[PDF] Sujet officiel complet du bac S Mathématiques Obligatoire 2014

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OBLIGATOIRE

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL

SESSION 2014

MATHÉMATIQUES

Série S

ÉPREUVE DU JEUDI 19 JUIN 2014

Durée de l"épreuve : 4 heures Coefficient : 7 ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRELes calculatrices électroniques de poche sont autorisées, conformément à la réglementation en vigueur. Le sujet est composé de 4 exercices indépendants. Le candidat doit traiter tous les exercices.

Dans chaque exercice, le candidat peut admettre un résultatprécédemment donné dans le texte pour

aborder les questions suivantes, à condition de l"indiquerclairement sur la copie.

Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute tracede recherche, même incomplète ou non

fructueuse, qu"il aura développée.

Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises

en compte dans l"appréciation des copies.Avant de composer, le candidat s"assurera que le sujet comporte bien 5 pages

numérotées de 1/5 à 5/5.

14MASCOMLR1page 1 / 5

EXERCICE 1 (5 points)

Communà tous les candidats

PartieA

Dans le plan muni d"un repère orthonormé, on désigne parC1la courbe représentative de la fonctionf1définie surRpar : f

1(x)=x+e-x

1.Justifier queC1passe par le pointAde coordonnées (0,1).

2.Déterminer le tableau de variation de la fonctionf1. On précisera les limites def1en+∞

et en-∞.

PartieB

L"objet de cette partie est d"étudier la suite

(In)définie surNpar :In=? 1

0?x+e-nx?dx.

O;-→ı,-→??

,pourtoutentiernatureln,onnote C nla courbe représentativede la fonctionfndéfinie surRparfn(x)=x+e-nx. Sur le graphique ci-dessous on a tracé la courbeCnpour plusieurs valeurs de l"entiernet la droiteDd"équationx=1.

O?ı?

A DC 1 C 2 C 3 C 4 C 6 C 15 C 60
a.Interpréter géométriquementl"intégraleIn. b.En utilisant cette interprétation, formuler une conjecture sur le sens de variation de lasuite (In)et salimiteéventuelle.Onpréciseralesélémentssur lesquelsons"appuie pour conjecturer.

14MASCOMLR1page 2 / 5

2.Démontrer que pour tout entier naturelnsupérieur ou égal à 1,

I n+1-In=? 1 0 e-(n+1)x?1-ex?dx. En déduire le signe deIn+1-Inpuis démontrer que la suite(In)est convergente.

3.Déterminer l"expression deInen fonction denet déterminer la limite de la suite(In).

EXERCICE 2 (5 points)

Communà tous les candidats

Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment.

PartieA

de communicationmet en avant les caractéristiques suivantes : - la probabilitéqu"une personne malade présente un test positif est 0,99; - la probabilitéqu"une personne saine présente un test positif est 0,001. statistique permet d"estimer que le pourcentage de personnes malades parmi la popula- tiond"unemétropoleest égal à0,1%.Onchoisitau hasardunepersonnedanscettepopu- lationet on lui fait subir le test. On noteMl"évènement " la personne choisie est malade » etTl"évènement " le test est positif ». a.Traduire l"énoncé sous la forme d"un arbre pondéré. b.Démontrer que la probabilitéP(T) de l"évènementTest égale à 1,989×10-3. c.L"affirmation suivante est-elle vraie ou fausse? Justifier la réponse. Affirmation:" Siletestestpositif,ilyamoinsd"unechancesurdeuxquelapersonne soit malade ».

2.Le laboratoire décide de commercialiser un test dès lors quela probabilité qu"une per-

sonne testée positivement soit malade est supérieure ou égale à 0,95. On désigne parxla

proportionde personnes atteintesd"une certaine maladie dans la population. À partir de quelle valeur dexle laboratoirecommercialise-t-il le test correspondant?

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PartieBLa chaine de production du laboratoire fabrique, en très grande quantité, le comprimé d"un

médicament.

1.Uncompriméest conformesisamasseest compriseentre890et920 mg.Onadmetque la

masse en milligrammes d"un comprimé pris au hasard dans la production peut être mo- délisée par une variable aléatoireXqui suit la loi normaleN(μ,σ2) de moyenneμ=900 et d"écart-typeσ=7. a.Calculer la probabilité qu"un comprimé prélevé au hasard soit conforme. On arron- dira à 10 -2. b.Déterminer l"entier positifhtel queP(900-h?X?900+h)≈0,99 à 10-3près.

2.La chaine de production a été réglée dans le but d"obtenir au moins 97% de comprimés

conformes. Afin d"évaluer l"efficacité des réglages, on effectue un contrôle en prélevant

un échantillon de 1000 comprimés dans la production. La taille de la production est sup-

posée suffisamment grande pour que ce prélèvement puisse être assimilé à 1000 tirages

successifs avec remise. Le contrôle effectué a permis de dénombrer 53 comprimés non conformes sur l"échan- tillonprélevé. Ce contrôleremet-il en questionles réglagesfaitspar le laboratoire?Onpourrautiliserun intervallede fluctuationasymptotique au seuil de 95%.

EXERCICE 3 (5 points)

Communà tous les candidats

On désigne par (E) l"équationz4+4z2+16=0 d"inconnue complexez.

1.Résoudre dansCl"équationZ2+4Z+16=0.

Écrire les solutionsde cette équation sous une forme exponentielle.

2.Ondésigneparale nombre complexedont le moduleest égal à 2 et dont unargument est

égal àπ

3.

Calculera2sous forme algébrique.

En déduire les solutions dansCde l"équationz2=-2+2i?

3. On écrira les solutions sous

forme algébrique.

3. Restitutionorganisée de connaissances

On suppose connu le fait que pour tout nombre complexez=x+iyoùx?Rety?R, le conjugué dezest le nombre complexe zdéfini parz=x-iy.

Démontrer que :

- Pour tous nombres complexesz1etz2, z1z2=z1z2. - Pour tout nombre complexezet tout entier naturel non nuln, zn=?z?n.

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4.Démontrer que sizest une solution de l"équation (E) alors son conjuguézest également

une solutionde (E). En déduire les solutions dansCde l"équation (E). On admettra que (E) admet au plus quatre solutions.

EXERCICE 4 (5 points)

Candidatsn"ayantpas suivi l"enseignementde spécialité Dans l"espace, on considère un tétraèdreABCDdont les facesABC,ACDetABDsont des

triangles rectangles et isocèles enA. On désigne parE,FetGles milieux respectifs des côtés

??AB??,??BC??et??C A??. OnchoisitABpourunitéde longueuret onse placedanslerepère orthonormé?

A;-→AB,-→AC,--→AD?

de l"espace.

1.On désigne parPle plan qui passe parAet qui est orthogonal à la droite (DF).

On noteHle point d"intersectiondu planPet de la droite (DF). a.Donner les coordonnées des pointsDetF. b.Donner une représentationparamétriquede la droite (DF). c.Déterminer une équation cartésienne du planP. d.Calculer les coordonnées du pointH. e.Démontrer que l"angle?EHGest un angle droit.

2.On désigne parMun point de la droite (DF) et partle réel tel que--→DM=t--→DF. On noteα

la mesure en radians de l"angle géométrique ?EMG. Le but de cette question est de déterminer la position du pointMpour queαsoit maxi- male. a.Démontrer queME2=3

2t2-52t+54.

b.Démontrer que le triangleMEGest isocèle enM.

En déduire queMEsin?α

2? =12?2. c.Justifier queαest maximale si et seulement si sin?α 2? est maximal. En déduire queαest maximalesi et seulement siME2est minimal. d.Conclure.

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