[PDF] NOMBRES COMPLEXES – Chapitre 2/2

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NOMBRES COMPLEXES - Chapitre 2/2

Partie 1 : Module d'un nombre complexe

Définition : Soit un nombre complexe í µ=í µ+í µí µ. On appelle module de z, le nombre réel positif, noté , égal à

M est un point d'affixe z.

Alors le module de z est égal à la

distance OM.

Propriétés : a)

b) ! c) Méthode : Calculer le module d'un nombre complexe

Vidéo https://youtu.be/Hu0jjS5O2u4

Vidéo https://youtu.be/i85d2fKv34w

Calculer : a)

3-2í µ

b) -3í µ c) 0

2+í µ0 d)

Correction

a)

3-2í µ

1 3 -2

13 b)

-3í µ -3í µ -3 =3×1=3 c) 0

2+í µ0=

6 2 +1 3 d) 3 2 = 1

Partie 2 : Argument d'un nombre complexe

Définition : Soit un point M d'affixe z non nulle.

On appelle argument de z, noté arg(z) une mesure, en radians, de l'angle 7𝑢⃗;í µí µ

2

Remarques :

- Un nombre complexe non nul possède une infinité d'arguments de la forme arg

2í µ

- 0 n'a pas d'argument car dans ce cas l'angle 7𝑢⃗;í µí µ í±€ n'est pas défini.

Exemple :

Vidéo https://youtu.be/Hu0jjS5O2u4

Soit í µ=3+3í µ.

Alors

3+3í µ

3 +3 =3 2 et arg 4

2í µ

Méthode : Déterminer géométriquement un argument

Vidéo https://youtu.be/NX3pzPL2gwc

a) Déterminer un argument de chaque affixe des points A, B et C. b) Placer les points D et E d'affixes respectives í µ et í µ telles que : =2 et arg

2í µ

2í µ

=3 et arg 4

2í µ

Correction

a) arg 4

2í µ

arg

2í µ

arg

2í µ

3 b) Le point D appartient au cercle de rayon 2 car =2.

Le point E appartient au cercle de rayon 3 car

=3. Partie 3 : Forme trigonométrique d'un nombre complexe Définition : On appelle forme trigonométrique d'un nombre complexe z non nul l'écriture cosí µ+í µsiní µ avec í µ=arg Méthode : Passer de la forme trigonométrique à la forme algébrique

Vidéo https://youtu.be/kmb3-hNiBq8

Écrire le nombre complexe í µ=3Pcos

+í µsin

Q sous sa forme algébrique.

4 3

3í µ4-2í µ3

4

Correction

í µ=3Pcos 2 +í µsin 2 Q =3

0+í µÃ—1

=3í µ Méthode : Passer de la forme algébrique à la forme trigonométrique

Vidéo https://youtu.be/zIbpXlgISc4

Vidéo https://youtu.be/RqRQ2m-9Uhw

Écrire le nombre complexe í µ=

3+í µ sous sa forme

trigonométrique.

Correction

- On commence par calculer le module de z : 6 7

3í±€

+1 3+1=2 - En calculant , on peut identifier plus facilement la partie réelle de z et sa partie imaginaire :

3+í µ

2 3 2 1 2 On cherche donc un argument í µ de z tel que : cosí µ= et siní µ= 1

Comme cosP

Q= 2 et sinP Q= 1 2 , on a : 2 =cosP 6

Q+í µsinP

6 Q

Donc :

í µ=2PcosP 6

Q+í µsinP

6

QQí µí µí µí µarg

6

2í µ

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