[PDF] Sujet officiel complet du bac S Mathématiques Obligatoire 2013

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OBLIGATOIRE

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL

SESSION 2013

MATHÉMATIQUES

Série S

Durée de l'épreuve : 4 heures Coefficient : 7

ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE

Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées, conformément à la réglementation en vigueur. Le sujet est composé de 4 exercices indépendants. Le candidat doit traiter tous les exercices.

Dans chaque exercice, le candidat peut admettre un résultatprécédemment donné dans le texte pour

aborder les questions suivantes, à condition de l'indiquerclairement sur la copie.

Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute tracede recherche, même incomplète ou non

fructueuse, qu'il aura développée.

Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises

en compte dans l'appréciation des copies. Avant de composer, le candidat s'assurera que le sujet comporte bien 6 pages numérotées de 1/6 à 6/6.

13MASCOMELR1page 1 / 6

EXERCICE 1 (4 points)

Communà tous les candidats

Une jardinerie vend de jeunes plants d"arbres qui proviennent de trois horticulteurs : 35% des plants proviennent de l"horticulteur H

1, 25% de l"horticulteurH2et le reste de l"horticulteurH3.

Chaque horticulteur livre deux catégories d"arbres : des conifères et des arbres à feuilles.

La livraison de l"horticulteur H

1comporte 80% de conifères alors que celle de l"horticulteurH2

n"en comporte que 50% et celle de l"horticulteurH

3seulement 30%.

1.Le gérant de la jardinerie choisit un arbre au hasard dans sonstock.

On envisage les évènements suivants :

-H1: " l"arbre choisi a été acheté chez l"horticulteur H1», -H2: " l"arbre choisi a été acheté chez l"horticulteur H2», -H3: " l"arbre choisi a été acheté chez l"horticulteur H3», -C: " l"arbre choisi est un conifère », -F: " l"arbre choisi est un arbre feuillu ». a.Construireun arbre pondéré traduisantla situation. b.Calculer la probabilité que l"arbre choisi soit un conifèreacheté chez l"horticulteur H 3. c.Justifier que la probabilitéde l"évènementCest égale à 0,525.

d.L"arbre choisi est un conifère.Quelle est la probabilité qu"il ait été acheté chez l"horticulteur H1? On arrondira à

10 -3.

2.On choisit au hasard un échantillonde 10 arbres dans le stockde cette jardinerie.On sup-

pose que ce stock est suffisamment importantpour que ce choixpuisse être assimilé à un tirage avec remise de 10 arbres dans le stock. a.Justifier queXsuit une loi binomialedont on précisera les paramètres. b.Quelle est la probabilitéque l"échantillonprélevé comporteexactement 5 conifères?

On arrondira à 10

-3.

On arrondira à 10

-3.

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EXERCICE 2 (7 points)

Communà tous les candidats

Sur le graphique ci-dessous, on a tracé, dans le plan muni d"un repère orthonormé?

O;?i,?j?

, la courbe représentativeCd"une fonctionfdéfinie et dérivable sur l"intervalle??0,+∞??. C? B O? A?i? C ?j

On dispose des informationssuivantes :

- les pointsA,B,Cont pour coordonnées respectives (1, 0), (1, 2), (0, 2); - la courbeCpasse par le pointBet la droite (BC) est tangente àCenB; - il existe deux réels positifsaetbtels que pour tout réel strictement positifx, f(x)=a+blnx x.

1. a.En utilisantle graphique, donner les valeurs def(1) etf?(1).

b.Vérifier que pour tout réel strictement positifx,f?(x)=(b-a)-blnx x2. c.En déduire les réelsaetb.

2. a.Justifierquepourtoutréelxappartenantàl"intervalle??0,+∞??,f?(x)alemêmesigne

que-lnx. b.Déterminer les limites defen 0 et en+∞. On pourra remarquer que pour tout réel xstrictement positif,f(x)=2 x+2lnxx. c.En déduire le tableau de variations de la fonctionf.

3. a.Démontrerquel"équationf(x)=1admetuneuniquesolutionαsurl"intervalle??0, 1??.

b.Par un raisonnement analogue, on démontre qu"il existe un unique réelβde l"inter- valle??1,+∞??tel quef(β)=1.

Déterminer l"entierntel quen<β

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4.On donne l"algorithmeci-dessous.

Variables:a,betmsont des nombres réels.

Initialisation: Affecter àala valeur 0.

Affecter àbla valeur 1.

Traitement: Tant queb-a>0,1

Affecter àmla valeur12(a+b).Sif(m)<1 alors Affecter àala valeurm.

Sinon Affecter àbla valeurm.

Fin de Si.

Fin de Tant que.

Sortie: Affichera.

Afficherb.

a.Faire tourner cet algorithme en complétant le tableau ci-dessous que l"on recopiera sur la copie. étape 1étape 2étape 3étape 4étape 5 a0 b1 b-a m b.Que représentent les valeurs affichées par cet algorithme? c.Modifier l"algorithmeci-dessus pour qu"il affiche les deux bornes d"un encadrement deβd"amplitude10-1.

5.Le but de cette question est de démontrer que la courbeCpartage le rectangleOABCen

deux domaines d"aires égales. a.Justifier que cela revient à démontrer que? 1 1 ef(x)dx=1. b.En remarquant que l"expression def(x) peut s"écrire2 x+2×1x×lnx, terminer la démonstration.

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EXERCICE 3 (4 points)

Communà tous les candidats

Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la ré- ponse choisie. pas prise en compte. Une absence de réponse n"est pas pénalisée.

1. Proposition1:Dans leplanmunid"unrepèreorthonormé,l"ensembledespointsMdont

l"affixezvérifie l"égalité|z-i|=|z+1|est une droite.

2. Proposition2 :Le nombre complexe?1+i?

3?4est un nombre réel.

3.SoitABCDEFGHun cube.

Proposition3 :Les droites (EC) et (BG) sont orthogonales. ?A?B? C?D? E ?F ?G ?H

4.L"espace est muni d"un repère orthonormé?

O;-→i,-→j,-→k?

. Soit le planPd"équation car- tésiennex+y+3z+4=0. On noteSle point de coordonnées (1 ,-2,-2). Proposition 4 :La droite qui passe parSet qui est perpendiculaire au planPa pour re- présentationparamétrique???x=2+t y=-1+t z=1+3t,t?R.

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EXERCICE 4 (5 points)

Candidatsn"ayantpas suivi l"enseignementde spécialité

Soit la suite numérique

(un)définie surNpar : u

0=2 et pour tout entier natureln,un+1=2

3un+13n+1.

1. a.Calculeru1,u2,u3etu4. On pourra en donner des valeurs approchées à 10-2près.

b.Formuler une conjecture sur le sens de variation de cette suite.

2. a.Démontrer que pour tout entier natureln,

u n?n+3. b.Démontrer que pour tout entier natureln, u n+1-un=1

3(n+3-un).

c.En déduire une validation de la conjecture précédente.

3.On désigne par(vn)la suite définie surNparvn=un-n.

a.Démontrer que la suite(vn)est une suite géométrique de raison2 3. b.En déduire que pour tout entier natureln, u n=2?2 3? n +n. c.Déterminer la limite de la suite(un).

4.Pour tout entier naturel non nuln, on pose :

S n=n? k=0u k=u0+u1+...+unetTn=Sn n2. a.ExprimerSnen fonction den. b.Déterminer la limite de la suite(Tn).

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