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Calcul mathématique avec Sage

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82 exercices de mathématiques pour 2nde

4 oct. 2015 Disponible sur http: // www. mathweb. fr. A. Exercices d'application du cours. R. Exercices de réflexion. 4 octobre 2015. ? Exercice 1.



Séries Chronologiques

Exercice Démontrer la propiété précédente. Imaginons que nous étudions la série des températures moyennes relevées chaque mois en un même site depuis janvier 



LATEX pour le prof de maths !

11 janv. 2021 cabalistiques inattendus sur le pdf (ce qui est gênant ... Pour écrire correctement une adresse web(46) il faut utiliser l'extension url.



Télécharger en PDF puissances : cours de maths en quatrième

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DÉRIVATION

Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr Propriété : Une équation de la tangente à la courbe E en A est :.



Documentation pas-math

18 août 2018 texlive/texmf-local/tex/latex/pas-math/doc/pas-math.pdf ... E(X). Cette commande admet un argument optionnel : esp[ ext{E}]{X}. E(X).



MATHÉMATIQUES DISCRÈTES

Supposons que l'ensemble de tous les ensembles existe et notons-le E. On Soient A = {a



FORMULAIRE SUR LES FONCTIONS HYPERBOLIQUES

http ://math.univ-lyon1.fr/?frabetti/TMB/. FORMULAIRE SUR LES FONCTIONS HYPERBOLIQUES. 1. Définitions : chx = ex + e?x. 2. . D = R



801 énigmes. . . de Âne à Zèbre

La valeur du mot AILEE est la somme des valeurs des lettres A I

1

DÉRIVATION

Tout le cours en vidéo : https://youtu.be/XAgdHblbajE

Partie 1 : Rappels sur la dérivation

Playlist https://www.youtube.com/playlist?list=PLVUDmbpupCaoY7qihLa2dHc9-rBgVrgWJ

Formules de dérivation :

Fonction Dérivée

0

2

≥1 entier 1 ≥1 entier +1

Propriété : Une équation de la tangente à la courbe de la fonction au point d'abscisse

est : =′ Théorème : Soit une fonction définie et dérivable sur un intervalle . - Si ′()≥0, alors est croissante sur . Méthode : Étudier les variations d'une fonction

Vidéo https://youtu.be/23_Ba3N0fu4

Soit la fonction définie sur ℝ par 9 2 -12+5. a) Calculer la fonction dérivée ' de . b) Déterminer le signe de ' en fonction de . c) Dresser le tableau de variations de .

Correction

a) =3 9 2

×2-12=3

+9-12.

Fonction Dérivée

1 2 b) On commence par résoudre l'équation ()=0 :

Le discriminant du trinôme 3

+9-12 est égal à D=9 -4×3×(-12)=225

L'équation possède deux solutions :

= -4 et = 1 Comme =3>0, les branches de la parabole représentant la fonction dérivée sont tournées vers le haut (position " »). La dérivée est donc d'abord positive, puis négative, puis positive. c) On dresse le tableau de variations : -4 =(-4) 9 2 (-4) -12× -4 +5=61 1 =1 9 2 ×1 -12×1+5=- 3 2 Partie 2 : Dérivée d'une fonction composée

1) Définition d'une fonction composée

Méthode : Identifier la composée de deux fonctions

Vidéo https://youtu.be/08HgDgD6XL8

On considère la fonction définie par -3. Identifier la composée de deux fonctions dans la fonction .

Correction

On peut décomposer la fonction en deux fonctions et telles que : -3 Les fonctions et sont définies par : =-3 et On dit que la fonction est la composée de par et on note : =F G= -3

-∞ -4 1 +∞

61
3

Définition :

On appelle fonction composée des fonctions par la fonction notée ∘ définie par :

=F G.

Méthode : Composer deux fonctions

Vidéo https://youtu.be/sZ2zqEz4hug

a) On considère les fonctions et définies par : et Exprimer les fonctions ∘ et ∘ en fonction de . b) Même question avec + et

Correction

a) On a : et =F G= J 1 =F G= b) On a : + et =F G= ++1 =F G= K +1 L +1

2) Dérivation d'une fonction composée

Méthode : Déterminer la dérivée d'une fonction composée (cas général)

Vidéo https://youtu.be/lwcFgnbs0Ew

Déterminer la dérivée de la fonction définie sur ℝ par

Correction

On considère les fonctions et définies par : +1 et

Alors :

=F G

On a : ′

=2 et ′

Fonction Dérivée

ou F G ou ′F

G×′

4

Donc : ′

F

G×′

×2

=2

3) Cas particuliers de fonctions composées

Fonction Dérivée

2

Démonstrations :

N ()=∘() avec

Donc F

N ()G =′F

G×′()=

0(") ×′(), car ′()=

Soit F

N ()G 2 =∘() avec Donc =′F

G×′()=F

G ×′(), car ′()= Soit =′()F G - Démonstration analogue pour " Méthode : Déterminer la dérivée de fonctions composées (cas particuliers)

Vidéo https://youtu.be/kE32Ek8BXvs

Vidéo https://youtu.be/5G4Aa8gKH_o

Déterminer la dérivée des fonctions définies par : a)

3

+4-1 b)

2

+3-3 c) ℎ =2

Correction

a) On pose : N () avec =3 +4-1 ® ′ =6+4

Donc : ′

0 0(") ".5 .5")! .5")! 5 b) On pose : avec =2 +3-3 ® ′ =4+3

Donc : ′

=4′() =4(4+3)

2

+3-3 c) On pose : ℎ =2 avec

Donc : ℎ′

=2′() =2×Q- 1

R

2

Partie 3 : Étude d'une fonction composée

Méthode : Étudier une fonction composée

Vidéo https://youtu.be/I4HkvkpqjNw

Vidéo https://youtu.be/Vx0H1DV3Yqc

Vidéo https://youtu.be/2RIBQ1LiNYU

Soit la fonction définie sur ℝ par a) Étudier les limites de à l'infini. b) Calculer la dérivée de la fonction . c) Dresser le tableau de variations de la fonction . d) Tracer la courbe représentative de la fonction .

Correction

a) Limite en -∞ : Comme limite d'une fonction composée : lim %→#1 =lim

2→)1

2 En effet, lorsque →-∞, on a : =- 2 Or, lim %→#1 Donc, limite d'un produit : lim %→#1

Limite en +∞ :

On reconnait une forme indéterminée du type " ∞×0 ».

Levons l'indétermination :

=2 6

Par croissance comparée, on a : lim

%→)1 3

En effet, lim

2→)1

3 2 =+∞, en considérant que = 2

Donc, lim

%→)1 3 =0, comme inverse de limite.

Et donc : lim

%→)1 2 3 =0

Soit : lim

%→)1 =0. =1× +×K- 1 2

L

, en effet : K L =K- 1 2

L

2 =K1- 2

L

c) Comme >0, est du signe de 1- 2 est donc positive sur l'intervalle -∞;2 et négative sur l'intervalle

2;+∞

On dresse le tableau de variations :

En effet :

2 =2 =2 2 d) -∞ 2 +∞ + 0 - -∞ 0quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47
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