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Introduction

aux équations différentielles et aux dérivées partielles 1 2

Table des matières

I Equations différentielles 7

1 Méthodes de résolution explicite des équations différentielles "simples" 9

1.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2 Réduction à une équation du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.3 Intégration d"équations différentielles d"un certain type - quelques techniques . . .

1.3.1 Equations à variables séparées (ou séparables) . . . . . . . . . . . . . . . .

1.3.2 Equations homogènes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.3.3 Equations linéaires du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.3.4 Equations de BERNOULLI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.3.5 Equations de LAGRANGE et de CLAIRAUT . . . . . . . . . . . . . . . .

1.3.6 Formulation générale -Equa. dif. totales - Facteurs intégrants . . . . . . . .

1.3.7 Equation des facteurs intégrants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 "Brève" théorie générale des équations différentielles 21

2.1 Problème de Cauchy en dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2 Localisation des solutions du problème de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.3 Méthode d"approximation de Picard - Existence et Unicité locale . . . . . . . . . .

2.4 Unicité globale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.5 Points d"Unicité Locale et Globale d"un problème de Cauchy . . . . . . . . . . . .

2.6 Théorèmes d"existence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 Equations différentielles d"ordre supérieur 29

3.1 Problèmes avec conditions initiales et conditions aux bords . . . . . . . . . . . . .

3.1.1 Problèmes avec conditions initiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.1.2 Problèmes avec conditions aux bords . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.1.3 Equations homogènes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.1.4 Opérateur différentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.1.5 Principe de substitution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.1.6 Dépendance et indépendance linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.1.7 Solution d"équa. diff. pour les solutions linéairement indép. d"équa. diff.

linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.1.8 Solutions générales d"équations nonhomogènes . . . . . . . . . . . . . . .

3.2 Réduction d"ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.3 Equation linéaire homogène avec coefficients constants . . . . . . . . . . . . . . .

3.3.1 Ordre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35
3

3.3.2 Ordre supérieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.4 Coefficients indéterminés- Approche par superposition . . . . . . . . . . . . . . .

3.5 Coefficients indéterminés- Approche de l"annihilateur . . . . . . . . . . . . . . . .

3.5.1 Mise en facteurs d"opérateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.5.2 Opérateur annihilateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.5.3 Coefficients indéterminés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.6 Variations des paramètres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.6.1 Ordre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.6.2 Equations d"ordre supérieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.7 Equation de Cauchy-Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.7.1 Equation homogène d"ordre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.8 Résoudre des systèmes d"équations linéaires par élimination . . . . . . . . . . . .

4 Séries solutions d"équations différentielles linéaires 43

4.1 Solution autour de points ordinaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.1.1 Rappel sur les séries entières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.1.2 Solutions sous forme de séries entières . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.2 Solutions autour des points singuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.3 Deux équations spéciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5 Transformée de Laplace 47

5.1 Rappel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.2 Définition de la transformée de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.3 Transformée inverse et transformée de dérivées . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.3.1 Transformée inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.3.2 Transformer une dérivée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.4 Résoudre les équations différentielles linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.5 Théorème de translation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.5.1 Translation sur l"axe dess. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.5.2 Translation sur l"axe dest. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.6 Propriétés additionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.6.1 Multiplier une fonction partn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.6.2 Convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.6.3 Transformée d"une intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.6.4 Equation intégrale de Volterra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.6.5 Transformée de fonction périodique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.6.6 Fonction±-Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6 Systèmes différentiels linéaires 53

6.1 Théorie préliminaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.1.1 Systèmes homogènes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.1.2 Systèmes non-homogènes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.2 Systèmes linéaires homogènes avec des coefficients constants . . . . . . . . . . . .

6.2.1 Valeurs propres et vecteurs propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.3 Variation de la constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

57
4

6.3.1 Matrice fondamentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.3.2 Résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.3.3 Variation de la constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.4 Exponentielle d"une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.4.1 Systèmes homogènes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.4.2 Systèmes non homogènes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.4.3 Utilisation de la transformée de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

II Equations aux dérivées partielles 61

7 Equation de la chaleur 63

7.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.2 Construction du modèle de la chaleur dans une time (1D) . . . . . . . . . . . . . .

7.2.1 Densité de l"énergie thermique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.2.2 Energie de la chaleur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.2.3 Conservation de l"énergie de la chaleur . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.2.4 Température et chaleur spécifique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.2.5 Energie thermique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.2.6 Loi de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

66
5 6

Première partie

Equations différentielles

Chapitre 1

Méthodes de résolution explicite des

équations différentielles "simples"

1.1 Définitions

Donnons tout d"abord quelques définitions essentielles pour commencer sur de bonnes bases.

Définition 1

Equation différentielle ordinaire.Une équation différentielle ordinaire (EDO) est

une relation entre la variable réellet, une fonction inconnuet7!y(t)et ses dérivéesy0,y00, ...,

y (n)au pointtdéfinie par F(t;y(t);y0(t);y00(t);:::;y(n)(t)) = 0 (on notera par abusF(t;y;y0;y00;:::;y(n)) = 0)(1.1) On dit que cette équation est scalaire siFest à valeurs dansR. (N.B. : on pourra utiliserxde temps en temps au lieu det, i.e.y(t)ouy(x))

Définition 2

Equation différentielle normale.On appelle équation différentielle normale d"ordre ntoute équation de la forme y (n)=f(t;y;y0;:::;y(n¡1))(1.2) Donnons un exemple pour mettre les idées au clair.

Exemple 1

Equation du premier ordre sous la forme normale

0=f(t;y) (oudy

dt =f(t;y))(1.3)

Donnons maintenant une classification par linéarité. Une EDO du type (1.1) d"ordrenest linéaire

si elle a la forme suivante :quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

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