[PDF] Modélisation Mathématique et Simulation Numérique de Systèmes

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THÈSE

présentée en vue de l"obtention du

Doctorat de l"Université de Toulouse

délivré par l"Université Toulouse III Paul Sabatier Spécialité: Mathématiques AppliquéesSamy GALLEGO

MODÉLISATION MATHÉMATIQUE

ET SIMULATION NUMÉRIQUE

DE SYSTÈMES FLUIDES QUANTIQUES

(MATHEMATICAL MODELING

AND NUMERICAL SIMULATION

OF QUANTUM FLUID SYSTEMS)Soutenue le 12 Décembre 2007, devant le jury composé de:

F. CastellaUniversité de Rennes(Examinateur)

T. ColinUniversité de Bordeaux(Rapporteur)

P. DegondUniversité de Toulouse(Directeur de thèse)

C. GardnerArizona State University(Rapporteur)

G. JamesINSA de Toulouse(Examinateur)

F. MéhatsUniversité de Rennes(Directeur de thèse) P. RaphaëlUniversité de Toulouse(Examinateur) Laboratoire de Mathématiques appliquées à l"Industrie et la Physique

Institut de Mathématiques de Toulouse

Université Paul Sabatier UFR MIG

118 Route de Narbonne 31062 Toulouse cedex 9 France

" Le doute est le sel de l"esprit; sans la pointe du doute, toutes les connaissances sont bientôt pourries. J"entends aussi bien les connaissances les mieux fondées et les plus raisonnables. Douter quand on s"aperçoit qu"on s"est trompé ou que l"on a été trompé, ce n"est pas difficile; je voudrais même dire que cela n"avance guère; ce doute forcé est comme une violence qui nous est faite; aussi c"est un doute triste; c"est un doute de faiblesse; c"est un regret d"avoir cru, et une confiance trompée. Le vrai c"est qu"il ne faut jamais croire, et qu"il faut examiner toujours. L"incrédulité n"a pas encore donné sa mesure. Croire est agréable. C"est une ivresse dont il faut se priver.

Ou alors dites adieu à liberté, à justice, à paix. Il est naturel et délicieux de croire

que la République nous donnera tous ces biens; ou, si la République ne peut, on veut croire que Coopération, Socialisme, Communisme ou quelque autre constitution nous permettra de nous fier au jugement d"autrui, enfin de dormir les yeux ouverts comme font les bêtes. Mais non. La fonction de penser ne se délègue point. Dès que la tête humaine reprend son antique mouvement de haut en bas, pour dire oui, aussitôt les rois reviennent. "

Alain, Propos I (1931)

Remerciements

(Acknowledgements) Chacun sait qu"une thèse, c"est long, et que ce n"est pas l"histoire d"une seule personne. Je tiens donc à remercier ici tous ceux qui ont contribué plus ou moins directement à ce que je parvienne au bout de ce manuscrit. Mes premiers remerciements vont tout naturellement à mes deux directeurs de thèse Pierre Degond et Florian Méhats qui m"ont accordé leur confiance en me pro- posant un sujet original et prometteur. Ils ont été très disponibles tout au long des trois dernières années et malgré leur emploi du temps surchargé, ils ont toujours pris le temps de répondre très clairement à mes questions (même quand elles étaient con- fuses). Leurs qualités scientifiques ne sont plus à démontrer et je peux témoigner comme beaucoup de gens de leurs grandes qualités humaines. Ils ont su me laisser ce qu"il me fallait d"autonomie en me remotivant quand j"en avais besoin. Leur ent- housiasme et leur énergie restera un exemple pour moi. Enfin, j"ai beaucoup apprécié qu"ils m"encouragent à voyager et à participer à des conférences internationales. Je tiens ensuite à exprimer ma gratitude à mes deux rapporteurs Thierry Colin et Carl Gardner qui ont gentiment accepté de se plonger dans mon manuscrit, ainsi que les autres membres de mon jury, François Castella, Guillaume James et Pierre

Raphaël qui ont témoigné de l"intérêt pour mon sujet de thèse en acceptant le rôle

d"examinateur. Je remercie aussi Naoufel Ben Abdallah qui n"a malheureusement pas pu être présent dans mon jury le jour de ma soutenance mais qui m"a accordé du temps quand j"ai eu des questions à lui poser, et qui reste pour moi un excellent exemple à suivre tant dans le domaine de la recherche que de l"enseignement. J"associe à ces remerciements tout les autres chercheurs du laboratoire MIP, mais aussi le personnel non chercheur qui contribue à créer au sein du laboratoire une ambiance propice au travail. Je pense en particulier à Christine Marty qui nous a quitté pour Bordeaux, son efficacité et sa gentillesse en font une personne très rare qui je suis sûr va beaucoup manquer au MIP. Je dis un grand merci à tous les gens du Wolfgang Pauli Institute qui m"ont accueilli pendant deux mois à Vienne, en particulier Norbert Mauser qui s"est particulièrement bien occupé de moi. Ce séjour m"a donné l"occasion de rencontrer et de pouvoir travailler avec Christian Ringhofer qui est en quelque sorte la troisième personne à la base de mon sujet de thèse et qui me fait l"honneur de suivre de près mes travaux. Je suis bien obligé de remercier mes collègues qui sont dans la même galère que moi depuis le DEA, je pense à Marc, Michaël, Raymond, Elie, Davuth et puis mes col- lègues de bureau Jean-Luc et Yogesh. Je pense aussi aux petits nouveaux, Sébastien, Dominique et à tous les anciens, Claudia bien sûr pour sa légendaire bonne humeur et son entrain, Nicolas et Raphaël, Pierre et les autres. Merci à Stéphane et Rémi pour les parties d"échecs et merci aussi à Afeintou pour son sourire et pour m"avoir parlé de son pays le Togo que je vais bientôt visiter. Je remercie aussi tous ceux que j"oublie de citer pour contribuer à ne pas encombrer ma mémoire. Je remercie celles et ceux extérieurs au laboratoire qui m"ont soutenu plus ou moins consciemment pendant la thèse. Diego, Laurent, Patrick et Bourras par exemple, qui font régulièrement semblant de s"intéresser à mes travaux. Mon parapente aussi, qui ne m"a jamais laissé tomber (sauf une fois...) et qui m"a très souvent fait rêver en me permettant de voir quelques jolis coins de notre planète vue d"en haut. Plus sérieusement, je remercie ma famille qui m"a toujours encouragé à continuer les études en me témoignant sa confiance. Merci Maman, Christophe, Caroline et j"ai aussi une pensée émue pour mon père et ma grand-mère qui seraient probablement fiers de moi. Et puis forcément j"ai gardé le meilleur pour la fin, merci pour tout à toi Sandra avec qui je me sens si bien.

Table des matières (Table of

contents)

Table des matières (Table of contents)

7

Liste des figures (List of figures)

11 Introduction générale (version française) 15

1 Motivations

15

2 Dérivation des modèles fluides quantiques

17

2.1 Rappel de la méthode pour le cas classique

17

2.1.1 Des équations de Newton à l"équation de Boltzmann

1 7

2.1.2 Scaling de l"équation de Boltzmann

19

2.1.3 Opérateurs de collision et Maxwelliennes

19

2.1.4 Modèles macroscopiques

22

2.2 Méthode pour le cas quantique

24

2.2.1 Éléments de formalisme quantique

25

2.2.2 Les équations de Wigner et de Wigner-Boltzmann

26

2.2.3 Opérateurs de collision et équilibres locaux quantiques

27

2.2.4 Modèles macroscopiques

29

2.2.5 Limite semi-classique

31

3 Application au transport d"électrons dans les semiconducteurs

32

3.1 Quelques généralités sur les semiconducteurs

33

3.2 Domaine de validité des modèles fluides quantiques

33

3.3 Couplage à l"équation de Poisson

34

3.4 La diode à effet tunnel résonnant

35

4 Présentation des résultats

36

4.1 Chapitre

I : Entropic discretization of the Quantum Drift-Diffusion model 36

4.2 Chapitre

I I : An entropic Quantum Drift-Diffusion model for electron transport in resonant tunneling diodes 37

4.3 Chapitre

I II : Transparent boundary conditions for the Quantum

Drift-Diffusion model

39

4.4 Chapitre

IV : Isothermal Quantum Euler: derivation, asymp- totic analysis and simulation 40

4.5 Chapitre

V : On Quantum Hydrodynamic and Quantum Energy

Transport Models

41

4.6 Chapitre

VI equation in the semiclassical limit. 43

8 TABLE DES MATIÈRES (TABLE OF CONTENTS)

General introduction (english version)

45

1 Motivations

45

2 Derivation of the quantum fluid models

47

2.1 Method in the classical setting

47

2.1.1 From Newton"s equations to Boltzmann equation

47

2.1.2 Scaling of the Boltzmann equation

48

2.1.3 Collision operators and Maxwellians

49

2.1.4 Macroscopic models

51

2.2 Method in the quantum setting

54

2.2.1 Some quantum formalism

5 4

2.2.2 The Wigner equation and the Wigner-Boltzmann equa-

tion 56

2.2.3 Quantum collision operators and quantum local equi-

libria 57

2.2.4 Macroscopic models

59

2.2.5 Semiclassical limit

61

3 Application to electron transport in semiconductors

62

3.1 Some statements on semiconductors

62

3.2 Validity domain for the quantum fluid models

62

3.3 The Poisson equation

63

3.4 The Resonant Tunneling Diode (RTD)

64

References

64
I Entropic discretization of the Quantum Drift-Diffusion model 69

1 Introduction

70

2 The quantum drift-diffusion model

72

2.1 Notations: the QDD model on a bounded domain

72

2.2 Technical lemmas: the relation betweennandA. . . . . . . .74

2.3 Steady states and entropy dissipation

75

3 Semi-discretization in time

77

4 The fully discretized system: construction and analysis

82

4.1 Notations and main results

82

4.2 Proof of well-posedness and entropy dissipation

84

4.3 Initialization of the chemical potential

85

5 Numerical results

86

6 Conclusion

87

References

90
II An entropic Quantum Drift-Diffusion model for electron transport in resonant tunneling diodes 95

1 Introduction

96

2 Presentation of the models

97

2.1 The entropic Quantum Drift-Diffusion model (QDD)

97

2.1.1 Presentation

9 7

2.1.2 Scaling

98

2.1.3 Boundary conditions

99

2.1.4 Properties of the isolated system

100

2.2 Links with other existing models

100

2.2.1 The Classical Drift-Diffusion model (CDD)

100

TABLE DES MATIÈRES (TABLE OF CONTENTS) 9

2.2.2 The Density Gradient model (DG)

101
102

2.2.4 Summary

102

3 Numerical Methods

103

3.1 Numerical scheme for the QDD model

103

3.2 Numerical schemes for the other models

105

4 Numerical results

106

4.1 Insulating boundary conditions

106

4.1.1 The QDD model

106

4.1.2 Comparison between the QDD model and the SPDD

model 107

4.2 Open boundary conditions

110

4.2.1 The QDD model

110

4.2.2 Comparison between the QDD model and the DG model

115

5 Summary and Conclusion

116

A Derivation of the QDD model

119
B The dimensionless models in dimension 1 with variable parameters 123

C ADDENDUM

124

References

128
IIITransparent boundary conditions for the Quantum Drift-Diffusion model 131

1 Introduction

132

2 Derivation of the transparent boundary conditions

133

3 The stationary QDD model with transparent boundary conditions

135

3.1 Numerical method

135

3.1.1 First Approach

135

3.1.2 Second Approach: relaxation algorithm

13 6

3.1.3 Third Approach: the Gummel algorithm

136

3.2 Why is it necessary to include the discrete spectrum in the model?

137

3.2.1 Numerical illustration for the need of both the contin-

uous and the discrete spectrum 137

3.2.2 What is happening inside the Gummel iterations

138

3.3 Numerical results

140

4 The transient QDD model

143

4.1 Derivative of the density with respect to the potential

143

4.1.1 Derivative of the density when the Hamiltonian has a

discrete spectrum only 143

4.1.2 Derivative of the wavefunctions

143

4.1.3 Derivative of the density

145

4.2 Numerical results

145

5 Conclusion and perspectives

146

References

148
IV Isothermal quantum Euler: derivation, asymptotic analysis and sim- ulation 149

1 Introduction

150

2 Derivation of the model and main properties

152

2.1 Notations

152

10 TABLE DES MATIÈRES (TABLE OF CONTENTS)

2.2 Local equilibria via entropy minimization

153

2.3 The quantum Euler system

156

2.4 Special case of irrotational flows

160

3 Formal asymptotics

162

3.1 Semiclassical asymptotics

162

3.2 The zero-temperature limit

163

3.3 System with relaxation, long-time behavior, diffusive limit

165

4 Numerical results

168

5 Conclusion and perspectives

172

A Proof of Lemma

2.7 173

B Proof of Lemma

3.1 174

C Proof of Lemma

3.7 176

References

176
V On Quantum Hydrodynamic and Quantum Energy Transport Mod- els 179

1 Introduction

180

2 Context

182

2.1 Quantum entropy and quantum local equilibrium

182

2.2 The Quantum Hydrodynamic model (QHD)

184

2.3 The Quantum Energy Transport model (QET)

186

3 Preliminary technical lemmas

187

4 Remarkable properties of QHD

189

4.1 Applications of the technical lemmas to QHD

189

4.2 Gauge invariance and irrotational flows

192

4.2.1 Gauge invariance

192

4.2.2 Irrotational flows

19 3

4.2.3 One-dimensional flows

196

4.3 Simplification of fluxes and QHD with slowly varying temperature

197

5 Remarkable properties of QET

197
quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

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