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830 énigmes...

deÂne àZèbre

Florilège d"énigmes

proposées par-ci par-là

ArnaudGazagnes

IREM de Lyon

"Théorème du papillon», "courbe de poursuite du chien», "escargot de Pythagore », " selle de singe », " courbe du dragon », ... : de nombreux résultats portent le nom d"un animal. De plus, j"ai remarqué que, lorsque des défis étaient proposés à mes élèves (dans des rallyes, en club mathématique ou dans un travail declasse), ceux-ci avaient montré plus d"intérêt pour un défi où non seulement il y avait un habillage mais aussi où cet habillage comportait des animaux. C"est pourquoi j"ai commencé à rechercher des énigmes où il était ques- tion d"animaux : dans des livres anciens, dans des rallyes, sur l"e-toile, ... Cette brochure en propose un florilège, données depuis le cycle 3 jus- qu"aux premières années du l"enseignement supérieur. Certains exercices ont été rhabillés. D"une part, parce qu"ils me plai- saient (!) et que cela m"a permis de les insérer dans ce florilège. D"autre part, parce que, au départ, cela me permettait de mettre une entrée de nom d"animal à chacune des vingt-six lettres de l"alphabet (et justifier le titre de ce document). Dans tous les cas, les sources des énigmes (ori- ginales ou non) sont systématiquement indiquées quand elles me sont connues. Il y a aussi quelques exercices de mon crû. Un index des noms d"animaux présents se trouve en fin de document. De plus, certaines énigmes ont un allié formidable pour la résolution : les TICE. Les calculatrices, les logiciels de géométrie dynamique et les logiciels de calcul formel ont eu de belles heures dans mes classes pour venir à bout de tel ou tel défi (voire d"aller plus loin que ce qui était demandé). Le premier défi parle d"abeilles (et non pas d"âne, comme le suggère le titre) et le dernier, de zoologie, et non pas de zèbre. Cela signifie que la liste des énigmes ne se veut pas complète (de A à Z) et qu"il yen a encore à découvrir! À part le fameux " âne rouge », à construire, les énigmes ne demandent que le matériel usuel de l"élève. Enfin je signale que chacune des 830 énigmes est corrigée. La mise en page (réalisée avec mon binôme L

ATEX) est faite pour que la solution

ne soit pas juste à côté de l"énoncé, pour ne pas gâcher le plaisir de chercher! Je ne peux que rappeler le jeu comme pratique pédagogique. Jerenvoie le lecteur aux nombreuses publications tant " papier » (cellesde l"APMEP, notamment) qu" " en ligne » (celles des IREM, notamment) qui donnent de belles et riches activités.

Jouez bien!

A. Gazagnes

Compilation du 20 juin 20231 Abeille (1)

Neuf abeilles se sont posées sur un réseau quadrillé. Le hasard a voulu qu"elles se soient disposées de manière quedeux abeilles ne se trouvent jamais sur une même rangée horizontale, ver- ticale ou diagonale. Au bout de quelques minutes, trois abeilles changent de place et passent dans des cases voisines libres, les six autres abeilles restant immobiles. Le plus curieux est que, bien que trois abeilles ayant changéde place, toutes les neuf se trouvent encore dans une position telle que deux quelconques d"entre elles ne soient jamais dans une même rangée. Quelles sont les trois abeilles qui ont bougé, et dans quelles cases se sont-elles déplacées?

Énigme

Expériences et problèmes récréatifs, Y. Perelman, Éd. Mir

2 Abeille (2)

Un apiculteur souhaite placer des ruches dans un domaine rectangu- laire de 3 km sur 4 km. Les abeilles qui peuplent ces ruches sont d"une espèce plutôt guer- rière, aussi deux ruches doivent-elles toujours être espacées d"au moins

2400 m.

Combien l"apiculteur pourra-t-il placer de ruches dans ce domaine, au maximum?

Énigme

" Les ruches », Énigme publiée dansTangente, no50, Janvier-février 2013, d"aprèsLa Recherche

L"apiculteur peut placer cinq ruches sans difficulté.Par exemple, une au centre et une à chaque sommet du domaine.La distance entre deux ruches quelconques est alors au moinségale à

2500 mètres.

Montrons qu"il ne peut pas placer six ruches. Le découpage dudomaine représenté ci-dessous possède la propriété suivante : deuxpoints d"une même partie sont au plus éloignés de⎷

5km. Or il n"y a que cinq parties,

d"où l"impossibilité de placer six ruches.

3 Abeille (3)

En pensant aux abeilles et à leur ruche, Mathias a tracé 48 petits triangles et a formé la figure ci-dessous. Il veut compter les hexagones réguliers, c"est-à-dire ceuxdont les côtés ont même longueur. Combien y a-t-il d"hexagones réguliers de toute grandeur dans cette figure?

Énigme

" Ruche de Mathias »,http://recreomath.qc.ca/ On compte 16 hexagones ayant un segment par côté et 4 hexagones ayant deux segments par côté. Au total, il y a 20 hexagones réguliers de toute grandeur.4 Abeille (4) Chaque lettre vaut un certain nombre de points et la valeur d"un mot est obtenue en faisant la somme des valeurs des lettres qui leforment.

Le mot BALLE vaut 22 points.

Le mot BILLE vaut 25 points.

Le mot BILE vaut 22 points.

Le mot ABEILLE vaut 34 points.

Sauras-tu trouver la valeur du mot AILEE?

Énigme

" Les mots cryptés », Défi déposé sur le site de Jean-Louis Sigrist en 2006

Entre les mots BALLE et BILLE, une seule lettre diffère.On déduit que la valeur de la lettre I vaut 3 points de plus que la lettre A.

La comparaison des mots BILLE et BILE permet de dire que la lettre

L vaut 3 points.

ABEILLE est un mot composé des lettres du mot BILLE et des lettres

A et E.

Donc la somme des valeurs des lettres A et E vaut34-25soit 9 points. ABEILLE est un mot composé des lettres du mot BALLE et des lettres

E et I.

Donc la somme des valeurs des lettres E et I vaut34-22soit 12 points. La valeur du mot AILEE est la somme des valeurs des lettres A, I, L, E et E, soit encore la somme des valeurs des lettres A et E, celledes lettres

E et I et celle de la lettre L.

Cette valeur est égale à9 + 12 + 3 = 24points.5 Abeille (5) L"abeille Maya, représentée ci-dessous, et ses cinq soeurs, qui ont une forme identique, peuvent recouvrir entièrement la forme ci-contre, sans chevauchement.

Dessinez le contour des six abeilles.

Énigme

" Maya et ses sœurs », 9èmeChampionnat International des Jeux Mathéma- tiques et Logiques, 1/4 de finale individuels, Catégorie CM

6 Abeille (6)

Sébastien est un apiculteur qui possède sur l"ensemble de ses terres quatre ruchers. À l"heure de la retraite, il veut offrir à ses quatre petits-enfants une parcelle de sa propriété. Mais il souhaite que les quatre parcelles aient la même formeet la même aire, et aient toutes les quatre un rucher, pour que les quatre petits-enfants puissent continuer l"apiculture.

Aide-le à faire son partage.

Énigme

" Abeille »,Énigmes de Âne à Zèbre, A. Gazagnes, IREM de Lyon, 2017

7 Abeille (7)

Dans une ruche, six abeilles (notées A, B, C, D, E, F) sont placées côte à côte, chacune dans son alvéole (schéma 1). Elles déménagent dans les alvéoles du schéma 2. Chaque abeille n"aura que des nouvelles voisines (deux abeilles sont voisines si leurs alvéoles ont un côté en commun). Placer les lettres A à F dans le schéma 2 pour qu"il en soit ainsi.

Énigme

A B C D E F

Schéma 1

Schéma 2

" Déménagement chez les abeilles », Rallye mathématique de l"académie de

Lyon, 2015

Deux solutions :

E A DC F B

B F CD A E

8 Abeille (8)

Les six éléments ci-dessous sont strictement identiques. Comment les assembler de manière à reconstituer sept cellules hexa- gonales d"un rayon de ruche?

Énigme

" La ruche »,Jeux & stratégie, no18, Décembre 1982 - Janvier 1983

9 Abeille (9)

Le cinquième d"un essaim d"abeilles se dirige vers un massifde rose, un tiers vers les lilas et un nombre égal à trois fois la différence de ces deux nombres s"envole vers un charmille. Une abeille se détache du groupe, attirée par les lys et les rhododen- drons.

Quel était le nombre total d"abeilles?

Énigme

On désigne parale nombre d"abeilles.

L"énoncé se traduit par l"équation

1

5a+13a+ 3?13a-15a?

+ 1 =a. Cela équivaut (en multipliant les deux membres par PPCM(3, 5) = 15)

3a+ 5a+ 3 (5a-3a) + 15 = 15a

Cela équivaut à14a+ 15 = 15a

Cela équivaut àa= 15.

Le nombre d"abeilles est donc égal à 15.10 Abeille (10) D"un essaim d"abeilles la racine carrée de la moitié s"est envolé dans un buisson de jasmin. Sont restés en arrière les huit-neuvièmes de l"essaim, Et, une abeille femelle vole autour d"un mâle qui bourdonne dans une fleur de lotus. Durant la nuit, attiré par la douce odeur de la fleur, il s"est introduit en elle.

Et maintenant il est piégé.

Dis-moi, ravissante dame, quel est le nombre d"abeilles.

Énigme

Bhaskaracharya (ou Bhaskara II), est un mathématicien indien du douzième siècle. Il écrivait ses problèmes mathématiques en vers. Ledéfi proposé provient du chapitre arithmétique appeléLilivati(en référence au nom de sa fille) de son ouvrageSiddhanta Siromanécrit en 1150. Désignons parale nombre d"abeilles dans l"essaim (a >0etaentier).

L"énoncé se traduit par

1

2a+89a+ 2 =a.

Cela équivaut à

1

2a=x-89a-2.

Cela équivaut à

1

2a=19a-2.

On élève au carré, pour éliminer le radical.

L"équation équivaut à

1

2a=?19a-2?

2

Cela équivaut à

1

2a=181a2-49a-12a+ 4 = 0.

Cela équivaut à

1

81a2-1718a+ 4 = 0.

Cela équivaut (en multipliant les deux membres par 162) à

2a2-153a+ 648 = 0.

Le déterminant de cette équation du second degré est

Δ = (-153)2-4×2×648 = 18225.

L"équation admet deux racines,

a

1=-(-153)-⎷

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