SUITES ARITHMETIQUES ET SUITES GEOMETRIQUES
Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. 1. SUITES ARITHMETIQUES. ET SUITES GEOMETRIQUES. I. Suites arithmétiques. 1) Définition.
FONCTION DERIVÉE
Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. FONCTION DERIVÉE. I. Dérivées des fonctions usuelles. Exemple :.
CALCUL LITTÉRAL
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Partie 1 : Fonction dérivée
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PRODUIT SCALAIRE (Partie 1)
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SUITES ARITHMÉTIQUES ET SUITES GÉOMÉTRIQUES
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LIMITES DES FONCTIONS
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FONCTIONS POLYNÔMES DE DEGRÉ 2
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SUITES ARITHMÉTIQUES
ET SUITES GÉOMÉTRIQUES
Tout le cours en vidéo : https://youtu.be/05UHsy9G4M4Partie 1 : Suites arithmétiques
1) Définition
Exemple :
Considérons la suite (
) où l'on passe d'un terme au suivant en ajoutant 5. Si le premier terme est égal à 3, les termes suivants sont : =3, =8, =13, =18. Une telle suite est appelée une suite arithmétique de raison 5 et de premier terme 3.La suite est donc définie par : (
=3 +5Définition : Une suite (
) est une suite arithmétique s'il existe un nombre tel que pour tout entier , on a :Le nombre est appelé raison de la suite.
Remarque :
La raison peut être un nombre négatif. On peut par exemple ajouter -2. Méthode : Démontrer qu'une suite est arithmétiqueVidéo https://youtu.be/YCokWYcBBOk
a) La suite ( ) définie par : =7-9 est-elle arithmétique ? b) La suite ( ) définie par : +3 est-elle arithmétique ?Correction
a) =7-9 +1 -(7-9) =7-9-9-7+9 =-9.La différence entre deux termes successifs reste constante et égale à -9, donc on passe d'un
terme au suivant en ajoutant -9. ) est une suite arithmétique de raison -9. b) +1 +3-( +3) +2+1+3- -3 =2+1. 2La différence entre un terme et son précédent n'est pas constante car elle dépend de .
) n'est pas une suite arithmétique.Propriété : (
) est une suite arithmétique de raison et de premier termePour tout entier naturel , on a :
Démonstration au programme :
Vidéo https://youtu.be/Jn4_xM_ZJD0
La suite arithmétique (
) de raison et de premier terme vérifie la relationEn calculant les premiers termes :
En additionnant membre à membre ces égalités, on obtient : Soit, en retranchant aux deux membres les termes identiques : Méthode : Déterminer une expression en fonction de d'une suite arithmétiqueVidéo https://youtu.be/6O0KhPMHvBA
a) Déterminer l'expression, en fonction de , de la suite arithmétique définie par : =7 -4 b) Déterminer l'expression, en fonction de , de la suite arithmétique définie par : =5 +3Correction
a) On a : =7 et -4 On passe d'un terme au suivant en ajoutant -4, et donc la raison est égal à -4et le premier terme est égal à 7.Ainsi :
=7+× -4 =7-4 b) On a : =5 et +3 On passe d'un terme au suivant en ajoutant 3, donc la raison est égale à 3.Ici, le terme
n'est pas donné mais on peut le calculer. 3Pour passer de
, on retire 3 (" marche arrière ») donc -3=2.Ainsi :
=2+3 -1 Méthode : Déterminer la raison et le premier terme d'une suite arithmétiqueVidéo https://youtu.be/iEuoMgBblz4
Considérons la suite arithmétique (
) tel que =7 et =19. a) Déterminer la raison et le premier terme de la suite ( b) Exprimer en fonction de .Correction
a) Les termes de la suite sont de la formeAinsi :
+5 +97=
+519=
+97-19=
+5- -9← On soustrait membre à membre -12=-4 -12 -4 =3Comme
+5=7, on a : +5×3=7 =7-15 =-8. b) =-8+×3 =3-82) Sens de variation
Propriété : (
) est une suite arithmétique de raison r. - Si > 0 alors la suite ( ) est croissante. - Si < 0 alors la suite ( ) est décroissante.Démonstration :
- Si > 0 alors >0 et la suite ( ) est croissante. - Si < 0 alors <0 et la suite ( ) est décroissante. 4 Méthode : Déterminer le sens de variation d'une suite arithmétiqueVidéo https://youtu.be/R3sHNwOb02M
Étudier les variations des suites arithmétiques ( ) et ( ) définies par : =3+5 b) ( =-3 -4Correction
a) ( ) est croissante car de raison positive et égale à 5. b) On passe d'un terme au suivant en ajoutant -4. ( ) est décroissante car de raison négative et égale à -4.3) Représentation graphique
Les points de la représentation graphique d'une suite arithmétique sont alignés.Exemple :
On a représenté ci-dessous la suite de raison -0,5 et de premier terme 4. 5RÉSUMÉ
) une suite arithmétique - de raison - de premier termeExemple :
=-0,5 et =4Définition
-0,5La différence entre un terme et son
précédent est égale à -0,5.Propriété
=4-0,5 SensDe variation
Si > 0 : (
) est croissante.Si < 0 : (
) est décroissante. =-0,5<0La suite (
) est décroissante.Représentation
graphiqueRemarque :
Les points de la représentation
graphique sont alignés.La croissance est linéaire.
Partie 2 : Suites géométriques
1) Définition
Exemple :
Considérons la suite (
) où l'on passe d'un terme au suivant en multipliant par 2. Si le premier terme est égal à 5, les termes suivants sont : =5, =10, =20, =40. Une telle suite est appelée une suite géométrique de raison 2 et de premier terme 5.La suite est donc définie par : (
=5 =2Définition : Une suite (
) est une suite géométrique s'il existe un nombre réel tel que pour tout entier , on a : Le nombre est appelé raison de la suite. Méthode : Démontrer qu'une suite est géométriqueVidéo https://youtu.be/YPbEHxuMaeQ
La suite (
)définie par : =3×5 est-elle géométrique ? 6Correction
3×5
3×5
5 5 =5 =5Le rapport entre un terme et son précédent reste constant et égale à 5, donc on passe d'un
terme au suivant en multipliant par 5. ) est une suite géométrique de raison 5 et de premier terme =3×5 =3.Exemple concret :
On place un capital de 500 € sur un compte dont les intérêts annuels s'élèvent à 4 %.
Chaque année, le capital est donc multiplié par 1,04. Ce capital suit une progression géométrique de raison 1,04.On a ainsi :
=1,04×500=520 =1,04×520=540,80 =1,04×540,80=562,432De manière générale :
=1,04× avec =500Propriété : (
) est une suite géométrique de raison et de premier termePour tout entier naturel , on a :
Démonstration au programme :
Vidéo https://youtu.be/OpLU8Ci1GnE
La suite géométrique (
) de raison et de premier terme vérifie la relation - Si ou est nul, alors tous les termes de la suite sont nuls. La démonstration est évidente dans ce cas. - Dans la suite, on suppose donc que et sont non nuls. Dans ce cas, tous les termes de la suite sont non nuls.En calculant les premiers termes :
En multipliant membre à membre ces n égalités, on obtient : Comme les termes de la suite sont non nuls, on peut diviser aux deux membres les facteurs identiques, on obtient : 7 Méthode : Déterminer une expression en fonction de d'une suite géométriqueVidéo https://youtu.be/WTmdtbQpa0c
a) Déterminer l'expression en fonction de de la suite géométrique définie par : =3 =4 b) Déterminer l'expression en fonction de de la suite géométrique définie par : =5 =2Correction
a) On a : =3 et =4 On passe d'un terme au suivant en multipliant par 4, donc la raison est égal à 4et le premier terme est égal à 3.Ainsi :
=3×4 b) On a : =5 et =2 On passe d'un terme au suivant en multipliant par 2 donc la raison est égal à 2.Ici, le terme
n'est pas donné mais on peut le calculer.Pour passer de
, on divise par 2 (" marche arrière ») donc : 2 5 2 =2,5. La raison est égal à 2et le premier terme est égal à 2,5.Ainsi :
=2,5×2 Méthode : Déterminer la raison et le premier terme d'une suite géométriqueVidéo https://youtu.be/wUfleWpRr10
Considérons la suite géométrique (
) tel que =8 et =512. a) Déterminer la raison et le premier terme de la suite ( b) En déduire une expression de la suite en fonction de .Correction
a) Les termes de la suite sont de la formeAinsi : (
88=
512=
← On effectue le quotient membre à membre 64=7 4
64=
On utilise la fonction racine troisième de la calculatrice pour trouver le nombre qui élevé au
cube donne 64.Ainsi =
64=4
Comme
=8, on a : ×4 =8 8 4Et donc :
1 32×4
2) Sens de variation
Propriété : (
) est une suite géométrique de raison et de premier terme non nulPour
>0 : - Si >1 alors la suite ( ) est croissante. - Si 0<<1 alors la suite ( ) est décroissante.Pour
<0 : - Si >1 alors la suite ( ) est décroissante. - Si 0<<1 alors la suite ( ) est croissante.Démonstration dans le cas où
>0 : -1 - Si >1 alors >0 et la suite ( ) est croissante. - Si 0<<1 alors <0 et la suite ( ) est décroissante.Remarques :
• Si =1, la suite est constante. Méthode : Déterminer le sens de variation d'une suite géométriqueVidéo https://youtu.be/vLshnJqW-64
Déterminer le sens de variation des suites géométriques ( ) et ( ) définies par : a) =-4×2 b) A =-2 1 2 9Correction
a) La suite géométrique ( ) définie par =-4×2 est décroissante car : =-4 donc <0 et =2 donc >1 b) La suite géométrique ( ) définie par 1 2 et =-2 est croissante car : =-2 donc <0 et = 1 2 donc 0<<1.Partie 3 : Sommes de termes consécutifs
1) Cas des suites arithmétiques
Propriété : est un entier naturel non nul, alors on a : 1+2+3+⋯+= Remarque : Il s'agit de la somme des premiers termes d'une suite arithmétique de raison 1 et de premier terme 1.RÉSUMÉ
) une suite géométrique - de raison - de premier termeExemple :
=2 et =-4Définition
=2Le rapport entre un terme et son
précédent est égal à 2.Propriété
=-4×2 Sens de variationPour
>0 :Si >1 : (
) est croissante.Si 0<<1 : (
) est décroissante.Pour
<0 :Si >1 : (
) est décroissante.Si 0<<1 : (
) est croissante. =-4<0 =2>1La suite (
) est décroissante.Représentation
graphiqueRemarques :
Si <0 : la suite géométrique n'est
ni croissante ni décroissante.La croissance est exponentielle.
10Démonstration au programme :
Vidéo https://youtu.be/-G3FWv5Bkzk
1 + 2 + 3 + ... + -1 +
+ + -1 + -2 + ... + 2 + 1 (+1) + (+1) + (+1) + ... + (+1) + (+1) =×(+1)Donc : 2×
1+2+3+⋯+
+1Et donc : 1+2+3+⋯+=
Méthode : Calculer la somme des termes d'une suite arithmétiqueVidéo https://youtu.be/WeDtB9ZUTHs
Vidéo https://youtu.be/iSfevWwk8e4
Calculer les sommes suivantes :
=1+2+3+⋯+348 =15+16+17+⋯+88 =33+36+39+⋯+267Correction
=1+2+3+⋯+348 ← =348 dans la formule348×(348+1)
2348×349
2 =60726 =15+16+17+⋯+881+2+3+⋯+88
1+2+3+⋯+14
88×89
214×15
2 =3916-105 =3811 =33+36+39+⋯+267 =3×11+3×12+3×13+⋯+3×89 =3×11+12+13+⋯+89
=3×1+2+3+⋯+89
1+2+3+⋯+10
D =3×E89×90
210×11
2 F =3×4005-55
=11850 11quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47[PDF] math ex 2 important
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