[PDF] Les Équations Différentielles en Mathématiques et en Physique

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UNIVERSITE JOSEPH FOURIER - GRENOBLE I

THESE

Pour obtenir le grade de

DOCTEUR DE L"UNIVERSITE JOSEPH FOURIER

Ecole doctorale de Mathématiques et Informatique- Sciences de Technologies de l"Information

Présentée et soutenue publiquement par

Ayse SAGLAM

Le 29 octobre 2004

Les Équations Différentielles en Mathématiques et en Physique Étude des conditions de leur enseignement et caractérisation des rapports personnels des étudiants de première année d"université à cet objet de savoir

Composition de jury :

CHAACHOUA Abdelhamid, Maître de Conférences, Grenoble, co-directeur de thèse DORIER Jean-Luc, Professeur des Universités, Lyon, président

DUFAYARD

Jean, Professeur des Universités, Grenoble, directeur de thèse DUMON Alain, Professeur des Universités, Aquitaine, rapporteur LACROIX Daniel, Professeur agrégé de Physique, Grenoble, co-directeur de thèse SCHNEIDER Maggy, Professeur des Universités, Namur, rapporteur

Thèse préparée au sein de Laboratoire Interdisciplinaire de Didactique des Sciences Expérimentales et

des Technologies (LIDSET)

UNIVERSITE JOSEPH FOURIER - GRENOBLE I

THESE

Pour obtenir le grade de

DOCTEUR DE L"UNIVERSITE JOSEPH FOURIER

Ecole doctorale de Mathématiques et Informatique- Sciences de Technologies de l"Information

Présentée et soutenue publiquement par

Ayse SAGLAM

Le 29 octobre 2004

Les Équations Différentielles en Mathématiques et en

Physique

Étude des conditions de leur enseignement et caractérisation des rapports personnels des étudiants de première année d"université à cet objet de savoir

Composition de jury :

CHAACHOUA Abdelhamid, Maître de Conférences, Grenoble, co-directeur de thèse DORIER Jean-Luc, Professeur des Universités, Lyon, président DUFAYARD Jean, Professeur des Universités, Grenoble, directeur de thèse DUMON Alain, Professeur des Universités, Aquitaine, rapporteur LACROIX Daniel, Professeur agrégé de Physique, Grenoble, co-directeur de thèse SCHNEIDER Maggy, Professeur des Universités, Namur, rapporteur

Thèse préparée au sein de Laboratoire Interdisciplinaire de Didactique des Sciences Expérimentales et

des Technologies (LIDSET)

N Attribu par la bibliothque

à ma maman qui m"a appris l"amour tout en m"aimant autant... remerciements

C"est un grand plaisir d"être au moment de remercier ceux et celles qui étaient avec moi tout au long

de ces années soit en m"aidant vraiment soit simplement en me demandant de temps en temps "ça se

passe bien avec ta thèse ?". Je tiens à remercier sincèrement madame Maggy Schneider et monsieur Alain Dumon qui m"ont fait l"honneur d"avoir bien voulu rapporter sur mon travail. Je remercie également monsieur Jean Luc

Dorier pour avoir accepté de faire partie du jury et de l"avoir présidé. Merci encore pour ses remarques

intéressantes et surtout pour son amitié.

Je tiens également à remercier mes directeurs de thèse d"avoir bien voulu accepter de diriger ce travail

tout en m"accordant leurs confiances. J"ai des pensées particulières pour chacun d"eux sans doute...

Merci à Jean qui a su m"accorder généreusement son temps pendant toute la rédaction et m"a aidé à

structurer mes idées par ses questionnes constructives.

Un grand merci à Daniel pour ses conseils, son aide et ses idées originales. Les moments passés à la

recherche des éléments de réponses à mes questions sont inoubliables pour moi.... Celles-ci ont

souvent débouché sur des discussions à la fois très riches et philosophiques. Il m"a toujours laissé ma

liberté sans m"imposer son point de vue tout en me disant "c"est ta thèse Ayşe, c"est toi qui vas la

soutenir".

Mille merci à Hamid pour m"avoir conduit vers le monde de la merveille où se réunissent mes deux

passions : maths et physique. En m"ouvrant la porte d"un tel monde, il s"est trouvé tout naturellement

dans mon travail qui a été suivi, par lui, jusqu"au bout malgré certains obstacles. Sa méthode, ses

aides, ses idées et ses remarques m"étaient essentielles...

Je tiens à remercier aussi le Ministère d"Education Turc d"avoir financé ce travail de thèse durant

toutes ces années.

Un grand merci à tous les enseignants et à tous les étudiants de l"Université Joseph Fourier pour leurs

contributions à ce travail. Je dois remercier très vivement l"ensemble du laboratoire LIDSET qui m"ont accueilli dans une

ambiance chaleureuse et très sympa. J"ai gravé des bons souvenirs sur mon "cerveaux" et sur mon

"cœur" concernant la disponibilité et les aides de Herminia en tant que directrice de laboratoire, les

disputes (!) inoubliables avec Claire, la volonté d"aide de Isabelle Girault et le plaisir de partager mon

bureau avec Cédric.

Sans doute j"ai des pensées très particulières pour Hang. J"oublierai jamais les moments qu"on a

passés ensemble sur les pelouses, dans le couloir, au bureau, au téléphone et "les choses" qu"on a

partagées.... Merci de me soutenir, de m"encourager, de m"écouter parfois sans dire même "un seul

mot"...

Je remercie aussi Claude dont les remarques lors de la première journée de thésards m"ont été

nécessaires pour réorienter mon travail. Merci également de m"avoir aidé durant la rédaction finale de

la thèse et d"avoir réagi sur mon travail sans manquer à m"encourager.

Je tiens à remercier également Denise Grenier pour ses remarques et ses conseils précieux sur mon

travail.

Je remercie chaleureusement tous mes amis dont j"ai ressenti la présence d"une façon ou l"autre. Je ne

pourrais pas les citer un par un mais j"aimerais qu"ils sachent que je les ai pas oubliés. Notamment

merci à Nuray pour son soutien, ses encouragements qui venaient "par e-mail" ou "par téléphone"

durant toutes ces années difficiles... Comme je te dis "je t"oublierai pas ( !)".

Je ne pourrais pas finir cette cérémonie précieuse sans remercier l"ensemble de ma famille de m"avoir

respecté et soutenu dans toutes mes décisions et notamment en ce qui concerne le fait de faire une

thèse à l"étranger. Merci maman, merci papa d"être toujours "parfaits" pour moi.

Enfin à mon merveilleux époux, Salahattin, pour avoir patiemment "supporté" mes stresses, mes

absences, pour ses encouragements mais aussi pour ses aides. Je ne pourrais pas oublier les moments

qu"on a passés ensemble à la bibliothèque municipale les week-ends, à la table qui se trouve au plus

joli coin de salle de séjour, devant les ordinateurs des heures et des heures. Tu sais j"attends impatiemment la petite sœur de ma petite fille qui s"appellera probablement "les équations différentielles...approche qualitative". The life is difficult! Isn"t it ?

Table des matières

PARTIE A

Problématique et Méthodologie

Chapitre A

1

: Introduction à la problématique.......................................................................5

1. Relations mathématiques/physique..........................................................................................5

2. Modèles et modélisation............................................................................................................5

2.1. Le modèle.........................................................................................................................................6

2.2. Le processus de modélisation............................................................................................................8

2.3. Les démarches de construction du modèle.........................................................................................8

3. Aperçu des travaux existant sur les équations différentielles..................................................9

3.1. La prédominance de l"approche algébrique dans l"enseignement actuel..............................................9

3.2. La place de la modélisation dans l"enseignement des équations différentielles..................................10

3.3. Les études visant l"évolution de l"enseignement...............................................................................10

3.4. Notre position.................................................................................................................................11

4. Statuts de la notion d"équation différentielle........................................................................11

4.1. Objet "équation différentielle".........................................................................................................12

4.2. Modèle "équation différentielle"......................................................................................................12

4.2.1. Les équations différentielles dans la modélisation passive.........................................................12

4.2.2. Les équations différentielles dans la modélisation active...........................................................13

4.3. Analyse du statut des équations différentielles dans l"enseignement actuel......................................13

4.3.1. Les équations différentielles en mathématiques........................................................................14

4.3.2 Les équations différentielles en physique..................................................................................15

4.3.3. Conclusion ..............................................................................................................................16

Chapitre A

2

: De l"objet de l"étude au plan de l"étude..........................................................17

1. Introduction à notre objet d"étude.........................................................................................17

2. Reformulation de l"objet d"étude dans le cadre théorique de la théorie anthropologique du

3. Organisation de la recherche..................................................................................................20

3.1. Etude épistémologique....................................................................................................................20

3.2. Etude des rapports institutionnels....................................................................................................21

3.3. Etude des rapports personnels des étudiants à l"objet équation différentielle.....................................21

3.4. Organigramme de la thèse...............................................................................................................22

PARTIE B

Chapitre B : Aperçu épistémologique du concept d"équation différentielle.........................25

1. Naissance du concept d"équations différentielles...................................................................26

1.1. Du calcul différentiel aux équations différentielles...........................................................................26

1.2. Problèmes initiaux ..........................................................................................................................28

1.2.1. Problème "inverse tangente"....................................................................................................28

1.2.2. Problème "isochrone"..............................................................................................................30

1.2.3. Problème "brahystochrone"......................................................................................................32

2. L"évolution du concept d"équation différentielle...................................................................34

PARTIE C

Rapports Institutionnels des Etudiants de Première Année de l'Université aux Equations Différentielles

Introduction et méthodologie...............................................................................................41

Chapitre C

1 : Etude des caractéristiques de l"enseignement de l"objet équation différentielle

en classe de Terminale S......................................................................................................47

1. Etude des manuels de mathématiques de la classe de terminale...........................................47

1.1. Analyse écologique des manuels.....................................................................................................47

a. Manuel "Terracher".......................................................................................................................47

b. Manuel "Fractale" .........................................................................................................................48

1.2. Analyse praxéologique des manuels................................................................................................49

a. Manuel "Terracher".......................................................................................................................49

b. Manuel "Fractale" .........................................................................................................................53

2. Etude des manuels de physique de la classe de terminale......................................................55

2.1. Analyse écologique des manuels.....................................................................................................55

2.2. Analyse praxéologique des manuels................................................................................................55

a. Manuel "Nathan"...........................................................................................................................55

b. Manuel "Durandeau".....................................................................................................................59

3. Conclusion sur l"étude des manuels de la classe de Terminale S...........................................60

Chapitre C

2 : Etude de caractéristiques de l"enseignement de l"objet équation différentielle au niveau de DEUG 1

ère

1. Etude de l"enseignement du concept d"équation différentielle en mathématiques ..............63

1.1. Présentation générale du cours magistral..........................................................................................63

1.2. Analyse praxéologique des exercices proposés.................................................................................64

a. Détermination des différents types de tâches..................................................................................64

b. Détermination des praxéologies associés........................................................................................66

1.3. Analyse des séances des travaux dirigés...........................................................................................76

a. Détermination des différents types de tâches traités........................................................................77

b. Détermination des praxéologies associés........................................................................................79

2. Étude de l"enseignement du concept d"équation différentielle en physique..........................81

2.1. Présentation générale.......................................................................................................................81

2.2. Analyse praxéologique des feuilles de travaux dirigés......................................................................81

a. Détermination des différents types de tâches..................................................................................82

b. Détermination des praxéologies associés........................................................................................83

2.3. Analyse des séances des travaux dirigés...........................................................................................88

3. Conclusion...............................................................................................................................90

PARTIE D

Rapports Personnels des Etudiants de Première Année de l'Université aux Equations Différentielles

Chapitre D

1 : Rapport des étudiants "aux équations différentielles" en tant qu"objet........97

1. Les analyses de l"Exercice 1....................................................................................................99

1.1. Analyse a priori de l"exercice..........................................................................................................99

1.1.1. Présentation de l"exercice.........................................................................................................99

1.1.2. Réponses attendues a priori....................................................................................................104

1.2. Analyse a posteriori de l"exercice..................................................................................................108

1.2.1 Classement global des réponses...............................................................................................109

1.2.2. Analyse des réponses des étudiants........................................................................................ 111

2. Les analyses de l"Exercice 2..................................................................................................117

2.1. Analyse a priori de l"exercice........................................................................................................117

2.1.1. Présentation de l"exercice.......................................................................................................117

2.1.2. Analyse a priori de la Question 1............................................................................................118

2.1.3. Analyse a priori de la Question 2............................................................................................120

2.1.4. Analyse a priori de la Question 3 ...........................................................................................123

2.2. Analyse a posteriori de l"exercice..................................................................................................125

2.2.1. Analyse a posteriori de la Question 1 ..................................................................................... 125

a. Résultats globaux....................................................................................................................125

b. Interprétation des réponses......................................................................................................125

2.2.2. Analyse a posteriori de la Question 2 ..................................................................................... 127

a. Résultats globaux....................................................................................................................127

b. Interprétation des réponses obtenues........................................................................................127

2.2.3. Analyse a posteriori de la Question 3 ..................................................................................... 134

a. Résultats globaux....................................................................................................................134

b. Interprétation des réponses obtenues........................................................................................135

3. Les analyses de l"Exercice 3..................................................................................................137

3.1. Analyse a priori de l"exercice........................................................................................................137

3.1.1 Présentation de l"exercice .......................................................................................................137

3.1.1. Analyse a priori de la Question 1............................................................................................138

3.1.2. Analyse a priori de la Question 2 ...........................................................................................139

3.2. Analyse a posteriori de l"exercice..................................................................................................140

3.2.1. Résultats globaux...................................................................................................................140

3.2.2. Analyse a posteriori de la Question 1 ..................................................................................... 141

3.2.3. Analyse a posteriori de la Question 2 ..................................................................................... 143

Chapitre D

2 : Rapports des étudiants aux "équations différentielles" en tant que modèle151

1. Les analyses de l"Exercice 1..................................................................................................153

1.1. Analyse a priori de l"exercice........................................................................................................153

1.1.1. Présentation de l"exercice.......................................................................................................153

1.1.2. Analyse a priori de la Question 1............................................................................................155

1.1.3. Analyse a priori de la Question 2............................................................................................157

1.1.4. Analyse a priori de la Question 3............................................................................................158

1.2. Analyse a posteriori de l"exercice..................................................................................................160

1.2.1. Analyse a posteriori de la Question 1 ..................................................................................... 160

a. Résultats globaux....................................................................................................................160

b. Interprétation des réponses des étudiants.................................................................................160

1.2.2. Analyse a posteriori de la Question 2 ..................................................................................... 162

a. Résultats globaux....................................................................................................................162

b. Interprétation des réponses......................................................................................................163

1.2.3. Analyse a posteriori de la Question 3 ..................................................................................... 165

a. Résultats globaux....................................................................................................................165

b. Interprétation des réponses......................................................................................................165

2. Les analyses de l"Exercice 2..................................................................................................169

2.1. Analyse a priori de l"exercice........................................................................................................169

2.1.1. Présentation de l"exercice.......................................................................................................169

2.1.2. Analyse a priori de la Question 1............................................................................................170

2.1.3. Analyse a priori de la Question 2............................................................................................171

2.1.4. Analyse a priori de la Question 3............................................................................................173

2.1.5. Analyse a priori de la Question 4............................................................................................174

2.2. Analyse a posteriori de l"exercice .................................................................................................174

2.2.1. Analyse a posteriori de la Question 1 ..................................................................................... 174

a. Résultats globaux....................................................................................................................174

b. Interprétation des réponses......................................................................................................175

2.2.1. Analyse a posteriori de la Question 2.....................................................................................177

a. Résultats globaux....................................................................................................................177

b. Interprétation des réponses......................................................................................................177

2.2.3. Analyse a posteriori de la Question 3 ..................................................................................... 180

a. Résultats globaux....................................................................................................................180

b. Interprétation des réponses......................................................................................................180

2.2.4. Analyse a posteriori de la Question 4 ..................................................................................... 182

a. Résultats globaux....................................................................................................................182

b. Interprétation des réponses......................................................................................................182

Chapitre D

3 : Typologie des rapports personnels des étudiants aux équations différentielles

1. Différents modèles de rapports personnels..........................................................................187

2. Etude des différents rapports personnels des étudiants à l"objet équation différentielle...189

2.1. Méthodologie d"analyse................................................................................................................189

2.2. Interprétation des réponses d"étudiants..........................................................................................189

2.2.1. Le groupe "RC".....................................................................................................................190

2.2.2. Le groupe "RS" .....................................................................................................................194

2.2.3. Le groupe "RM"....................................................................................................................196

2.2.4. Le groupe "RN".....................................................................................................................199

Bilan de l"étude des rapports personnels d"étudiants aux équations différentielles...............202

PARTIE E

Conclusion et Bibliographie

Chapitre E

1

: Conclusion générale....................................................................................209

1. Résultats principaux de l"étude............................................................................................209

2. Perspectives...........................................................................................................................215

Chapitre E

2

: Références Bibliographiques.......................................................................219

ANNEXES

Annexes A..........................................................................................................................227

Annexes B..........................................................................................................................235

Annexes C..........................................................................................................................241

Annexes D .........................................................................................................................249

PARTIE A

Problématique et méthodologie

Chapitre A

1 : Introduction à la problématique

Chapitre A

2 : De l"objet d"étude au plan d"étude

Chapitre A

1 - 4 -

Chapitre A

1 - 5 -

Chapitre A

1 : Introduction à la problématique

1. Relations mathématiques/physique

Le rapport entre les mathématiques et la physique relève d"une problématique d"ordre philosophique

et épistémologique. Depuis longtemps des mathématiciens et des physiciens ont eu différentes

positions sur ce rapport. L"idée prétendant que les mathématiques constituent le langage de la

physique, est l"une des explications données sur le problème des relations entre ces deux disciplines. A

ce propos Poincaré déclare que :

"Toutes les lois sont tirées de l"expérience, mais, pour les énoncer, il faut une langue spéciale ; le

langage ordinaire est trop pauvre, il est d"ailleurs trop vague, pour exprimer des rapports si

délicats, si riches et si précis. Voilà donc une première raison pour laquelle le physicien ne peut se

passer des mathématiques ; elles lui fournissent la seule langue qu"il puisse parler". (Poincaré,

1910).

Bien que ce langage soit utile pour exprimer les situations physiques il est cependant essentiel de

remarquer qu"il induit une réduction du système réel. Il s"agit ainsi de trouver un point d"équilibre lors

du passage du système à la formule reposant sur les couples : expérience-théorie, phénomènes-lois etc.

On peut commencer par remarquer que les mathématiques permettent de décrire les phénomènes

physiques et que les sciences physiques permettent de donner du sens aux concepts mathématiques. Cela revient à caractériser ce rapport comme un rapport réciproque entre deux disciplines

complémentaires. Bien entendu, un phénomène physique ne se réduit pas aux concepts mathématiques

qu"il contient mais il se traduit à l"aide de ces derniers. Ce point de vue rejoindrait celui consistant à

considérer les mathématiques comme des modèles de phénomènes physiques.

Il y a un concept mathématique qui vit depuis presque quatre siècles et qui assume remarquablement le

rôle de modèle pour des phénomènes physiques: celui d"équation différentielle. C"est ce concept qui a

attiré particulièrement notre attention dans ce travail.

2. Modèles et modélisation

Ce paragraphe s"intéresse au processus de modélisation des phénomènes physiques et se penche sur

les démarches mises en jeu dans la construction des modèles. La complexité des phénomènes

physiques qui ne permet pas de travailler directement sur la réalité et la volonté de relier les objets

mathématiques aux expériences pour leur donner du sens, nous ont amené à attribuer au processus de

modélisation une place importante dans notre travail.

Chapitre A

1 - 6 -

2.1. Le modèle

Différentes définitions du modèle

Dès qu"on s"intéresse à la modélisation, on remarque la difficulté qu"il y a pour définir le modèle.

Examinons certaines définitions attribuées au concept de modèle avant de préciser le point de vue que

nous adopterons dans notre recherche :

Une définition de ce terme au sens le plus large est trouvée dans l"Encyclopaedia Universalis :

"Le modèle est d"abord la "maquette", l"objet réduit et maniable qui reproduit en lui, sous une

forme simplifiée, "miniaturisée", les propriétés d"un objet de grandes dimensions, qu"il s"agisse

d"une architecture ou d"un système mécanique ; l"objet réduit peut être soumis à des mesures, des

calculs, des tests physiques qui ne sont pas appliqués commodément à la chose reproduite. De là,

le terme a acquis une vaste portée méthodologique, pour désigner toutes les figurations ou reproductions qui servent les buts de la connaissance".

Dans le langage courant, le modèle peut prendre, selon les contextes et les situations envisagés, des

sens variés. Drouin (1988) propose trois sens différents: "modèle à imiter" (l"enfant modèle, le modèle

d"un peintre..), "modèle copie" (un exemplaire, une illustration d"une catégorie...) et "modèle

catégorie" (un modèle représente toute une catégorie de vêtement semblable)

Compte tenu ce constat nous nous attendons à ce que cette variété de sens du modèle soit toujours

présente dans le discours scientifique :

Pour Johsua et Dupin (1993) :

" le modèle relève entièrement du domaine théorique où une "représentation" d"une situation cible

est construite. Cette représentation n"est pas une "description", même simplifiée, du domaine cible,

mais une construction théorique, comprenant des notions de base définies les unes par rapport aux

autres, au moyen d"énoncés qui introduisent entre elles des relations". Une autre définition, moins générale, est celle de Pavé (1994) :

"Un modèle est une représentation symbolique de certains aspects d"un objet ou d"un phénomène

du monde réel, c"est-à-dire une expression ou une formule écrite suivant les règles du système

symbolique [...]".

Avant de poursuivre notre étude, il nous a paru indispensable de définir notre position par rapport à

ces différentes définitions tout en précisant ce que signifie ce terme pour notre recherche. Dans notre

recherche nous considérons un modèle comme :

une structure construite pour représenter des phénomènes réels. Cette structure possède deux

aspects complémentaires : un aspect lexical, pour lequel les symboles mathématiques sont mis en

avant et les références au système sont ignorées et un aspect sémantique qui tient compte de ces

derniers.

Chapitre A

1 - 7 -

Cela implique que, parmi tous les modèles possibles nous retenions, dans le cadre de cette recherche,

un seul type de modèle : le modèle mathématique et, plus particulièrement, le modèle "équation

différentielle". Ce modèle est une représentation de la réalité établie qui doit permettre de prévoir les

valeurs de certaines variables difficilement accessibles ou les valeurs futures d"autres variables.

Validation du modèle

Les recherches réalisées dans le domaine de la modélisation sont d"accord sur le fait que pour le même

phénomène il existe plusieurs modèles et que chacun d"eux ne prétend expliquer qu"une partie de ce

phénomène. C"est sur ce point que Bachelard (1979) attire l"attention quand elle écrit :

"[...] loin de fonctionner comme une copie, le modèle fonctionne comme un opérateur sélectif. Il

représente non pas les propriétés du réel mais seulement certaines propriétés".

La pertinence du choix du modèle dépend des questions qu'on se pose dans le système d'étude. Le fait

de choisir un modèle parmi les autres n"impose pas de chercher la ressemblance la plus large et la plus

fidèle du modèle au réel, mais plutôt la meilleure adéquation entre la partie du domaine de réalité où le

problème se pose, et les connaissances mises à disposition par le modèle choisi (Di Martino, et al.,

1995).

L"extrait suivant emprunté à Chevallard, affine encore cette idée :

"[... le] modèle, comme toujours dans l"activité scientifique, n"est pas l"image la plus complète

possible du réel. Tout au contraire, il en fournit une image (volontairement) appauvrie, et c"est ce

qui fait sa force" (Chevallard, 1989a).

L"intérêt essentiel est que chaque modèle n"opère que sur une partie limitée ou localisée de la réalité.

A ce propos, un point délicat, toujours présent dans la modélisation, mérite d"être évoqué : la

validation du modèle, c"est-à-dire l"évaluation du degré d"approximation des résultats théoriques

obtenus par rapport aux valeurs expérimentales. Si, compte tenu de la précision des résultats, les deux

valeurs obtenues sont en accord l"une avec l"autre, ceci atteste que le modèle représente correctement

le système étudié (Blanchard et al., 1996). Le modèle est donc indissociable de la classe de situations

expérimentales qu"il est censé traiter.

Caractéristiques du modèle

Une situation réelle peut être représentée en effet dans différents systèmes -à l"aide de symboles

algébriques, de graphiques, de schémas- s"inscrivant chaque fois dans les différents types de modèles.

Quelles sont les caractéristiques d"un modèle ?

> Le modèle est calculable : ceci doit être pris non dans le sens limitatif de l"algèbre ou de

l"analyse, mais dans le sens plus large où des inférences maîtrisées peuvent être produites à

partir des relations de base du modèle,

> Le modèle est explicatif : il permet de mettre en relation des phénomènes complexes et ainsi

de construire des espaces de sens, où l"on peut organiser de nouvelles connaissances,

Chapitre A

1 - 8 - > Il est prédictif : il permet de fournir des valeurs proches de celles mesurées expérimentalement, > Le modèle doit être pertinent par rapport à son objet,

> Le modèle doit être cohérent avec les autres modèles qui représentent le même système et

avec ce qu"on sait par ailleurs. (Dupin, 1995).

2.2. Le processus de modélisation

Dans le champ de la didactique, où s"inscrit ce travail, le processus de modélisation se trouve au centre

de plusieurs recherches même si celles-ci ont abordé ce processus de façons différentes.

En nous basant sur les travaux existants surtout ceux de Chevallard (1989a), nous pouvons distinguer

trois étapes dans un processus de modélisation:

La première étape importante est la définition du système. Cette définition est déjà une sorte

d"abstraction et de simplification de la situation réelle. Certains choix sont faits en fonction des

questions initialement posées. Par exemple si on s"intéresse à l"évolution d"un système au cours du

temps il faut tout d"abord définir les variables pertinentes et les aspects qui peuvent être négligés par

rapport au problème étudié.

La deuxième étape est la construction ou la formalisation du modèle et le travail dans le modèle

construit. Dans notre cas, cela nécessite de représenter le modèle grâce aux symboles mathématiques

qui nous permettent d"établir des relations entre les variables définies dans la première étape.

Enfin la troisième étape consiste à revenir au problème pour traduire les résultats obtenus en leur

donnant du sens et en les validant dans la situation réelle en fonction des réponses apportées aux

questions initiales.

La modélisation se caractérise particulièrement en tant qu"activité d"élaboration de modèle passant par

le choix de grandeurs ou des paramètres particuliers (objet homogène, force négligeable, relation

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