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Exercices de mathématiques - Exo7
259 310.00 Isométrie euclidienne. 1049. 260 311.00 Géométrie différentielle élémentaire de Rn. 1051. 261 312.00 Géométrie et trigonométrie sphérique.
Devoir maison : trigonométrie et nombres
complexes Les exercices peuvent être traités indépendamment les uns des autres. L"exercice 2 p eutêtr evu comme une extension du cours : on utilise les nombres complexes pour trouver/retrouver des formules trigonométriques.L"exercice
4tr aitedes inté gralesde W allis.I lest un p euplus difficile q uele r estedu sujet. Exercice 1.Expliquer si les nombres suivants sont bien définis, et les calculer le cas échéant :
1.sin?arcsin???;
2.arcsin?sin???;
3.tan?arctan?1??;
4.arctan?tan?1??.
Exercice 2.Dans cet exercice, on se propose de retrouver quelques formules de trigonométries grâce aux nombres complexes. On rappelle que si?R, e i?cos?isin: 1. (F ormulede Moivr e)Mon trerque p ourtout n?Zet tout?R, ?cos?isin?n?cos?n? ?isin?n?: 2. (F ormulesd"Euler) Mon trerque p ourtout ?R, e i?e?i2 ?cos;etei?e?i2i?sin: 3. En déduire la formule de linéarisationsuivante : ?cos?3?14 cos?3? ?34 cos: 4. En utilisan tle fait que ei?x?y??eixeiy, démontrer les formules du cours permettant d"ex- primersin?x?y?etcos?x?y?en fonction decosx;sinx;cosy;siny.Exercice 3.
1. Soit zun complexe de module 1. Montrer quez?1?z?R. 2. Récipro quement: p eut-onaffirmer que si z?1?z?R, alorszest de module 1? Le démontrer, ou bien apporter un contre-exemple.1/2Devoir maison Maths Avancées, 2020-2021
Exercice 4.Dans cet exercice, on s"intéresse à l"intégrale de Wallis définie ainsi : sinest un
entier naturel, I n?Z ?2 0 sin2n?x?dx: 1.Calculer I0.
2. Mon trerque I1??4(on pourra par exemple exprimersin2?x?en fonction decos?2x?). 3. Grâce au c hangementde v ariabley??2?x, montrer queIn?R?20cos2n?y?dy:
4. Dans cette question, on v adémon trerla form ulesuiv ante: I n?2n?12n?2n?32n?2???12 ?2 :(1) (a) Grâce à une in tégrationpar partie, mon trerque I n? ?2n?1?Z ?2 0 sin2n?2?x?cos2?x?dx: Indication : utiliser les fonctionsf?sin2n?1etg??sin. (b)En déduire que
I n?2n?12nIn?1: (c) Vérifier que cette relation est cohéren tea vecles v aleursde I0etI1trouvées dans les questions précédentes. (d)Conclure : démon trerla form ule(
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