le rappel ci-dessus à la fonctionF(x) =Rx af(t)dtet en notant queF(u)F(v)=Rv uf(t)dt.1.8. Cas de deux points incertainsOn peut considérer les intégrales doublement impropres, c"est-à-dire lorsque les deux extrémités de l"intervalle de
définition sont des points incertains. Il s"agit juste de se ramener à deux intégrales ayant chacune un seul point
incertain.Définition 2. Soienta,b2RavecaSi une des deux intégralesRc
af(t)dtou bienRb cf(t)dtdiverge, alorsRb af(t)dtdiverge. Prenons l"exemple deR+x xtdtqui vaut toujours0, pourtantR+11tdtdiverge! En effet, quel que soitc2R,R+x
ctdt=x22 c22 tend vers+1(lorsquex!+1).Exemple 5.
Est-ce que l"intégrale suivante converge?Z+1
1tdt(1+t2)2
On choisit (au hasard)c=2. Il s"agit de savoir si les deux intégralesZ 21tdt(1+t2)2etZ
+12tdt(1+t2)2
convergent.En notant qu"une primitive de
t(1+t2)2est1211+t2, on obtient :
Z 2 xtdt(1+t2)2=1211+t2
2 x=12 1511+x2
! 110 lorsquex! 1. Donc R21tdt(1+t2)2converge et vaut110
De même
Zx2tdt(1+t2)2=12
11+t2
x 2=1211+x215
!+110 lorsquex!+1. Donc R+12tdt(1+t2)2converge et vaut+110
AinsiR+1
1tdt(1+t2)2converge et vaut110+110=0. Ce n"est pas surprenant car la fonction est une fonction impaire.
Refaites les calculs pour une autre valeur decet vérifiez que l"on obtient le même résultat.
INTÉGRALES IMPROPRES2. FONCTIONS POSITIVES6On termine en expliquant le plan du reste du chapitre. Lorsque l"on ne sait pas calculer une primitive, on a recours à
deux types de méthode : soit la fonction est de signe constant au voisinage du point incertain, soit elle change de
signe une infinité de fois dans ce voisinage (on dit alors qu"elle " oscille »). Nous distinguerons aussi le cas où le point
incertain est1ou bien une valeur finie. Il y a donc quatre cas distincts, selon le type du point incertain, et le signe,
constant ou non, de la fonction à intégrer. Ces quatre types sont schématisés dans la figure suivante et leur étude fait
l"objet des sections suivantes.a+1a+1ababDifférents types d"intégrales : intervalle non borné,fonction de signe constant; intervalle non borné,fonction oscillante;
intervalle borné, fonction de signe constant; intervalle borné, fonction oscillante.Mini-exercices.1.
Pour chacune des intégrales suivantes, déterminer le point incertain, dire si l"intégrale converge,
et si c"est le cas, calculer la valeur de l"intégrale : Z 101p1tdtZ
+1 0 costdtZ 1011tdtZ
ln2 1 etdt 2. Même exercice pour ces intégrales ayant deux points incertains : Z +11dt1+t2Z
11dt(t1)2Z
+1 1 ejtjdtZ +1 01t dt 3.Écrire la preuve de la linéarité des intégrales impropres. Même chose pour la positivité. 2. Fonctions positives
Nous considérons iciR+1
af(t)dt, oùfest de signe constant au voisinage de+1. Quitte à réduire l"intervalled"intégration, et à changer éventuellement le signe defs"il est négatif, nous supposerons que la fonction est positive
ou nulle sur l"intervalle d"intégration[a,+1[.a+1INTÉGRALES IMPROPRES2. FONCTIONS POSITIVES7
Rappelons que, par définition,
Z+1 a f(t)dt=limx!+1Z x a f(t)dt.Observons que si la fonctionfest positive, alors la primitiveRx af(t)dtest une fonction croissante dex(car sa dérivée estf(x)). Quandxtend vers l"infini, ou bienRx af(t)dtest bornée, et l"intégraleR+1 af(t)dtconverge, ou bienRx af(t)dttend vers+1.2.1. Théorème de comparaison
Si on ne peut pas (ou si on ne veut pas) calculer une primitive def, on étudie la convergence en comparant avec des
intégrales dont la convergence est connue, grâce au théorème suivant.Théorème 2.Soientfetgdeux fonctions positives et continues sur[a,+1[. Supposons quefsoit majorée pargau voisinage de
+1:9A>a8t>A f(t)6g(t).
1.Si R+1
ag(t)dt converge alorsR+1 af(t)dt converge. 2. Si R+1 af(t)dt diverge alorsR+1 ag(t)dt diverge.Démonstration.Comme nous l"avons observé, la convergence des intégrales ne dépend pas de la borne de gauche
de l"intervalle, et nous pouvons nous contenter d"étudierRxAf(t)dtetRx
Ag(t)dt. Or en utilisant la positivité de
l"intégrale, on obtient que, pour toutx>A,Zx A f(t)dt6Z x A g(t)dt. SiR+1Ag(t)dtconverge, alorsRx
Af(t)dtest une fonction croissante et majorée parR+1Ag(t)dt, donc convergente.
Inversement, siRx
Af(t)dttend vers+1, alorsRx
Ag(t)dttend vers+1également.Voici une application typique du théorème2 de comparaison.Exemple 6.
Montrons que l"intégraleZ+1
1 tetdtconverge, quel que soit le réel. Pour cela nous écrivons d"abord :tet=tet=2et=2.quotesdbs_dbs41.pdfusesText_41[PDF] éveil musical maternelle
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