[PDF] Suites et séries de fonctions





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Chapitre 03 : Suites et Séries de fonctions

la suite de fonctions de dans et . Si converge uniformément vers



Chapitre 3 - Séries de Fonctions

Pour traiter la seconde on a besoin d'une notion supplémentaire. 4.2.1 Convergence uniforme. Définition 4.2.1 Soit I ⇢ R un intervalle ouvert. Soit aussi f 



1 Convergence simple et convergence uniforme 2 Crit`eres de

Théor`eme 3.2 Si (fn)n∈N est une suite de fonctions uniformément continues qui converge uniformément vers une fonction f sur l'intervalle I alors la limite f 



Séries de fonctions

convergence uniforme de la série de fonction de terme général . Allez à : Exercice 1. Correction exercice 2. 1. On va appliquer les règles de Riemann avec.



Suites et séries de fonctions

13 déc. 2015 La suite (supx∈[01]



Suites et séries de fonctions

de ℝ converge également uniformément sur cette partie. Proposition 1.1 La convergence uniforme implique la convergence simple. Si une suite de fonctions ( ) ...



Pascal Lainé Intégrales généralisées. Suites et séries numériques

convergence uniforme de la série de fonction de terme général . Allez à : Exercice 1. Correction exercice 2. 1. On va appliquer les règles de Riemann avec.



Cours dAnalyse IV Suites et Séries de fonctions

On étudie maintenant une autre notion de convergence plus forte que la convergence uniforme : Soit ∑fn fn : D ⊂ C → C



Suites de fonctions

Y a-t-il convergence uniforme de la suite de fonction ( ) ∈ℕ ? 3. Etudier la convergence uniforme sur [ 1] avec > 0. Allez à : Correction exercice 7.



Chapitre 03 : Suites et Séries de fonctions

Convergence uniforme d'une suite de fonctions : Définition : soit la suite de fonctions de dans et sa limite simple. On dit que converge uniformément vers 



Séries de fonctions

Etudier la convergence uniforme de cette série sur [. [ où . Allez à : Correction exercice 2. Exercice 3. Etudier la convergence simple et la convergence 



Cours dAnalyse IV Suites et Séries de fonctions

dans leur généralité puis les suites et séries de fonction



Suites et séries de fonctions

13 déc. 2015 La suite de fonctions fn converge-t-elle uniformément vers f sur E? Exercice 2.6.12 (Convergence simple et convergence uniforme) Pour tout n ? ...



M41 Suites et séries de fonctions

?? f pour exprimer que (fn)n?N converge uniformément vers f (sur D). Exercice de cours 2. 1. Représenter graphiquement la notion de convergence uniforme à l' 



Pascal Lainé Intégrales généralisées. Suites et séries numériques

Séries de fonctions (corrections) p. 59. • Séries entières (énoncés) Etudier la convergence uniforme de la suite de fonctions définies sur par :.



Chapitre 3 - Suites et séries de fonctions

convergente ainsi qu'un crit`ere plus contraignant de convergence la convergence uniforme. Définition 3.1.1. (convergence simple d'une suite de fonctions).



Suites et séries de fonctions

et de nouveau limn?+? fn(x) = 0. La suite de fonctions (fn)n?N converge simplement sur R vers la fonction nulle. Convergence uniforme sur R.



Suites de fonctions

Y a-t-il convergence uniforme de la suite de fonction ( ) ?? ? 3. Etudier la convergence uniforme sur [ 1] avec > 0. Allez à : Correction exercice 7.



Notes du Cours Analyse et Convergence II Math203

1.3.2 Définition de la convergence uniforme . 3.2 Notion de série de fonction . ... 5.4 Séries de Fourier : Cas des fonctions ”tr`es” réguli`eres .



[PDF] Convergence uniforme

6 jan 2012 · Avant d'étudier les conséquences de la convergence uniforme insistons à nouveau sur le fait que la limite simple d'une suite de fonctions 



[PDF] Séries de Fonctions

Comme pour les séries de fonctions on va introduire une notion de convergence plus facile `a vérifier et qui entraine la convergence uniforme Définition 4 2



[PDF] Chapitre 03 : Suites et Séries de fonctions

1 Convergence simple d'une suite de fonctions : Définition : Une suite de fonctions de dans K converge simplement vers la fonction si pour tout



[PDF] Suites et séries de fonctions

7 oct 2019 · On considère sur [0 1] la série de fonctions ? n?N (?1)nxn n? Par le critère des séries alternées la série converge pour tout x ? [0 



[PDF] Suites et séries de fonctions

13 déc 2015 · 2 2 1 Définition de la convergence uniforme d'une suite de fonctions Soit E une partie de K et soit (fn)n?N une suite de fonctions fn : E 



[PDF] SUITES et SERIES DE FONCTIONS

Définition de la convergence uniforme Soit (fn) une suite de fonctions numériques sur E Soit A un sous-ensemble de E On dit que la suite (fn) converge 



[PDF] Chapitre 10 :Suites et séries de fonctions - Melusine

Théorème : (1) Pour les séries de fonction la convergence uniforme entraîne la convergence simple (2) Si le but E est complet pour E la convergence 



[PDF] 1 Convergence simple et convergence uniforme 2 Crit`eres - LMPA

S'il existe un point x0 ? I tel que la suite (fn(x0))n?N soit convergente alors la suite (fn)n?N converge simplement vers une fonction dérivable f telle f = 



[PDF] Suites et séries de fonctions - Xiffr

Étudier la convergence simple uniforme et normale de la série des fonctions fn(x) = 1 n2 + x2 avec n ? 1 et x ? R Exercice 44 [ 00896 ] [Correction]



[PDF] Convergence uniforme et normale des séries de fonctions cours de

Convergence uniforme et normale des séries de fonctions cours de premier cycle universitaire F Gaudon 9 août 2005 Table des matières 1 Définitions

  • Comment montrer qu'une série converge uniformément ?

    Convergence simple et convergence uniforme
    Soit ( ? f n ) une série de fonctions qui converge simplement. Alors elle converge uniformément si et seulement si la suite des restes partiels ( ) converge uniformément vers la fonction nulle. Cela est évident car R n = S ? S n .

  • Comment calculer la convergence d'une fonction ?

    S'il existe une fonction f telle que : un = f (n) et si f admet une limite finie ou infinie en alors : On va donc gérer la recherche de la limite de (un) comme on gérerait la recherche de la limite de f en , mais en utilisant n comme variable. Donc (un) converge vers 0.

  • Comment montrer la convergence simple d'une série de fonction ?

    Série géométrique
    La somme partielle est définie par S n ( x ) = 1 ? x n + 1 1 ? x pour tout x ? 1 et S n ( 1 ) = n + 1 . La série numérique ( ? x n ) converge si et seulement si , donc pour x ? ] ? 1 , 1 [ . La fonction reste d'ordre n est ici explicitable : R n ( x ) = x n + 1 1 ? x .
  • Si la série ( ? f n ) est uniformément convergente sur et si chacune des fonctions est continue en de , alors la fonction S : x ? ? n = 0 + ? f n ( x ) est continue en .
Exo7

Suites et séries de fonctions

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile

I : Incontournable

Exercice 1Etudier les suites de fonctions suivantes (convergence simple, convergence uniforme, convergence localement

uniforme)

1) (**)fn(x) =nx1+n2x22) (**)fn(x) =exånk=0xkk!3) (**)fn(x) =n(1x)nsinpx2

1xn nsix2[0;n]

0 six>n.

1. Montrer que la suite (fn)n2Nconverge uniformément surR+vers la fonctionf:x7!ex. 2. A l"aide de la suite (fn)n2N, calculer l"intégrale de GAUSSR+¥

0ex2dx.

polynôme de BERNSTEINassocié àfpar B n(f) =ånk=0n k fkn

Xk(1X)nk.

1. (a) Calculer Bn(f)quandfest la fonctionx7!1, quandfest la fonctionx7!x, quandfest la fonction x7!x(x1). (b)

En déduire que

ånk=0n

k (knX)2Xk(1X)nk=nX(1X). 2.

En séparant les entiers ktels quexkn

>aet les entiersktels quexkn

6a(a>0 donné), montrer

que la suite de polynômes(Bn(f))n2Nconverge uniformément versfsur[0;1]. 3. Montrer le théorème de W EIERSTRASS: soitfune application continue sur[a;b]à valeurs dansR. Montrer quefest limite uniforme sur[a;b]d"une suite de polynômes. un polynôme. 1

Exercice 5**Soitf(x) =å+¥n=1xnsin(nx)n

1.

Montrer que fest de classeC1sur]1;1[.

2. Calculer f0(x)et en déduire quef(x) =arctanxsinx1xcosx. 1. Domaine de définition de f. On étudie ensuitefsur]1;+¥[. 2.

Continuité de fet limites defen 1 et+¥.

3. Montrer que fest de classeC1sur]1;+¥[et dresser son tableau de variation. fonctions de termes généraux :

1.fn(x) =nx2expn

surR+

2.fn(x) =1n+n3x2surR+

3.fn(x) = (1)nx(1+x2)n.

011+xadx=å+¥n=0(1)n1+na.

1+t2n(1+t2)

1.

Etudier la con vergencesimple et uniforme de la série de terme général fnpuis la continuité de la somme

f. 2.

Montrer que lim

t!+¥f(t) =ln2p

à l"aide de la formule de STIRLING.

2.

Etude complète def=å+¥n=1fn: domaine de définition, parité, limites, continuité, dérivabilité (vérifier quef

n"est pas dérivable en 0), allure du graphe. 2 Exercice 11**Pourx>0, on posef(x) =å+¥n=0expn . Trouver un équivalent simple defen 0 à droite. Correction del"exer cice1 N1.Pour tout entier naturel n,fnest définie surRet impaire.

Convergence simple surR.Soitx2R.

• Six=0, pour tout entier natureln,fn(x) =0 et donc limn!+¥fn(x) =0. • Six6=0,fn(x)n!+¥1nx et de nouveau limn!+¥fn(x) =0.

La suite de fonctions(fn)n2Nconverge simplement surRvers la fonction nulle.Convergence uniforme surR.On peut noter tout de suite que pour toutn2N,fn1n

=12 et donc kfnk¥>12 . On en déduit quekfnk¥ne tend pas vers 0 quandntend vers+¥.

La suite de fonctions(fn)n2Nne converge pas uniformément surRvers la fonction nulle.Si on n"a pas remarqué ce qui précède, on étudie la fonctionfnsurR+(fnétant impaire) dans le but de

déterminer sup x2Rjfn(x)0j.

Soitn2N. La fonctionfnest dérivable surR+et pour tout réel positifx,f0n(x) =n(1+n2x2)x(n2x)(1+n2x)2=

n(1n2x2)(1+n2x)2. Par suite, la fonctionfnest croissante sur0;1n et décroissante sur1n

Puisque la fonctionfnest positive surR+, sup

x2Rjfn(x)0j=fn1n =12 qui ne tend pas vers 0 quandn tend vers l"infini. Convergence uniforme et localement uniforme sur]0;+¥[.La suite de fonctions(fn)n2Nne converge toujours pas uniformément vers la fonction nulle sur]0;+¥[car pourn>1, sup x2Rjfn(x)0j=12 Soitaun réel strictement positif fixé. Soitn>1a . On a 0<1n Donc sup x2[a;+¥[jfn(x)0j=fn(a)pourn>1a . On en déduit que limn!+¥sup x2[a;+¥[jfn(x)0j=0. Donc la

suite de fonctions(fn)n2Nconverge uniformément vers la fonction nulle sur tout intervalle de la forme

[a;+¥[oùa>0 et en particulier converge localement uniformément vers la fonction nulle sur]0;+¥[

mais ne converge pas uniformément vers la fonction nulle sur]0;+¥[.

2.Convergence simple surR.Soitx2R. On sait queex=limn!+¥ånk=0xkk!et donc la suite(fn)n2N

converge simplement surRvers la fonction constantef:x7!1. Convergence uniforme surRetR+.limx!¥jfn(x)f(x)j= +¥. Par suite, pour tout entier naturel n, la fonctionjfnfjn"est pas bornée surR. La suite de fonctions(fn)n2Nne converge donc pas uniformément versfsurR. lim x!+¥jfn(x)f(x)j=1 et donc sup x2[0;+¥[jfn(x)f(x)j>1. La suite de fonctions(fn)n2Nne converge donc pas uniformément versfsurR+. Convergence localement uniforme surR.Soit[a;b]un segment deR. Pourn2N, posonsgn=fnf. La fonctiongnest dérivable surRet pourx2R g

0n(x) =ex

ånk=0xkk!+ån1k=0xkk!

=exxnn!. 4 Sinest pair, la fonctiongnest décroissante surRet s"annule en 0. Sinest impair, la fonctiongnest croissante surR, décroissante surR+et s"annule en 0.

Dans les deux cas, six2[a;b],jgn(x)j6Maxfjgn(a)j;jgn(b)jgavec égalité effectivement obtenue pour

x=aoux=b. Donc sup

Cette dernière expression tend vers 0 quandntend vers+¥. On en déduit que la suite de fonctions

(fn)n2Nconverge uniformément versfsur tout segment[a;b]contenu dansRou encore

la suite de fonctions(fn)n2Nconverge localement uniformément vers la fonctionf:x7!1 surR.3.Pour xréel etnentier naturel, on posefn(x) =n(1x)nsinp2

x.

Convergence simple.Soitxréel fixé. sinp2

x=0,x22Z. Dans ce cas, limn!+¥fn(x) =0. Six=22Z, la suite(fn(x))n2Nconverge,la suite(n(1x)n)n2Nconverge, j1xj<1,0Dans ce cas, lim n!+¥fn(x) =0.

La suite de fonctions(fn)n2Nconverge simplement vers la fonction nulle sur[0;2][2Z.Convergence uniforme sur[0;2].Soitnun entier naturel non nul fixé.

sup x2[0;2]jfn(x)0j>fn1n =n11n nsinp2n. Cette dernière expression est équivalente à p2een+¥et en particulier ne tend pas vers 0 quandntend vers+¥.

La suite de fonctions(fn)n2Nne converge pas uniformément vers la fonction nulle sur[0;2].1 2 3 4 5

12345678

y=R x2 x1 lnt dt5

La suite de fonctions(fn)n2Nne converge pas uniformément vers la fonction nulle sur[0;2].Correction del"exer cice2 NConvergence simple surR+.Soitxun réel positif fixé. Pourn>x,fn(x) =1xn

net donc f n(x) =n!+¥1xn n=n!+¥expnln1xn =n!+¥exp(x+o(1). Donc la suite de fonctions(fn)n2Nconverge simplement surR+vers la fonctionf:x7!ex.

Convergence uniforme surR+.Pourxréel positif etnentier naturel non nul, posonsgn(x) =f(x)fn(x) =ex1xn

nsix2[0;n] e xsix>n. Déterminons la borne supérieure de la fonctionjgnjsur[0;+¥[. La fonctiongnest définie et continue surR+. Pourx>n, 01). La fonctiongnest continue sur le segment[0;n]et admet donc sur[0;n]un minimum et un maximum.

• La fonctiongna un minimum égal à 0 atteint en 0. En effet, on sait que pour tout réelu,eu>1+u(inégalité

de convexité) et donc pour tout réelxde[0;n],ex=n>1xn >0. Après élévation des deux membres de cette inégalité, par croissance det7!tnsurR+, on obtientex>1xn nou encoregn(x)>0=gn(0).

• Pour 0

De plus,g0n(n) =en<0 et puisque la fonctiongnest de classeC1sur[0;n], sa dérivéeg0nest strictement

négative sur un voisinage à gauche den. La fonctiongnest alors strictement décroissante sur ce voisinage et

la fonctiongnadmet nécessairement son maximum surR+en un certain pointxnde]0;n[. En un tel point,

puisque l"intervalle]0;n[est ouvert, on sait que la dérivée de la fonctiongns"annule. L"égalitég0n(xn) =0

fournit1xnn n1=exnet donc g n(xn) =exn1xnn n=11xnn exn=xnexnn En résumé, pour tout réel positifx, 06gn(x)6xnexnn oùxnest un certain réel de]0;n[. Poururéel positif, posonsh(u)=ueu. La fonctionhest dérivable sur=mbr+et pouru>0,h0(u)=(1u)eu. Par suite, la fonctionhadmet un maximum en 1 égal à1e . On a montré que

8x2[0;+¥[,8n2N, 06gn(x)61ne

ou encore8n2N, supfjgn(x)j;x>0g61ne . Ainsi, limn!+¥supfjgn(x)j;x>0g=0 et on a montré que la suite de fonctions(fn)n2Nconverge uniformément surR+vers la fonctionx7!ex.Existence deI=R+¥

0ex2dx.La fonctionx7!ex2est continue sur[0;+¥[et négligeable devant1x

2en+¥.

Donc la fonctionx7!ex2est intégrable sur[0;+¥[. Par suite,Iexiste dansR. On est alors en droit d"espérer queI=limn!+¥R+¥

0fn(x2)dx.

Lafonctionx7!fn(x2)estcontinuesur[0;+¥[etnullesur[pn;+¥[. Donclafonctionx7!fn(x2)estintégrable

sur[0;+¥[. Pourn2N, posonsIn=R+¥

0fn(x2)dx=Rpn

0 1x2n ndx.

Montrons queIntend versIquandntend vers+¥.

jIInj6Rpn

0jf(x2)fn(x2)jdx+R+¥pn

ex2dx6pn1ne +R+¥pn ex2dx=1e pn +R+¥pn ex2dx.

Puisque la fonctionx7!ex2est intégrable sur[0;+¥[, cette dernière expression tend vers 0 quandntend vers

+¥et donc limn!+¥In=I. Calcul de la limite deIn.Soitn2N. Les changements de variablesx=upnpuisu=cosvfournissent 6 I n=Rpn 0 1x2n ndx=pn R1

0(1u2)ndu=pn

Rp=2

0sin2n+1v dv=pnW

2n+1

oùWnest lan-ème intégrale de WALLIS. On a déjà vu (exercice classique, voir fiches de Maths Sup) que

W nn!+¥pp

2net donc

I nn!+¥pnqp

2(2n+1)n!+¥pp

2

Finalement,Intend verspp

2 quandntend vers+¥et donc R

0ex2dx=pp

2

.Vous pouvez voir différents calculs de l"intégrale de GAUSSdans Grands classiques de concours : intégration .Correction del"exer cice3 N1.(a) Soit n2N.

• Si8x2[0;1],f(x) =1, B n(f) =ånk=0n k X k(1X)nk= (X+(1X))n=1. • Si8x2[0;1],f(x) =x, B n(f) =nå k=0kn n k X k(1X)nk=nå k=1 n1 k1 X k(1X)nk=Xnå k=1 n1 k1 X k1(1X)(n1)(k1) =Xn1å k=0 n1 k X k(1X)n1k=X: • Si8x2[0;1],f(x)=x(x1), alorsBn(f)=ånk=0n k kn kn

1Xk(1X)nket doncB1(f)=0.

Pourn>2 etk2[[1;n1]]

kn kn 1n k =1n

2k(nk)n!k!(nk)!=n1n

(n2)!(k1)(nk1)!=n1n n2 k1

Par suite,

B n(f) =n1n n1å k=1 n2 k1 X k(1X)nk=n1n

X(1X)n1å

k=1Xk1(1X)(n2)(k1) =n1n

X(1X)n2å

k=0 n2 k X k(1X)n2k=n1n

X(1X):

ce qui reste vrai pour n = 1. (b)

D"après la question précédente

7 n k=0 n k (knX)2Xk(1X)nk=nå k=0 n k k

2Xk(1X)nk2nXnå

k=0 n k kX k(1X)nk+n2X2nå k=0 n k X k(1X)nk nå k=0 n k k(kn)Xk(1X)nkn(2X1)nå k=0 n k kX k(1X)nk +n2X2nå k=0 n k X k(1X)nk =n2nå k=0kn kn 1n k X k(1X)nkn2(2X1)nå k=0 n k kn

Xk(1X)nk+n2X2

=n(n1)X(1X)n2(2X1)X+n2X2=nX2+nX=nX(1X): 2.

Soit e>0. Soientnun entier naturel non nul etaun réel strictement positif donné. Soitxun réel de

[0;1]. NotonsA(resp.B) l"ensemble des entiersk2[[0;n]]tels quexkn a). (SiAouB sont vides, les sommes ci-dessous correspondantes sont nulles). jf(x)Bn(f)(x)j= nå k=0 n k f(x)fkn x k(1x)nk 6 k2A n k f(x)fkn xk(1x)nk+å k2B n k f(x)fkn xk(1x)nk

fest continue sur le segment[0;1]et donc est uniformément continue sur ce segment d"après le théorème

de HEINE. Par suite, il existea>0 tel que sixetysont deux réels de[0;1]tels quejxyjåk2An k x k(1x)nk6e2

ånk=0n

k x k(1x)nk=e2 Ensuite, la fonctionfest continue sur le segment[0;1]et donc est bornée sur ce segment. SoitMun majorant de la fonctionjfjsur[0;1]. k2Bn k f(x)fkn xk(1x)nk62Måk2Bn k x k(1x)nk

Mais sik2B, l"inégalitéxkn

>afournit 161a

2n2(knx)2et donc

k2B n k x k(1x)nk6161a

2n2å

k2B n k (knx)2xk(1x)nk61a

2n2nå

k=0 n k (knx)2xk(1x)nk 1a

2n2nx(1x) =1a

2n 14 x12 2! 6

14a2n:

En résumé, pour tout réelx2[0;1]

jf(x)Bn(f)(x)j6e2 +2M14a2n=e2 +M2a2n.

Maintenant, puisque lim

n!+¥M2a2n=0, il existe un entier naturel non nulNtel que pourn>N,M2a2nPourn>N, on ajf(x)Bn(f)(x)j +e2 =e. On a montré que 8

8e>0,9N2N=8n2N;8x2[0;1];(n>N) jf(x)(Bn(f))(x)j et donc que

la suite de polynômes(Bn(f))n2Nconverge uniformément sur[0;1]versf.3.La question 2) montre le théorème de W EIERSTRASSdans le cas du segment[0;1].

Soient[a;b]un segment quelconque etfun application continue sur[a;b]. Pourx2[0;1], posonsg(x) =f(a+(ba)x). La fonctiongest continue sur[0;1]et donc il existe une suite de polynômes(Pn)convergeant uniformément versgsur[0;1]. Pourn2N, posonsQn=PnXaba.

Soite>0.9N>1 tel que8n>N,8y2[0;1],jg(y)Pn(y)j Soientx2[a;b]etn>N. Le réely=xabaest dans[0;1]et

Ceci démontre que la suite de polynômes(Qn)n2Nconverge uniformément vers la fonctionfsur[a;b].Correction del"exer cice4 NPosonsf=limn!+¥Pn.

Le critère de CAUCHYde convergence uniforme (appliqué àe=1) permet d"écrire

9N2N=8n>N;8m>N;8x2R;jPn(x)Pm(x)j61.

Pourn>N, les polynômesPNPnsont bornés surRet donc constants. Par suite, pour chaquen>N, il existean2Rtel quePNPn=an(). Puisque la suite(Pn)converge simplement surR, La suite(an) =

(PN(0)Pn(0))converge vers un réel que l"on notea. On fait alors tendrentend vers+¥dans l"égalité()et

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