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1 S

´eminaire Syst`emes complexes en sciences

sociales, 23 novembre 2018La course `a pied en´equations

Amandine Aftalion

CNRS, Centre d"Analyse et de Math

´ematique Sociales,

EHESS, Paris, France

full screen quit 2

Sujet : la course

`a pied, du 100m au marathonCourseoptimale : on se fix eune distance `a courir,

Comment optimiser son effort, g

´erer ses ressources et les

contraintes pour faire le meilleur temps? R ´eponse math´ematique :syst `eme d"´equations diff´erentielles, nous sommes capables de calculer, `a chaque instant, lavitesse que doit a voirle coureur l"´energiequ"il a d ´epens´e depuis le d´ebut de la course, laf orcede propulsion qu"il doit f ournir. full screen quit 3 avec Pierre Martinon, Preprint 2018, Optimizing running a race on a curved track avec Emmanuel Trelat, en cours avec C´ecile Appert et Henk Hilhorst, Nash equilibrium in a stochastic model of two competing athletes, J. of Stat.

Mechanics, 2018,

How to run 100 meters? Siam J. App. Math. 2017,

avec L-H.Despaigne, A.Frentz, P.Gabet, A.Lajouanie,

M-A.Lorthiois, L.Roquette, C.Vernet

, Mathematics in Action, Vol.

7, 2016, How to identify the physiological parameters and run

the optimal race? avec Fr´ed´eric Bonnans, Siam J. App. Math. 2014 Optimization of running strategies based on anaerobic energy and variations of velocity. full screen quit 4 Les r `egles de construction des stades (IAAF) sont juste des zones de tol

´erance :

- ligne droite de 80 `a 100m, - demi cercle ou anse de panier. Piste de400mmesur´ee`a30cmdu bord.L"effet de la forme du stade ne semble pas avoir

´et´e´etudi´e.

full screen quit 5

Comment calculer la vitesse et l"

´energie du coureur?Cela repose sur 2 lois physiques : le principe fondamental de la dynamique et la conservation de l"

´energie

Probl `eme de contrˆole optimal pour minimiser le temps,´etant donn

´e la distance,

avec des contraintes. full screen quit 6

Pour optimiser son effort, on court

le 100m au 400m en acc ´el´erant tr`es fort, puisen r alentissanten fin de course .

A partir du 800m,

la course se f aita vecune r

´eacc´el´eration en fin

de course. D ´eterminer l"effet de la force centrifuge et du couloir (m´ecanique) et l"effet psychologique : attr actionde quelqu"un de vantet retard a b´en´eficier de nouveau de cette interaction quand on est doubl

´e, motivation.

full screen quit 7 Toy model : Keller (1974)Principe fondamental de la dynamique dvdt =f(t)v fforce de propulsion,0ffmax. v : forces de frottement (r´esistance interne des muscles) on peut ajouter une force de frottement due `a l"air, ou au vent

Bilan d"

´energie sur l"´energie a´erobie.Contr aintee0. dedt =fv : consommation maximale d"O2 full screen quit 8 On r

´esoutdvdt

=f(t)v

Contraintes:0ffmax,e0. On tient compte de laV O2

variable en fonction de l"

´energie :

dedt =(e0e)fv

Conditions initiales:v(0) = 0,e(0) =e0,

et finales:e(T) = 0 pour une distanced=RT

0v(t)dtfix´ee.

Optimisation surT

full screen quit 9

On peut prouver qu"on part

`a force de propulsion maximale f=fmax, et doncdv(t)dt +v(t) =fmax ce qui d ´eterminev(t)comme une exponentielle croissante. Mais on ne tient pas la force maximale toute la course. Ensuite, la force diminue et la vitesse aussi. La diminution de vitesse est reli

´ee au taux de croissance de laV O2:

_v+v= 0:

En fait, cela entraine une ch

ˆute deftrop brutale par rapport`a la

physiologie. Il faut rajouter une contrainte, une borne surf0(t).

Le fractionn

´e est utile pour augmenter sa capacit´e`a varierf rapidement. Num

´eriquement,on r ´esout le syst`eme avec le

logiciel BOCOP de l"INRIA. full screen quit 10 Comment court-on le 100m? (Blake, 2011, Daegu)10m : 1.87st=1.87s

20m : 2.89st=1.02s

30m : 3.82st=0.93s

40m : 4.70st=0.88s

50m : 5.56st=0.86s

60m : 6.41st=0.85s

70m : 7.27st=0.86s

80m : 8.13st=0.86s

90m : 9.00st=0.87s

100m : 9.88st=0.88s

full screen quit 11 Ici, la courbev(t)en fonction du temps pour le 100m de Blake. A gauche, la vitesse calcul

´ee et`a droite, les vitesses moyenne

tous les 10m (10=t)(carr ´es rouges), et calcul de vitesse moyenn ´e tous les 10m( ´etoiles bleues).full screen quit 12

400m,(e(t))et vitessefull screen quit

13

Pour des courses de dur

´ee inf´erieure`a 3mn,est une fonction

d ´ecroissante deeet donc croissante du temps, tandis que pour les courses plus longues, on atteint la valeur maximale de.

Cas 3: Ch

ˆute dedans la derni`ere partie de la course, quand e anest trop petit.de andt =(ean)fv (ean) =8 >>:eane

0anecritsieane

0an< ecrit

sieane

0anecrit; (e0anean)1

(e0anean)si(e0anean)<1 Commed´ecroit en fin de course, la vitesse peut augmenter`a nouveau. full screen quit 14 Un 1500m couru en 247.415 secondes (vitesse, force de propulsion,

´energie et VO2 en fonction du temps).

full screen quit 15

Travail en cours avec Emmanuel Trelat

d ´etermination dutur npike, c"est`a dire, vitesse moyenne, force moyenne en milieu de course,

´energie`a d´ecroissance lin´eaire.

Coupl ´e`a un mod`ele de contrˆole moteur (Pessiglione et al), qui permet de comprendre le d

´ebut et fin de course.

full screen quit 16

Les calculs reposent sur la donn

´ee de 4 param`etres:

V O2maxque l"on appelle

e

0, stock d"´energie ana´erobie

, temps caract´eristique d"acc´el´eration, (d´epend du coureur et de la piste) f max, la force de propulsion maximale

Si on conna

ˆıtV O2maxet des donn´ees d"une course (temps de passage sur un 80m et un 1500m), nous avons un protocole qui identifie les autres param `etres. (Article paru dans Mathematics in Action 2016). full screen quit 17 Mod `ele de force centrifuge (avec P.Martinon)Le coureur est pench

´e avec un anglepar rapport`a la verticale.

Equation du mouvement sur directions normale et verticale v 2R =Nsin g=Ncos Nest l"oppos´e de l"action exerc´ee par le coureur sur le sol (on ignore la propulsion, moyenn

´e par foul´ee).La f orcecentr ifugene

travaille pas! Contr aintesur le OCP .Rd´epend de la ligne et de la piste. F

2=f2+N2=f2+g2+v2R

2 F2M full screen quit 18

200 m`etres, d´epart

en courbe

2 types de

coureurs, avec grande et petite force.

On observe

- d

´epart plus lent

-v=fetf2M=v2 2+v4R 2, ne d

´epend pas de

l"

´energie,

-quand force centrifuge disparait, soit la force continue de diminuer, soit il reste assez d"

´energie pour augmenter

la force0 50 100 150 200

DISTANCE (m)

024681012

SPEED V (m/s)

STRAIGHT (VS IN DASH). SPLITS: 4.6 4.97 5.46

LANE 8 (V8 IN DASH). SPLITS: 4.67 4.91 5.38

LANE 1 (V1 IN DASH). SPLITS: 4.74 4.87 5.32

0 50 100 150 200

DISTANCE (m)

77.588.599.5

EFFECTIVE FORCE F

0 50 100 150 200

DISTANCE (m)

23456789101112

SPEED V (m/s)

STRAIGHT

LANE 8

LANE 1

vs v8 v1

0 50 100 150 200

DISTANCE (m)

4.855.25.45.65.866.26.46.6

EFFECTIVE FORCE FSTRAIGHT

LANE 8

LANE 1full screen quit

19

Les formes de pisteTrackStraightCircle 1Circle 2

Standard84:39m(36:50m;180)N/A

Double Bend 179:996m(34:00m;270)(51:543m;40)

Double Bend 298:52m(24:00m;260)(48:00m;60)

On peut aussi imaginer relier la ligne droite au cercle par une clothoide (la courbure augmente lin

´eairement), comme pour les

trains. full screen quit

20LANE 1LANE 8

20.420.4520.520.5520.620.65

TIME (s)

STRAIGHT

STD DB1 DB2 CL1 CL2

0 50 100 150 200

DISTANCE (m)

23456789101112

SPEED V (m/s)

STRAIGHT

STD DB1 DB2 CL1

CL2La DB2 (anse de panier avec

ligne droite de 100m, Berlin) est plus lente.

P ourles lignes

ext

´erieures, la DB1 (ligne

droite 80m) est la plus rapide (Bruxelles) mais la standard est celle avec le moins de diff

´erence entre les couloirs.

0 50 100 150 200

DISTANCE (m)

88.599.51010.51111.512

SPEED V (m/s)

STRAIGHT

STD DB1 DB2 CL1

CL2full screen quit

21

Avec deux coureursdv

1(t)dt

=f1(t)v1(t)

1(1F(x1;x2))

On diminue le frottement effectif.Fest non nulle (cr´eneau) si -0< x2x1<2(on a quelqu"un devant) -((x2x1)(t))(x2x1)(t)>0: pas de d´epassement entre tett.Prob l`eme de d´elai inspir´e par les mod`eles de marche en comportement de foule, C.Appert et al a(t) =Cv(t)=(x)

Il y a un temps de r

´eaction!Difficile math ´ematiquement et

num

´eriquement.

Objectif

: on minimise min(T1;T2) +w(T1+T2) full screen quit

220 200 400 600 800 1000

DISTANCE (m)

234567891011

SPEED V (m/s)

0 50 100 150 200

DISTANCE (m)

-4-3-2-1012

INTERACTION1

INTERACTION2

DELTAX1

0 50 100 150 200

DISTANCE (m)

234567891011

SPEED V (m/s)

TIME SPLITS: 4.73 4.98 4.93

0 50 100 150 200

DISTANCE (m)

-4-3-2-10123

INTERACTION1

INTERACTION2

INHIBITION

DELTAX1full screen quit

23

La course

`a deux coureurs permet de baisser le temps final, m

ˆeme pour celui qui est derri`ere.

Si on met un coureur contre lui m

ˆeme sur 2 couloirs adjacents. Il

vaut mieux ˆetre`a l"ext´erieur. Moyenne des temps sur les couloirs1 2 3 4 5 6 7 8 LANE

MEAN TIME

NO INTERACTION

INTERACTION (GAMMA = 0.04)

INHIBITION (GAMMA=0.04, ETA=20)Coh

´erent avec le tirage de l"IAAF: les 4 meilleurs en couloir 3`a

6, ensuite 7,8, puis 1,2.

full screen quit 24

C"est un mod

`ele d´eterministe de contrˆole optimal, pas la th´eorie des jeux.

Avec C.Appert et H.Hilhorst, on a une mod

´elisation de type

th ´eorie des jeux mais qui est simpliste au niveau des param`etres physiologiques. Mod `ele stochastique de comp´etition entre 2 athl`etes qui ont une diff ´erence de niveau (force,´energie, VO2 ...). Les athl`etes interagissent uniquement par leur choix de strat

´egie. On peut

construire un

´equilibre de Nash comme somme d"une

distribution continue et d"une masse de Dirac. L"athl `ete le plus faible peut garder une chance de gagner. M

´ecanique pas inclue.

full screen quit 25

A quoi peut servir le mod

`ele math´ematique d´eterministe?

On peut pr

´edire comment l"´evolution des param`etres fait´evoluer la performance. On peut voir quel est l"effet de la ligne ou de la forme de pistes.

Quelle est la strat

´egie de course?P asf orc´ement le meilleur

temps, mais finir premier? Si on part trop fort (on garde sa force maximale trop longtemps), on ne fera pas le meilleur temps, mais on a des chances de semer l"adversaire. Si on reste juste un peu derri `ere, on va gagner de l"

´energie et redoubler.

Projet avec l"institut des sciences du mouvement (Marseille) et

TIMC (Grenoble) pour faire des mesures...

full screen quitquotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

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