[PDF] Cours de mathématiques ECS 1èreannée Nouveau programme 2013

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Cours de mathématiques ECS1èreannée

Nouveau programme 2013

BÉGYN Arnaud

18/01/2014

ECS1.1, Lycée Fermat Toulouse. http://mathcpge.org/2 IntroductionCe manuscrit regroupe des notes de cours de mathématiques pour une classe d"ECS pre- mière année. J"ai écris ces notes lors de mes enseignements au lycée Fermat pendant les années 2010-?. Ce document n"est absolument pas figé et va beaucoup évoluer.N"hésitez pas à m"envoyer toutes vos remarques et critiques ou à me signaler d"éventuelles erreurs à l"adresse "ar- naud.begyn@prepas.org". Vous pouvez utiliser ce cours à toutes fins utiles, à condition de signaler son auteur et son origine. Les mises à jour sont disponibles sur le site http ://mathcpge.org/. 3 ECS1.1, Lycée Fermat Toulouse. http://mathcpge.org/4 Table des matières1 Logique- Théorie des ensembles15

1 Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15

2 Logique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16

3 Ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .19

3.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.2 Opérations sur les ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 22

3.3 Produits cartésiens et familles d"éléments . . . . . . . . . .. . . . . . . . 25

4 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 27

4.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4.2 Loi de composition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .29

4.3 Injection, surjection, bijection . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 30

4.4 Fonctions caractéristiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 34

4.5 Images directe et réciproque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 35

5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 36

2 Dénombrement et calculs de sommes39

1 Ensemblede nombres usuels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 39

2 Ensemblesfinis - Dénombrement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 39

2.1 Ensembles finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.2 Dénombrement des ensembles finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 41

2.3 Dénombrement des applicationsentre ensembles finis . . .. . . . . . . 42

2.4 Coefficients binômiaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 44

2.5 Techniques de dénombrement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 45

3 Calculs de sommes et de produits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 47

3.1 Sommes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.2 Sommes usuelles à connaître . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 48

3.3 Formule du binôme de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.4 Sommes doubles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.5 Généralisation des formules de dénombrement . . . . . . . . .. . . . . . 51

3.6 Produits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 54

3 Nombres complexes57

1 Propriétés des nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 57

1.1 Constructionrapide deC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

1.2 Notions de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

1.3 Rappels de trigonométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 59

1.4 Forme trigonométriqued"un nombre complexe . . . . . . . . . .. . . . . 62

1.5 Applications des formules de De Moivre et d"Euler . . . . . .. . . . . . . 63

2 Équations polynômialescomplexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 64

5

TABLE DES MATIÈRES

2.1 Racinesnièmesd"un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

2.1.1 Racinesnièmesde l"unité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

2.1.2 Racinesnièmesd"un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . 66

2.2 Équations du second degré à coefficients réels . . . . . . . . .. . . . . . . 67

3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 69

4 Suitesréelles71

1 Propriétés générales de suites réelles . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 71

1.1 Rappels sur les propriétés deR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

1.1.1 Relation d"ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

1.1.2 Valeur absolue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

1.1.3 Intervalles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

1.1.4 Partie entière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

1.2 Les suites réelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 73

1.3 Propriétés des suites réelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 74

2 Limite d"une suite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 75

2.1 Suites convergentes - Suites divergentes . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 75

2.2 Propriétés des suites convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 77

2.3 L"ensemble

R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

2.4 Théorèmes généraux sur les limites . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 78

2.5 Suites d"indices pairs et impairs . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 80

2.6 Bornes supérieure et inférieure dansR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

2.7 Propriétés des suites monotones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 82

3 Exemples de suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 83

3.1 Suites arithmétiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 83

3.2 Suites géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 84

3.3 Suites arithmético-géométriques. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 85

3.4 Suites récurrentes linéaires d"ordre 2 . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 85

4 Comparaisondes suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 87

4.1 Notations de Landau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .87

4.2 Suites équivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 88

4.3 Comparaisondes suites usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 91

5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 93

5 Calcul matriciel et systèmeslinéaires99

1 L"espaceMnp(K) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

1.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

1.2 Opérations dansMnp(K) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

1.3 Matrices élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 103

2 Produit matriciel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 104

2.1 Produit d"une matrice par un vecteur colonne . . . . . . . . . .. . . . . . 104

2.2 Cas général : produit de deux matrices . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 104

2.3 Produit matriciel et matrices carrées . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 107

2.4 Matrices carrées inversibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 110

3 Transposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 112

3.1 Premières propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 112

3.2 Matrices symétriques et antisymétriques . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 113

4 Systèmes linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 114

4.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

4.2 Le pivot de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

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TABLE DES MATIÈRES

4.3 Rang et résolutiond"un système linéaire . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 119

4.3.1 Résolutiondes systèmes linéaires . . . . . . . . . . . . . . . .. . 119

4.3.2 Rang d"un système linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

4.3.3 Rang et systèmes linéaires échelonnés . . . . . . . . . . . . .. . 121

4.4 Matrices inversibles et systèmes linéaires . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 122

5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 124

6 Espaces probabilisés finis127

1 Vocabulaire et axiomatiquedes probabilités . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 127

1.1 L"univers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

1.2 Évènements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

1.3 Opérations sur les évènements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 129

1.4 Système complet d"évènements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 130

2 Probabilitésur un espace probabilisable . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 131

2.1 Probabilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .131

2.2 Constructionde probabilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 133

3 Probabilitésconditionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 134

3.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

3.2 Formule des probabilités composées . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 135

3.3 Formule des probabilités totales . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 136

3.4 Formule de Bayes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

4 Indépendance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 139

4.1 Indépendance de deux évènements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 139

4.2 Indépendance mutuelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 140

4.2.1 Propriétés de l"indépendance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .141

4.3 Complémentssurlaformuledesprobabilitéstotales:propriétédeMarkov141

5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 143

7 Généralitéssur les fonctions numériques147

1 Étude d"une fonction réelle d"une variable réelle . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 147

1.1 Fonction réelle d"une variable réelle . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 147

1.2 Ensemble de définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .147

1.3 Représentation graphiquedef. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

1.4 Monotonie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

1.5 Extremums d"une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 152

2 Fonctions usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 154

2.1 Fonction racinen-ième . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

2.2 Fonctions trigonométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 155

2.3 Fonctions logarithmeset exponentielles . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 156

2.4 Fonctions puissances réelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 159

2.5 Fonctions logarithmeset exponentiellesen basea. . . . . . . . . . . . . 160

2.6 Croissances comparées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 161

3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 162

8 Limiteset comparaison des fonctions numériques 165

1 Limite en un point de

R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

1.1 Voisinages d"un point de

R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

1.2 Limite finie en un pointx0?R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

1.3 Limite infinie en un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 168

1.4 Limite finie/infinie en±∞. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

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TABLE DES MATIÈRES

1.5 Extensions dans le cas d"une limite finie . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 172

1.6 Unicité de la limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 172

2 Théorèmes généraux sur les limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 173

2.1 Opérations algébriques sur les limites . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 173

2.2 Compositionde limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 174

2.2.1 Fonction composée de deux fonctions . . . . . . . . . . . . . . .174

2.2.2 Suite composée d"une suite et d"une fonction . . . . . . . .. . . 174

2.3 Limites et inégalités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 175

2.3.1 Limite et inégalités locales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 175

2.3.2 Calculs de limitespar inégalité . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 176

2.4 Limites des fonctions monotones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 176

3 Comparaisonde fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 178

3.1 Fonctions équivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 178

3.2 Équivalents usuels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 181

3.3 Notations de Landau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .182

3.4 Croissances comparées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 184

4 Développements limités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 184

4.1 Développement limité d"ordrenen un pointx0?

R. . . . . . . . . . . . . 184

4.2 Développements limités usuels en 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 185

4.3 Opérations sur les développements limités . . . . . . . . . . .. . . . . . . 187

4.4 Développements limités et recherche de fonction équivalente . . . . . . 189

5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 190

9 Polynômes193

1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 193

1.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

1.2 Opérations sur les polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 195

1.3 Parité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

2 Racines d"un polynôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 197

2.1 ArithmétiquedansK[X] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

2.2 Racines d"un polynôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .198

2.3 Théorème de d"Alembert-Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 199

3 Formulede Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 200

3.1 Dérivée d"un polynôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .200

3.2 Formule de Leibnitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .202

3.3 Formule de Taylor et application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 202

4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 203

10 Variables aléatoiresdiscrètes205

1 Variablesaléatoires discrètes finies . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 205

1.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

1.2 Évènements associés à une VARD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 206

1.3 Loi de probabilité d"une VARD finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 207

1.4 Fonction de répartitiond"une VARD finie . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 208

1.5 Transfert de loi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .210

2 Espérance mathématiqued"une VARD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 211

2.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

2.2 Théorème de transfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 212

2.3 Variance d"une VARD finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 213

3 Lois usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 214

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TABLE DES MATIÈRES

3.1 Loi certaine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

3.2 Loi uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

3.3 Loi de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .216

3.4 Loi binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 219

11 Introduction auxespaces vectoriels223

1 Généralités sur les espace vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 223

1.1 Espace vectoriel surK. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

1.2 Sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 225

2 Familles de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 226

2.1 Combinaisonslinéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 226

2.2 Sous-espace vectoriel engendré par une famille de vecteurs . . . . . . . . 227

2.3 Familles génératrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 228

2.4 Familles libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 229

2.5 Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 234

12 Séries numériques237

1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 237

1.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

1.2 Propriétés des séries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 239

2 Séries à termes positifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 241

2.1 Règles de comparaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .241

2.2 Convergence absolue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .244

3 Séries de référence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 245

3.1 Séries de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245

3.2 Séries géométriqueset leurs dérivées . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 246

3.3 Séries exponentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 247

3.4 Méthodologiepour étudier la nature d"une série . . . . . . .. . . . . . . 248

4 Produit de séries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 248

5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 249

13 Espaces probabilisés quelconques253

1 Vocabulaire et axiomatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 253

1.1 L"univers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253

1.2 La tribu des évènements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 253

1.3 Systèmes complets d"évènements dénombrables . . . . . . . .. . . . . . 255

1.4 Probabilités sur un espace probabilisé quelconque . . . .. . . . . . . . . 256

1.5 Propriétés de continuitémonotone pour une probabilité. . . . . . . . . 258

1.6 Évènements négligeables et presque sûrs . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 259

1.7 Probabilités conditionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 260

1.8 Indépendance mutuelle d"une famille dénombrable d"évènements . . . 261

2 Variablesaléatoires réelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 262

2.1 Variables aléatoires réelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 262

2.2 Loi et fonction de répartitiond"une variable aléatoireréelle . . . . . . . . 263

3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 265

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TABLE DES MATIÈRES

14 Variables aléatoiresdiscrètes267

1 Variablesaléatoires discrètes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 267

1.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267

1.2 L"expérience a-t-elle une fin? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 269

1.3 Fonction de répartitiond"une VARD . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 271

1.4 Transfert de loi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .273

2 Espérance mathématiqued"une VARD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 274

2.1 Espérance mathématiqued"une VARD . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 274

2.2 Moments d"une VARD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276

2.3 Variance d"une VARD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .277

3 Lois usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 279

3.1 Loi géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279

3.2 Loi de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281

4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 282

15 Continuité des fonctions numériques287

1 Continuitéd"une fonction numérique . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 287

1.1 Continuitéen un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 287

1.2 Continuitéà droite ou à gauche en un point . . . . . . . . . . . . .. . . . 287

1.3 Continuitésur un intervalle- Prolongement par continuité . . . . . . . . 290

1.4 Continuitédes fonctions usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 291

1.5 Opérations arithmétiquessur les fonctions continues .. . . . . . . . . . 292

2 Continuitésur un intervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 292

2.1 Théorème des valeurs intermédiaire . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 293

2.2 Théorème de continuité sur un segment . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 296

3 Fonctions continues et bijectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 297

3.1 Théorème de la bijection monotone . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 297

3.2 La fonction arctangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 300

4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 302

16 Dérivabilité des fonctions numériques305

1 Dérivabilité d"une fonction numérique . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 305

1.1 Dérivabilité en un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 305

1.2 Dérivabilité à droite ou à gauche en un point . . . . . . . . . . .. . . . . 306

1.3 Interprétationsgraphiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 307

1.4 Dérivabilité sur une partie deR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308

2 Opérations sur les dérivées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 309

2.1 Opérations arithmétiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 309

2.2 Dérivée d"une composée, d"un quotient . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 310

2.3 Dérivée d"une bijection réciproque . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 310

3 Tableaux récapitulatifsdes dérivées des fonctions usuelles . . . . . . . . . . . . 312

4 Dérivabilité sur un intervalled"une fonction à valeurs réelles . . . . . . . . . . . 313

4.1 Lien entre extremum et dérivée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 313

4.2 Théorème de Rolle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313

4.3 Théorème des accroissements finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 314

4.4 Lien entre dérivée et monotonie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 315

5 Dérivées d"ordre supérieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 316

5.1 Dérivées successives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 316

5.2 Fonctions de classeCn, de classeC∞. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317

5.3 Classe de régularitédes fonction usuelles . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 318

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TABLE DES MATIÈRES

5.4 Opérations arithmétiquessur les fonctions de classeCn/C∞. . . . . . . 319

5.5 Compositionde fonctions de classeCn/C∞. . . . . . . . . . . . . . . . . 319

6 Formulesde Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 320

6.1 Formule de Taylor-Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 320

6.2 Inégalité de Taylor-Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 321

6.3 Formule de Taylor-Young . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 321

6.4 Recherche d"extremums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 322

7 Fonctions convexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 324

8 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 326

17 Espaces vectorielsde dimension finie331

1 Espaces vectoriels de dimensionfinie . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 331

1.1 Cardinal d"une famille finie de vecteur . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 331

1.2 Bases et dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .331

1.3 Familles de vecteurs en dimension finie . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 335

2 Sous-espaces vectoriels en dimension finie . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 336

2.1 Inclusion et dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 336

2.2 Rang d"une famille de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 337

2.3 Somme de deux sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 338

2.4 Sommek≥2 sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341

2.5 Sommes et sommes directes en dimension finie . . . . . . . . . . .. . . . 343

3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 345

18 Intégration sur un segment349

1 Intégrale sur un segment d"une fonction continue . . . . . . . .. . . . . . . . . 349

1.1 Primitived"une fonction continue . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 349

1.2 Tableaux récapitulatifsdes primitivesusuelles . . . . .. . . . . . . . . . . 350

1.3 Intégrale sur un segment d"une fonction continue . . . . . .. . . . . . . 351

1.4 Extension aux cas des fonctions continues par morceaux sur un segment 354

1.5 Fonctions définies par une intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 355

2 Calcul intégral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 356

2.1 Intégration par parties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 357

2.2 Changement de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 357

2.3 Sommes de Riemann à pas constant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 359

2.4 Formule de Taylor avec reste intégral . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 360

3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 361

19 Applications linéaires367

1 Applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 367

1.1 Définitions et premières propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 367

1.2 Opérations sur les applications linéaires . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 369

1.2.1 Restriction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369

1.2.2 Somme et multiplicationpar un scalaire . . . . . . . . . . . .. . 369

1.2.3 Composition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369

1.2.4 Bijection réciproque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370

1.3 Noyau et image d"une applicationlinéaire . . . . . . . . . . . .. . . . . . 371

1.4 Image d"une famille de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 372

1.5 Projections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .373

2 Applications linéaires en dimension finie . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 374

2.1 Rang d"une applicationlinéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 374

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TABLE DES MATIÈRES

2.2 Matrice d"une famille finie de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 377

2.3 Matrice d"une application linéaire dans des bases . . . . .. . . . . . . . . 378

2.4 Interprétationdu produit d"une matrice par un vecteur colonne . . . . . 380

2.5 Interprétationdu produit de deux matrices . . . . . . . . . . .. . . . . . 382

2.6 Cas des endomorphismeset des matrices carrées . . . . . . . .. . . . . 383

2.7 Rang d"une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .385

3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 389

20 Intégrales généralisées393

1 Définitions et premières propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 393

1.1 Cas d"un intervalle [a,b[ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393

1.2 Cas d"un intervalle quelconque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 395

2 Propriétés fondamentalesdes intégralesgénéralisées . .. . . . . . . . . . . . . . 396

2.1 Relation de Chasles pour les intégrales généralisées . .. . . . . . . . . . 397

2.2 Linéarité des intégralesgénéralisées . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 397

2.3 Positivité des intégralesconvergentes . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 398

2.4 Croissance des intégrales convergentes . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 399

2.5 Calcul des intégrales généralisées . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 399

2.5.1 Intégrationpar parties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .399

2.5.2 Changement de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399

3 Nature d"une intégrale généralisée d"une fonction positive . . . . . . . . . . . . 400

3.1 Utilisationdes intégralespartielles . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 400

3.2 Critères de comparaison des fonctions positives . . . . . .. . . . . . . . . 401

3.3 Convergence absolue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .402

4 Intégrales de références . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 403

4.1 Intégrales de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 403

4.2 Intégrales utiles en probabilités . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 404

4.2.1 Lois exponentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404

4.2.2 Lois normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405

4.3 Méthodologiepour étudier la nature d"une intégrale généralisée . . . . . 405

5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 406

21 Variables aléatoiresréellesà densité409

1 Définitions et premières propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 409

1.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409

1.2 Densités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 410

1.3 Interprétationdes fonctions densités . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 414

1.4 Blian sur les fonctions de répartitionset fonctions densités . . . . . . . . 414

1.5 Transfert de loi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .415

2 Espérance d"une variable aléatoire à densité . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 417

2.1 Espérance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417

2.2 Théorème de transfert pour les VAR à densité . . . . . . . . . . .. . . . . 418

2.3 Moments d"une VAR à densité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .419

2.4 Variance d"une VAR à densité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 420

3 Lois usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 421

3.1 Loi uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422

3.2 Loi exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 423

3.3 Loi normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426

3.3.1 Loi normale centrée réduite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426

3.3.2 Loi normale : cas général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427

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TABLE DES MATIÈRES

4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 430

22 Convergenceset approximations en probabilités 435

1 Convergence en probabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 435

1.1 Inégalité de Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 435

1.2 Inégalité de Bienaymé-Tchebychev . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 436

1.3 Convergence en probabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 436

1.4 Loi faible des grands nombres pour la loi binomiale . . . . .. . . . . . . 437

2 Convergence en loi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 437

2.1 Approximation binomiale-Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 438

2.2 Théorème central limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 438

3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 440

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TABLE DES MATIÈRES

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Chapitre 1Notions élémentaires de logique et dethéorie des ensembles1 NotationTraditionnellement, les objets mathématiques (nombres, fonctions...) sont notés avec une

lettre de l"alphabet pouvant être minuscule, majuscule, capitale etc... Lorsqu"on se donne une liste denobjets on utilise un indice :x1,x2, ...,xn. On peut aussi utiliser un indice

supérieur,placé entre parenthèses pour ne pas le confondreavec la puissance :x(1),x(2), ...,

x (n). Lorsque l"on considère un tableau de nombres, on a recourt au double-indiçage :xi j désigne l"élément situé à l"intersection de la ligneiet de la colonnej. Pour varier les notations,on utiliseaussil"aplhabet grec, dont nousrappelonsci-dessous les minusculeset majuscules. Il est vivement recommander de bien le connaitre (sous peine dequotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

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