[PDF] Chapitre 2 Continuité des fonctions réelles

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Chapitre 2Continuit´e des fonctions r´eelles2.1 G´en´eralit´esD´efinition 2.1.1.Une fonction r´eelleest une application d"une partiedeRdansR.

La partieest appel´ee ensemble (ou domaine) de d´efinition de la fonction. Une fonction peut ˆetre d´efinie de plusieurs fa¸cons : - Par une formule explicite :() = 23
cos - Abstraitement :() est le nombre de nombres premiers compris entre 0 et.

2.2 Limite d"une fonction en un point

Soitune partie deR, et soit0R. On dit que0estadh´erent`as"il existe une suite d"´el´ements dequi converge vers0. On note l"ensemble des points adh´erents `a. Tout point deest adh´erent `a, c"est-`a-dire que . En g´en´eral,est plus grand que.

Exemples.a) Si= [01[, alors

= [01]. b) Si=]01[]1+[, alors = [0+]. c) Si=sin()N, alors = [11].

D´efinition 2.2.1.Soit:Rune fonction, et soit0

. On dit queadmet

Rpour limite en0si :

pour tout 0, il existe 0 tel que, pour tout,

0 = ()

ou, avec des quantificateurs,

0 00 = ()

17 Ceci se traduit de la fa¸con suivante : pour tout 0 (arbitrairement petit), il existe

0 tel que, siest `a une distance inf´erieure `ade0, alors() est `a une distance

inf´erieure `ade. Insistons sur le fait qued´epend de! Pour exprimer le fait queadmetpour limite en0, nous noterons lim

0() =ou()0

On peut aussi dire que() tend versquandtend vers0. Pour que ceci ait un sens, il faut montrer l"unicit´e de la limite - quand elle existe. Proposition 2.2.2.Si une fonction admetetpour limites en un mˆeme point0, alors=. D´emonstration.Mˆeme principe que pour l"unicit´e de la limite d"une suite.

Nous avons clairement les ´equivalences :

lim

0() =lim0(()) = 0lim0()= 0

Proposition 2.2.3.Soit:Rune fonction, et soit0. Siadmet une limite en0, alors celle-ci est forc´ement ´egale `a(0). D´emonstration.Soitla limite deen0. Soit 0, alors

00 = ()

En particulier, en prenant=0, la condition0 est satisfaite, donc (0) Ainsi(0)est un r´eel positif inf´erieur `a toute quantit´e strictementpositive, donc est nul, c"est-`a-dire que=(0). D´efinition 2.2.4.Soit:Rune fonction, et soit0. On dit queest continue en0siadmet une limite en0, c"est-`a-dire (d"apr`es la proposition) si lim

0() =(0)

D´efinition 2.2.5.Soit:Rune fonction, et soit0

. On dit queest prolongeable par continuit´e en0s"il existe une fonction: 0 Rcontinue en

0telle que=.

Proposition 2.2.6.Soit:Rune fonction, et soit0

. Alorsest prolongeable par continuit´e en0si et seulement siadmet une limite (finie) en0. 18

2.2.1 Limites `a droite et `a gaucheD´efinition 2.2.7.Soit:Rune fonction, et soit0

(1) On dit queadmetpour limite `a droite en0si la restriction de`a]0+[ admetpour limite en0. On note lim

00() =ou lim

+0() = (2) On dit queadmetpour limite `a gauche en0si la restriction de`a]0[ admetpour limite en0. On note lim

00() =ou lim

0() = Pour que la limite `a droite existe, il faut que0soit un point adh´erent `a]0+[. Notons ´egalement que, mˆeme dans le cas o`uest d´efinie en0, la valeur(0) n"intervient plus dans le calcul de la limite `a droite, puisqu"on a enlev´e0de l"ensemble de d´efinition. On peut faire la mˆeme remarque pour la limite `a gauche.

Remarque.Soit:Rune fonction, et soit0.

a) La fonctionadmet une limite en0(c"est-`a-dire,est continue en0) si et seulement si elle admet(0) comme limite `a droite et `a gauche en0. b) Siadmet des limites distinctes `a droite et `a gauche en0, alorsn"admet pas de limite en0. c) Soit:RRla fonction ´egale `a 1 surR, et nulle en 0. Alors lim

00() = 1 = lim00()

et pourtantn"admet pas de limite en 0 (elle est discontinue en 0).

2.2.2 Caract´erisation s´equentielle de la limite

L"id´ee est tr`es simple : pour faire tendrevers0, on peut prendre une suite qui converge vers0.

Proposition 2.2.8.Soit:Rune fonction, et soit0

. Alorsadmetpour limite en0si et seulement si, pour toute suite()d"´el´ements dequi converge vers

0, la suite()converge vers.

19 D´emonstration.. Supposons que lim0() =, et soit () une suite qui converge vers0. Soit 0. Alors il existe 0 tel que

0 = ()

D"autre part, on sait que

N0 on en d´eduit que . Nous allons montrer la contrapos´ee, `a savoir : si lim0()=, alors il existe une suite () d"´el´ements dequi converge vers0, telle que() ne converge pas vers. Supposons quen"admette paspour limite en0. Alors :

0 00 et()

En particulier, en prenant=1

pourN, on obtient : 0N0 1 et() Mais alors, la suite () converge vers0et la suite() ne converge pas vers. Ce qu"on voulait.

2.2.3 Op´erations sur les limites

Th´eor`eme 2.2.9.Soient:Ret:Rdeux fonctions, et soit0 . On suppose que lim0() =etlim0() = Alors (1)La fonction+admet+pour limite en0. (2)La fonctionadmetpour limite en0. (3)Supposons= 0. Alors la fonction1 est bien d´efinie dans un voisinage de0, et admet 1 pour limite en0. On appellevoisinagede0un intervalle ouvert de la forme ]00+[ avec 0.

D´emonstration.Grˆace `a la caract´erisation s´equentielle de la limite, onse ram`ene `a la

proposition analogue pour les limites de suites. Le seul point `amontrer est que, si= 0, alors la fonction 1 est bien d´efinie dans un voisinage de0. Supposons 0, alors nous avons :

0]00+[()

2 20

En effet, la n´egation s"´ecrit

0]00+[()

2 ce qui contredit le fait queadmettepour limite en0.

On peut r´ecup´erer les th´eor`emes sur les limites de suites (par exemple, le th´eor`eme

des gendarmes) et les adapter pour les limites de fonctions.

On peut aussi composer les limites de fonctions.

Th´eor`eme 2.2.10.Soient:1Ret:2Rdeux fonctions, telles que(1)

2, et soit0

1. On suppose queadmetpour limite en0. Alorsappartient `a

2. De plus, siadmet une limite en, alorsadmet la mˆeme limite en0.

En d"autres termes, si lim

() existe, alors : lim

0()() = lim()

La r´eciproque est fausse : il se peut que le membre de gauche existe, mais pas celui de droite. Par exemple, siest la fonction nulle, alorsest la fonction constante ´egale `a(0), donc admet une limite en tout point, alors que la limite deen 0 peut tr`es bien ne pas exister. D´emonstration.Comme0est adh´erent `a1, il existe une suite () d"´el´ements de1 qui converge vers0. Commeadmetpour limite en0, on en d´eduit que la suite (()) (`a valeurs dans2) converge vers, d"o`u 2.

Supposons `a pr´esent que lim

() existe, notons-la. Soit 0, alors il existe

0 tel que

2 = ()

d"autre part, commeadmetpour limite en0, il existe 0 tel que

10 = ()

En regroupant le tout, on trouve :

10 = (())

ce qu"on voulait.

2.2.4 Limites infinies

On peut r´ecup´erer ce qui a ´et´e fait pour les suites : les op´erations alg´ebriques sur les

limites infinies sont les mˆemes. On peut aussi composer les limitesinfinies. 21

2.3 Propri´et´es des fonctions continuesD´efinition 2.3.1.Soit:Rune fonction. On dit queest continue si elle est

continue en tout point de. Sietsont continues sur, alors+etsont continues sur, et1 est continue partout o`u elle est d´efinie. La fonctionest ´egalement continue sur.

2.3.1 Th´eor`eme des valeurs interm´ediaires

On l"appelle plus famili`erement le TVI. Il est d´emontr´e parCauchy dans son cours de 1821.
Th´eor`eme 2.3.2(Valeurs interm´ediaires).Soientetdeux r´eels avec , et soit : []Rune fonction continue. Alors, pour tout r´eelcompris entre()et(), il existe[]tel que() =. D´emonstration.Sans perte de g´en´eralit´e, on peut supposer que() (). Nous construisons par r´ecurrence une suite d"intervalles [], de la fa¸con suivante. - [00] = [] - Supposons [] construit. Soit=k+k

2le milieu de cet intervalle. Si() =,

on s"arrˆete. Sinon, on pose [+1+1] =? [] si() [] si() Si la suite d"intervalles ainsi construite est finie, alors on a trouv´e untel que() =. Sinon, nous avons, par contruction, les propri´et´es suivantes pour tout:

1)() ()

2) [+1+1][]

3)=00 2 En particulier les suites () et () sont adjacentes, donc convergent vers une limite commune. Donc() et() convergent vers(). Ainsi, par passage `a la limite dans l"in´egalit´e 1), on trouve que() =, ce qu"on voulait. Corollaire 2.3.3.L"image d"un intervalle par une fonction continue est un intervalle. Cela d´ecoule du fait suivant : une partiedeRest un intervalle si et seulement si, pour tousavec , l"intervalle [] est inclus dans. Si: []Rest une fonction continue, alors([]) est un intervalle, et 22
mais en g´en´eral l"ensemble de gauche est beaucoup plus petitque celui de droite. Penser `a une fonction telle que() =(). L"´egalit´e est cependant vraie siest une fonction strictement monotone (c"est le th´eor`eme de la bijection, que l"on verra plus loin). Voici un cas particulier du TVI, d´emontr´e en 1817 par Bolzano. Corollaire 2.3.4(Th´eor`eme de Bolzano).Soit: []Rune fonction continue. Si ()()0, alors il existe][tel que() = 0. D´emonstration.En effet,()()0 signifie que() et() sont de signes contraires, donc que 0 est compris entre les deux. Exemple.Tout polynˆome `a coefficients r´eels de degr´e impair admet aumoins une racine r´eelle. La propri´et´e des valeurs interm´ediaires correspond `a une notion intuitive : il est pos- sible de dessiner le graphe de la fonction"d"un seul trait»(c"est-`a-dire sans soulever le crayon). Cette remarque am`ene `a se poser la question : n"y a-t-il pas ´equivalence entre la

propri´et´e des valeurs interm´ediaires et la continuit´e? La r´eponse est malheureusement

n´egative. Un contre-exemple nous est donn´e par la fonction:RRd´efinie par () = sin?1 si= 0, et(0) = 0 Cette fonction n"est pas continue en 0 mais elle satisfait bien la propri´et´e des valeurs interm´ediaires pour chaque couple de points dansR. Plus g´en´eralement, le th´eor`eme de Darboux affirme que toute fonction []Rqui admet une primitive satisfait la propri´et´e des valeurs interm´ediaires.

2.3.2 Th´eor`eme des bornes

Th´eor`eme 2.3.5(Th´eor`eme des bornes).Soientetdeux r´eels avec , et soit : []Rune fonction continue. Alorsest born´ee sur[], et atteint ses bornes. D´emonstration.Commen¸cons par montrer queest major´ee. Raisonnons par l"absurde : sin"est pas major´ee, alors pour tout entierNon peut trouver un r´eel[] tel que() . Comme [] est born´e, d"apr`es Bolzano-Weierstrass, il existe une suite extraite (k) de () qui converge vers un certain. Comme [] est ferm´e,appartient `a []. Par continuit´e de, la suite(k) converge vers(). Mais ceci est impossible puisque(k) n"est pas born´ee. Doncest major´ee. Soitla borne sup´erieure de l"ensemble([]), nous allons montrer queest atteint par la fonction. SoitN, alors1 n"est pas un majorant de([]), donc il existe[] tel que() 1 . Comme()pour tout, on en d´eduit (par le th. des gendarmes) que la suite() converge vers. D"apr`es le th´eor`eme 23
de Bolzano-Weierstrass, il existe une suite extraite (k) de () qui converge vers un certain[]. Mais alors,() est ´egal `a la limite de la suite(k), donc() =, ce qu"on voulait. On montre par la mˆeme m´ethode queest minor´ee, et que la borne inf´erieure est atteinte. D"apr`es le th´eor`eme des valeurs interm´ediaires, on sait que([]) est un intervalle. D"apr`es le th´eor`eme des bornes, il existe des r´eelsettels que Le fait que [] soit un intervalleferm´e born´eest tr`es important. Voici quelques exemples : a)() =d´efinie sur [0+[ n"est pas major´ee. b)() = (1+)d´efinie sur [0+[ est major´ee mais n"atteint pas sa borne sup´erieure 1. c)() =1 d´efinie sur ]01] n"est pas major´ee. d)() = 1d´efinie sur ]01] est major´ee mais n"atteint pas sa borne sup´erieure 1.

2.3.3 Th´eor`eme de la bijection

Th´eor`eme 2.3.6(De la bijection).Soitun intervalle deR, et soit:Rune fonction continue strictement monotone. Alors : (1)L"ensemble:=()est un intervalle, dont les bornes sont les limites deaux bornes de. La fonctionr´ealise une bijection entreet. (2)La bijection r´eciproque1:est continue strictement monotone, de mˆeme sens de variations que. D´emonstration.(1). D"apr`es le th´eor`eme des valeurs interm´ediaires,´etant continue, l"image deparest un intervalle. Commeest strictement monotone, elle est injective, donc r´ealise une bijection avec son image. Sachant cela, il estfacile de v´erifier que les bornes desont les limites deaux bornes de. (2). On peut supposer queest strictement croissante. Montrons d"abord que1est strictement croissante sur. Soient etdanstels que , et soient=1() et=1(). Alors l"in´egalit´eest impossible car elle impliquerait()(), c"est-`a-dire. Nous avons donc , ce qui prouve que1est strictement croissante. Reste `a voir que1est continue. Soit

0, et soit 0. Supposons que0soit int´erieur `a, alors1(0) est int´erieur `a.

Il existe doncetdanstels que l"on ait

0 1(0) 0+

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Commeest strictement croissante, il vient :

() 0 () Posons= min(0()()0), c"est un r´eel strictement positif qui satisfait par construction :

0 =()()

D"autre part :

()() =1()par croissance de1 = 1()1(0) par construction deet Ceci montre que1est continue en0. Si0est une extr´emit´e de, on proc`ede de fa¸con analogue. Notons que la d´emonstration de la continuit´e de1n"utilise pas la continuit´e de. En fait, on peut montrer le r´esultat suivant : une bijection monotone entre deux intervalles est toujours continue. Par contre, le fait qu"une bijection continue ait une r´eciproque continue n"est pas toujours vrai. L"hypoth`ese de monotonie est tr`es importante ici. Cette propri´et´e est une propri´et´e globale : une bijection deRdansR, continue en0, peut avoir une r´eciproque non continue en(0).

2.4 Continuit´e uniforme

D´efinition 2.4.1.Soit:Rune fonction. On dit queest uniform´ement continue sursi : pour tout 0, il existe 0 tel que, pour tout ()2, ou, avec des quantificateurs,

0 0()2 = ()()

Cette nouvelle notion n"est pas une notion locale, contrairement `a la notion de conti- nuit´e. Elle d´epend du choix de l"ensemble. L"adjectif uniforme signifie que le choix duest ind´ependant du choix deet de. Par comparaison, la continuit´e desurs"´ecrit

0 0 = ()()

Il est clair que :

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est uniform´ement continue sur =est continue en tout point de mais la r´eciproque est fausse. Exemple.La fonction() =2d´efinie sur [0+[ n"est pas uniform´ement continue.

En effet, soientetdans [0+[, alors nous avons

()()=22= (+) Ainsi, mˆeme siest tr`es petit, il suffira de choisiretsuffisamment grands pour que()()soit plus grand que 1. Par contre, la mˆeme fonction2est uniform´ement continue sur l"intervalle [01].

En effet, pouretdans [01], nous avons+2 d"o`u

()()= (+) 2 Ainsi, ´etant donn´e 0, on peut prendre=2 qui satisfait la propri´et´e voulue. Th´eor`eme 2.4.2(Th´eor`eme de Heine).Soientetdeux r´eels avec , et soit : []Rune fonction continue. Alorsest uniform´ement continue sur[]. D´emonstration.Par l"absurde. Supposons quene soit pas uniform´ement continue sur []. Alors

00 0()[]2 et()() 0

Prenons=1

avecN. On obtient ainsi deux suites () et () dans [] telles que 1 et()() 0 D"apr`es Bolzano-Weierstrass, on peut extraire de () une sous-suite convergente, not´ee (k)N. Comme [] est ferm´e, la limitede (k) appartient `a []. De plus, comme kk 1 on en d´eduit que (k) converge ´egalement vers. Mais alors, les suites(k) et(k) convergent vers(), ce qui contredit le fait que (k)(k) 0

Le r´esultat en d´ecoule.

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