[PDF] NOMBRES COMPLEXES – Chapitre 3/4

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NOMBRES COMPLEXES - Chapitre 3/4

Tout le cours en vidéo : https://youtu.be/ABo2m52oEYw

Partie 1 : Formules de trigonométrie

1) Formules d'addition

Propriété : Soit í µ et í µ deux nombres réels quelconques. On a : cos =cosí µcosí µ+siní µsiní µ cos =cosí µcosí µ-siní µsiní µ sin =siní µcosí µ-cosí µsiní µ sin =siní µcosí µ+cosí µsiní µ

Démonstrations aux programmes :

- 1

ère

formule :

On considère un repère orthonormé

du plan et le cercle trigonométrique de centre O. 𝑢⃗et í µâƒ—sont deux vecteurs de norme 1 tels que : =í µ et

On a alors : í µí±¢âƒ—í±£

cosí µ siní µ

8 et í µâƒ—í±£

cosí µ siní µ 8. Ainsi : 𝑢⃗.í µâƒ—=cosí µcosí µ+siní µsiní µ.

On a également :

×cos

=1×1×cos =cos

D'où : cos

=cosí µcosí µ+siní µsiní µ. - 2 e formule : cos =cos=í µ- >=cosí µcos +siní µsin =cosí µcosí µ-siní µsiní µ. - 3 e formule : sin =cos? 2 B =cos?í±£ 2 -í µ8+í µB =cosí±£ 2 -í µ8cosí µ-siní±£ 2 -í µ8siní µ =siní µcosí µ-cosí µsiní µ - 4 e formule : sin =sin=í µ- >=siní µcos -cosí µsin =siní µcosí µ+cosí µsiní µ 2 Méthode : Calculer des valeurs de cos et sin à l'aide des formules d'addition

Vidéo https://youtu.be/WcTWAazcXds

Calculer : cos

5í µ

í¼‹2 et sin

5í µ

í¼‹2

Correction

cos

5í µ

12 =cosí±£ 4 6 8sin

5í µ

12 =siní±£ 4 6 8 =cos 4 cos 6 -sin 4 sin 6 =sin 4 cos 6 +cos 4 sin 6 2 2 3 2 2 2 1 2 2 2 3 2 2 2 1 2 6- 2 4 6+ 2 4

2) Formules de duplication

Propriété : Soit í µ un nombre réel quelconque. On a : cos

2í µ

=cos í µ-sin í µ=2cos í µ-1=1-2sin sin

2í µ

=2cosí µsiní µ

Démonstrations :

Cas particulier des 2

e et 4 e formules d'addition dans le cas où í µ=í µ : cos

2í µ

=cos í µ-sin sin

2í µ

=2cosí µsiní µ

On a également : cos

í µ+sin í µ=1 donc : cos í µ-sin í µ=cos 1-cos =2cos í µ-1 Et : cos í µ-sin í µ=1-sin í µ-sin í µ=1-2sin Méthode : Calculer des valeurs de cos et sin à l'aide des formules de duplication

Vidéo https://youtu.be/RPtAUl3oLco

Calculer cos

8 et sin 8

Correction

cos 4 =cosí±£2× 8

8=2cos

8 -1

Donc :

cos 8 1 2 í±£1+cos 4 8= 1 2 ?1+ 2 2 B= 2+ 2 4 et donc : 3 cos 8 I 2+ 2 4 car cos 8 est positif. sin 8 =1-cos 8 =1- 2+ 2 4 2- 2 4 et donc : sin 8 I 2- 2 4 car sin 8 est positif. Méthode : Résoudre une équation trigonométrique

Vidéo https://youtu.be/yx3yULqR_wI

Résoudre dans

0;2í µ

l'équation cos

2í µ

=siní µ.

Correction

cos

2í µ

=siní µ soit 1-2sin í µ=siní µ d'après une formule de duplication. On pose í µ=siní µ, l'équation s'écrit alors : 1-2í µ

Soit : 2í µ

+í µ-1=0

Δ=1

-4×2× -1 =9 L'équation du second degré possède deux solutions distinctes : -1+3 4 1 2 -1-3 4 =-1

Résolvons alors dans

0;2í µ

les équations : siní µ= 2 et siní µ=-1 : siní µ= 1 2 6

5í µ

6 siní µ=-1âŸºí µ=

3í µ

2

Ainsi :

6

5í µ

6

3í µ

2 W 4 Partie 2 : Forme exponentielle d'un nombre complexe

1) Définition

Posons í µ

=cosí µ+í µsiní µ.

On prend

=1 et on a vu dans le chapitre 2/3 que : arg =argí µ+arg(í µ ),soit : cosí µ+í µsiní µ cosí µâ€²+í µsiní µâ€² =cos +í µsin

Soit : í µ

On retrouve ainsi la même équation fonctionnelle que celle établie pour les exponentielles :

Définition : Pour tout réel í µ, on a : í µ =cosí µ+í µsiní µ.

Remarque :

est le nombre complexe de module 1 et d'argument í µ.

Propriété : í µ

=-1

Démonstration :

Cette relation a été établie en 1748 par le mathématicien suisse Leonhard Euler (1707 ; 1783). Elle possède la particularité de relier les grandes branches des mathématiques : l'analyse (avec le nombre e), l'algèbre (avec le nombre i) et la géométrie (avec le nombre í µ).

Exemples :

=cos0+í µsin0=1+í µÃ—0=1 =cos 2 +í µsin 2 =0+í µÃ—1=í µ

Définition : Tout nombre complexe í µ non nul de module í µ et d'argument í µ s'écrit sous sa

forme exponentielle í µ=í µí µ Méthode : Passer de la forme algébrique à la forme exponentielle et réciproquement

Vidéo https://youtu.be/WSW6DIbCS_0

Vidéo https://youtu.be/tEKJVKKQazA

Vidéo https://youtu.be/zdxRt5poJp0

1) Écrire les nombres complexes suivants sous la forme exponentielle :

a) í µ =-2í µ b) í µ =-3 c) í µ

3-3í µ

2) Écrire les nombres complexes suivants sous la forme algébrique :

a) í µ b) í µ =4í µ 5

Correction

1) a) -

-2í µ -2 =2×1=2 - Pour déterminer un argument de í µ , on peut utiliser le cercle trigonométrique. On fait un petit schéma à main levée en plaçant le point í µ d'affixe et on lit graphiquement qu'un argument de í µ est -

Ainsi, on a : í µ

=2í µ b) - -3 =3 - On place le point í µ d'affixe í µ et on lit graphiquement qu'un argument de í µ est í µ.

Ainsi, on a : í µ

=3í µ c)

3-3𝑀=

d 3 -3 3+9= 12=2 3 - Il n'est pas évident de déterminer graphiquement un argument de í µ . La méthode consiste alors à calculer

3-3í µ

2 3 3 2 3

3í µ

2 3 1 2

3í µÃ—

3 2 3× 3 1 2

3í µÃ—

3

2×3

1 2 3 2

On cherche donc un argument í µ de í µ

tel que : cosí µ= 1 2 í µí µsiní µ=- 3 2

Comme, on a :

cosí±£- 3 8= 1 2 í µí µsiní±£- 3 8=- 3 2

L'argument í µ=-

convient. Et ainsi : =cosí±£- 3

8+í µsiní±£-

3 8

Soit :

í±£cosí±£- 3

8+í µsiní±£-

3 88=2

3í±£cosí±£-

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