[PDF] NOMBRES COMPLEXES – Chapitre 4/4

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NOMBRES COMPLEXES - Chapitre 4/4

鉟 https://youtu.be/ABo2m52oEYw Partie 1 : Applications des nombres complexes à la géométrie Dans la suite, on munit le plan d'un repère orthonormé direct

Propriété : í µ, í µ et í µ sont trois points deux à deux distincts du plan d'affixes respectives í µ,í µ

et í µ. On a : í µ)4𝑢⃗;í µí µ 5=arg í µ)4í µí µ

5=arg9

Démonstrations :

a) On considère un point í µ, d'affixe í µ tel que í µí µ

Alors :

í µ-0

Comme í µí µ

, í µí µ=í µí µ donc b) í µ a pour affixe í µ=í µ-í µ.

Donc 4𝑢⃗;í µí µ

5=arg et donc 4𝑢⃗;í µí µ 5=arg c) 4í µí µ

5=4í µí µ

5 =4𝑢⃗;í µí µ

5-4𝑢⃗;í µí µ

5 =arg -arg =arg9 Méthode : Utiliser les nombres complexes en géométrie

Vidéo https://youtu.be/NjLZfbqRFB0

Soit í µ, í µ et í µ trois points d'affixes respectives í µ =-2-í µ, í µ =1-2í µ et =-1+2í µ. a) Démontrer que le triangle í µí µí µ est isocèle en í µ. b) Démontrer que le triangle í µí µí µ est rectangle en í µ.

Correction

1)í µí µ=

1-2í µ-

-2-í µ

3-í µ

9+1= 10 -1+2í µ- -2-í µ

1+3í µ

1+9= 10

Donc í µí µ = í µí µ.

2

2)4í µí µ

5=argG

H

1+3í µ

3-í µ

1+3í µ

3+í µ

3-í µ

3+í µ

3+í µ+9í µ-3

9+1

10í µ

10

4í µí µ

5=argG

H=arg 2

2í µ

On en déduit que l'angle í µí µí µ

L est droit.

Méthode : Déterminer un ensemble de points

Vidéo https://youtu.be/WTXu19XC9Lw

Vidéo https://youtu.be/5puq7tzMZAo

Vidéo https://youtu.be/r6RO4ifOf70

Soit í µ un point d'affixe í µ. Dans chaque cas, déterminer et représenter : a) L'ensemble des points í µ tels que í µ-2í µ =3. b) L'ensemble des points í µ tels que í µí µ-3 =1. c) L'ensemble des points í µ tels que í µÌ…-3+í µ í µ-5 d) L'ensemble des points í µ tels que =2. e) L'ensemble des points í µ tels que arg(í µ)= f) L'ensemble des points í µ tels que arg(í µ-2+í µ)=

2í µ

Correction

a) Soit í µ le point d'affixe 2í µ alors í µ-2í µ =3 s'écrit : í µí µ=3. En effet : í µ-2í µ L'ensemble des points í µ est le cercle de centre í µ(2í µ) et de rayon 3. b) í µí µ-3 í µ+3í µ í µ+3í µ -3í µ

Soit í µ le point d'affixe -3í µ alors

í µí µ-3 =1 s'écrit í µí µ=1.

En effet :

-3í µ L'ensemble des points í µ est le cercle de centre í µ(-3í µ) et de rayon 1. 3 c) í µÌ…-3+í µ í µÌ…-3+í µ í µÌ¿-3-í µ í µ-3-í µ

3+í µ

Soit í µle point d'affixe 3+í µet í µ le point d'affixe 5 alors í µÌ…-3+í µ í µ-5 s'écrit í µí µ=í µí µ. L'ensemble des points í µ est la médiatrice du segment [í µí µ]. d) =2. Soit =2 , en notant que í µâ‰ 0.

Soit encore :

=4 On pose í µ=í µ+í µí µ, alors l'équation s'écrit : =4 í µ-1 =4 í µ-1 =4 -2í µ+1=4í µ +4í µ

3í µ

+3í µ +2í µ=1 2 3 1 3 +Gí µ+ 1 3 H 1 9 1 3 +Gí µ+ 1 3 H 4 9 L'ensemble des points í µ est le cercle de centre í µ9- 3 : et de rayon e) L'ensemble des points M est la bissectrice de l'angle formé par l'axe des abscisses et l'axe des ordonnées privée de l'origine. f) arg í µ-2+í µ =arg4í µ-

2-í µ

5.

Soit í µ le point d'affixe 2-í µ alors arg

í µ-2+í µ 4

2í µ

s'écrit : 4𝑢⃗;í µí µ 5= 4

2í µ

En effet, arg4í µ-

2-í µ

5=4𝑢⃗;í µí µ

5. L'ensemble des points M est la demi-droite d'origine í µ privée de í µ et passant par le point í µ(3). 4

Partie 2 : Racine n-ième de l'unité

1) Détermination de l'ensemble í µ

On cherche à déterminer l'ensemble des nombres complexes í µ vérifiant l'égalité í µ

=1 avec í µâˆˆâ„•

Définition : Une racine í µ-ième de l'unité est un nombre complexe í µ vérifiant í µ

=1 avec

Théorème : L'ensemble í µ

des racines de l'unité possède exactement í µ racines :

2í µí µ

, avec í µ entier compris entre 0 et í µ-1.

Démonstration au programme :

Existence :

Si í µ

=1 alors =1 et donc =1. On cherche ainsi, les nombres complexes de la forme í µ=í µ , avec í µâˆˆ

0;2í µ

Soit : í µ

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