Seconde Cours ensembles et intervalles
On peut donner un nom à un ensemble et on peut parfois écrire tous ses éléments entre accolades. Exemples : 1. Si E est l'ensemble des lettres du mot maths. E =
ENSEMBLES DE NOMBRES
- L'intervalle ]6;+?[ est également un intervalle ouvert. 3. Intersections et unions d'intervalles : Définitions : -. L'intersection de deux ensembles A et
Enseignement scientifique
Intervalle musical octave
Partie 1 : Intervalles de ?
I ? J. 0 1. Page 5. 5 sur 6. Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. - Les nombres de la réunion des deux ensembles sont les nombres qui
Intervalles de confiance
Voici `a présent la définition mathématique d'un intervalle de confiance telle qu'on peut la trouver dans [Tas85] par exemple. Définition 2. Soit ? ?]01[
VARIATIONS DUNE FONCTION
On considère la représentation graphique la fonction : Page 4. 4 sur 11. Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr a) Sur quel intervalle
Les intervalles de IR cas de 3ème humanités secondaire
5 janv. 2021 Les intervalles de IR sont de notions très importantes dans la formation d'un apprenant ou un aspirant scientifique en mathématique.
Les intervalles extrêmes entre les émissions radio actives I
L'espérance mathématique x des distances est. L'écart type ? de la distribution des intervalles est donc égal à l'espérance mathématique. Soit 'it le nombre.
Image des intervalles
Autrement dit l'image d'un intervalle par une fonction continue Les mathématiciens aiment bien ce genre de ”factorisation”. Définition.
Estimations et intervalles de confiance
l'espérance mathématique µ ;. – la proportion p ;. – la variance ?2. Ces paramètres sont a priori inconnus car la taille réelle de la population étant.
Image des intervalles
DedouMars 2012
Exemples d'images
L'image de [2;3] par la fonction carre est [4;9]L'image de ]2;3[ par la fonction carre est [0;9[.Exo 1
Quelle est l'image de [2;1[ par la fonctionx7!1 +x4?Denition de l'image
Denition
Soitfune fonction etIune partie deDDf.
L'image deIparf, noteef(I) est l'ensemble des nombres de la formef(x) avecx2I: f(I) :=ff(x)jx2Ig:Valeurs intermediaires
Theoreme
Soitfune fonction continue etIun intervalle contenu dansDDf. Alorsf(I) est un intervalle.Autrement dit, l'image d'un intervalle par une fonction continue est un intervalle.Intervalles
Il y a environ sept sortes d'intervalles. Mais on peut donner une denition uniforme. Les mathematiciens aiment bien ce genre de "factorisation".Denition Une partieIdeRest un intervalle ssi chaque fois qu'elle contient deux nombres, elle contient aussi tout l'intervalle entre ces deux nombres :8x;y;z2R;x2Ietz2Ietx Cas des fonctions croissantes
Proposition
Sifest continue croissante sur l'intervalle [a;b] alors on a f([a;b]) = [f(a);f(b)] Si de plusfest strictement croissante, on a aussi
f(]a;b[) =]f(a);f(b)[:Contre exemple L'image par la fonction partie entiereEde l'intervalle [0;1] n'est pas l'intervalle [0;1]. Cas des fonctions quelconques
Pour calculer l'image par des fonctions non monotones, on utilise la formule suivante pour l'image d'une reunion :Proposition L'image par une fonction quelconquefde la reunionI[Jde deux intervalles est la reunionf(I)[f(J) des images des deux intervalles.Exemple Soitfla fonction carre. On a
f([2;3]) =f([2;0][[0;3]) =f([2;0])[f([0;3]) = [0;4][[0;9]. Et doncf([2;3]) = [0;9]:Exo 2
Expliquez le calcul def(]4;1]).
Warning
Attention
L'image d'une intersection n'est en general pas l'intersection des images.Exo 3 Calculez sin([0;2]\[;3]) et sin([0;2])\sin([;3]) . Les bornes des fonctions continues
Theoreme
L'image par une fonction continue d'un intervalle ferme borne est aussi un intervalle ferme borne.Autrement dit, sur un intervalle [a;b] de son domaine de denition, une fonction continue est bornee et atteint ses bornes.Encore autrement dit L'image d'un intervalle [a;b] par une fonction continue est un intervalle ferme borne [m;M].Cet enonce ne nous etonne pas du tout, avec nos potes, vu que pour les fonctions qu'on conna^t, ca se voit gros comme une maison sur le tableau de variations. Pourtant ce theoreme n'est pas facile a prouver. Ceux que ca interesse sont bienvenus a essayer de comprendre la preuve. Exemple
Exo corrige
On posef:=x7!x36x+ 1. Calculerf([2;4]).
Exo Exo 4 On posef:=x7!x315x+ 2. Calculerf([3;5]).
quotesdbs_dbs13.pdfusesText_19
Cas des fonctions croissantes
Proposition
Sifest continue croissante sur l'intervalle [a;b] alors on a f([a;b]) = [f(a);f(b)]Si de plusfest strictement croissante, on a aussi
f(]a;b[) =]f(a);f(b)[:Contre exemple L'image par la fonction partie entiereEde l'intervalle [0;1] n'est pas l'intervalle [0;1].Cas des fonctions quelconques
Pour calculer l'image par des fonctions non monotones, on utilise la formule suivante pour l'image d'une reunion :Proposition L'image par une fonction quelconquefde la reunionI[Jde deux intervalles est la reunionf(I)[f(J) des images des deux intervalles.ExempleSoitfla fonction carre. On a
f([2;3]) =f([2;0][[0;3]) =f([2;0])[f([0;3]) = [0;4][[0;9].Et doncf([2;3]) = [0;9]:Exo 2
Expliquez le calcul def(]4;1]).
Warning
Attention
L'image d'une intersection n'est en general pas l'intersection des images.Exo 3 Calculez sin([0;2]\[;3]) et sin([0;2])\sin([;3]) .Les bornes des fonctions continues
Theoreme
L'image par une fonction continue d'un intervalle ferme borne est aussi un intervalle ferme borne.Autrement dit, sur un intervalle [a;b] de son domaine de denition, une fonction continue est bornee et atteint ses bornes.Encore autrement dit L'image d'un intervalle [a;b] par une fonction continue est un intervalle ferme borne [m;M].Cet enonce ne nous etonne pas du tout, avec nos potes, vu que pour les fonctions qu'on conna^t, ca se voit gros comme une maison sur le tableau de variations. Pourtant ce theoreme n'est pas facile a prouver. Ceux que ca interesse sont bienvenus a essayer de comprendre la preuve.Exemple
Exo corrige
On posef:=x7!x36x+ 1. Calculerf([2;4]).
Exo Exo 4On posef:=x7!x315x+ 2. Calculerf([3;5]).
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