[PDF] Suites et séries de fonctions





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Chapitre 03 : Suites et Séries de fonctions

la suite de fonctions de dans et . Si converge uniformément vers



Chapitre 3 - Séries de Fonctions

Pour traiter la seconde on a besoin d'une notion supplémentaire. 4.2.1 Convergence uniforme. Définition 4.2.1 Soit I ⇢ R un intervalle ouvert. Soit aussi f 



1 Convergence simple et convergence uniforme 2 Crit`eres de

Théor`eme 3.2 Si (fn)n∈N est une suite de fonctions uniformément continues qui converge uniformément vers une fonction f sur l'intervalle I alors la limite f 



Séries de fonctions

convergence uniforme de la série de fonction de terme général . Allez à : Exercice 1. Correction exercice 2. 1. On va appliquer les règles de Riemann avec.



Suites et séries de fonctions

13 déc. 2015 La suite (supx∈[01]



Suites et séries de fonctions

de ℝ converge également uniformément sur cette partie. Proposition 1.1 La convergence uniforme implique la convergence simple. Si une suite de fonctions ( ) ...



Pascal Lainé Intégrales généralisées. Suites et séries numériques

convergence uniforme de la série de fonction de terme général . Allez à : Exercice 1. Correction exercice 2. 1. On va appliquer les règles de Riemann avec.



Suites et séries de fonctions

et de nouveau limn→+∞ fn(x) = 0. La suite de fonctions (fn)n∈N converge simplement sur R vers la fonction nulle. Convergence uniforme sur R.



Cours dAnalyse IV Suites et Séries de fonctions

On étudie maintenant une autre notion de convergence plus forte que la convergence uniforme : Soit ∑fn fn : D ⊂ C → C



Suites de fonctions

Y a-t-il convergence uniforme de la suite de fonction ( ) ∈ℕ ? 3. Etudier la convergence uniforme sur [ 1] avec > 0. Allez à : Correction exercice 7.



Chapitre 03 : Suites et Séries de fonctions

Convergence uniforme d'une suite de fonctions : Définition : soit la suite de fonctions de dans et sa limite simple. On dit que converge uniformément vers 



Séries de fonctions

Etudier la convergence uniforme de cette série sur [. [ où . Allez à : Correction exercice 2. Exercice 3. Etudier la convergence simple et la convergence 



Cours dAnalyse IV Suites et Séries de fonctions

dans leur généralité puis les suites et séries de fonction



Suites et séries de fonctions

13 déc. 2015 La suite de fonctions fn converge-t-elle uniformément vers f sur E? Exercice 2.6.12 (Convergence simple et convergence uniforme) Pour tout n ? ...



M41 Suites et séries de fonctions

?? f pour exprimer que (fn)n?N converge uniformément vers f (sur D). Exercice de cours 2. 1. Représenter graphiquement la notion de convergence uniforme à l' 



Pascal Lainé Intégrales généralisées. Suites et séries numériques

Séries de fonctions (corrections) p. 59. • Séries entières (énoncés) Etudier la convergence uniforme de la suite de fonctions définies sur par :.



Chapitre 3 - Suites et séries de fonctions

convergente ainsi qu'un crit`ere plus contraignant de convergence la convergence uniforme. Définition 3.1.1. (convergence simple d'une suite de fonctions).



Suites et séries de fonctions

et de nouveau limn?+? fn(x) = 0. La suite de fonctions (fn)n?N converge simplement sur R vers la fonction nulle. Convergence uniforme sur R.



Suites de fonctions

Y a-t-il convergence uniforme de la suite de fonction ( ) ?? ? 3. Etudier la convergence uniforme sur [ 1] avec > 0. Allez à : Correction exercice 7.



Notes du Cours Analyse et Convergence II Math203

1.3.2 Définition de la convergence uniforme . 3.2 Notion de série de fonction . ... 5.4 Séries de Fourier : Cas des fonctions ”tr`es” réguli`eres .



[PDF] Convergence uniforme

6 jan 2012 · Avant d'étudier les conséquences de la convergence uniforme insistons à nouveau sur le fait que la limite simple d'une suite de fonctions 



[PDF] Séries de Fonctions

Comme pour les séries de fonctions on va introduire une notion de convergence plus facile `a vérifier et qui entraine la convergence uniforme Définition 4 2



[PDF] Chapitre 03 : Suites et Séries de fonctions

1 Convergence simple d'une suite de fonctions : Définition : Une suite de fonctions de dans K converge simplement vers la fonction si pour tout



[PDF] Suites et séries de fonctions

7 oct 2019 · On considère sur [0 1] la série de fonctions ? n?N (?1)nxn n? Par le critère des séries alternées la série converge pour tout x ? [0 



[PDF] Suites et séries de fonctions

13 déc 2015 · 2 2 1 Définition de la convergence uniforme d'une suite de fonctions Soit E une partie de K et soit (fn)n?N une suite de fonctions fn : E 



[PDF] SUITES et SERIES DE FONCTIONS

Définition de la convergence uniforme Soit (fn) une suite de fonctions numériques sur E Soit A un sous-ensemble de E On dit que la suite (fn) converge 



[PDF] Chapitre 10 :Suites et séries de fonctions - Melusine

Théorème : (1) Pour les séries de fonction la convergence uniforme entraîne la convergence simple (2) Si le but E est complet pour E la convergence 



[PDF] 1 Convergence simple et convergence uniforme 2 Crit`eres - LMPA

S'il existe un point x0 ? I tel que la suite (fn(x0))n?N soit convergente alors la suite (fn)n?N converge simplement vers une fonction dérivable f telle f = 



[PDF] Suites et séries de fonctions - Xiffr

Étudier la convergence simple uniforme et normale de la série des fonctions fn(x) = 1 n2 + x2 avec n ? 1 et x ? R Exercice 44 [ 00896 ] [Correction]



[PDF] Convergence uniforme et normale des séries de fonctions cours de

Convergence uniforme et normale des séries de fonctions cours de premier cycle universitaire F Gaudon 9 août 2005 Table des matières 1 Définitions

  • Comment montrer qu'une série converge uniformément ?

    Convergence simple et convergence uniforme
    Soit ( ? f n ) une série de fonctions qui converge simplement. Alors elle converge uniformément si et seulement si la suite des restes partiels ( ) converge uniformément vers la fonction nulle. Cela est évident car R n = S ? S n .

  • Comment calculer la convergence d'une fonction ?

    S'il existe une fonction f telle que : un = f (n) et si f admet une limite finie ou infinie en alors : On va donc gérer la recherche de la limite de (un) comme on gérerait la recherche de la limite de f en , mais en utilisant n comme variable. Donc (un) converge vers 0.

  • Comment montrer la convergence simple d'une série de fonction ?

    Série géométrique
    La somme partielle est définie par S n ( x ) = 1 ? x n + 1 1 ? x pour tout x ? 1 et S n ( 1 ) = n + 1 . La série numérique ( ? x n ) converge si et seulement si , donc pour x ? ] ? 1 , 1 [ . La fonction reste d'ordre n est ici explicitable : R n ( x ) = x n + 1 1 ? x .
  • Si la série ( ? f n ) est uniformément convergente sur et si chacune des fonctions est continue en de , alors la fonction S : x ? ? n = 0 + ? f n ( x ) est continue en .

Suites et series de fonctions

Bachir Bekka, Cours L3 Rennes 2015/2016

13 decembre 2015

iiNotes Cours SSF-2015/2016-B.Bekka

Table des matieres

1 Introduction 1

2 Suites et series de fonctions 3

2.1 Convergence simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.1.1 Denition de la convergence simple d'une suite de fonc-

tions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.1.2 Denition de la convergence simple d'une serie de fonc-

tions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2 Convergence uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.2.1 Denition de la convergence uniforme d'une suite de

fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.2.2 Convergence uniforme d'une serie de fonctions . . . . . 8

2.2.3 Critere de Cauchy pour la convergence uniforme . . . . 9

2.3 Convergence normale d'une serie de fonctions . . . . . . . . . 11

2.4 Proprietes des limites uniformes de suites . . . . . . . . . . . . 13

2.4.1 Continuite de limites uniformes de fonctions continues . 14

2.4.2 Integrale d'une limite uniforme de fonctions continues . 15

2.4.3 Limite uniforme de fonctions derivables . . . . . . . . . 17

2.5 Proprietes d'une serie uniformement convergente . . . . . . . . 18

2.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3 Series entieres 27

3.1 Premieres notions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.1.1 Rayon de convergence, disque de convergence d'une

serie entiere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.1.2 Calcul du rayon de convergence : formule d'Hadamard,

regle de d'Alembert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 iii ivNotes Cours SSF-2015/2016-B.Bekka

3.1.3 Continuite d'une serie entiere dans son disque de conver-

gence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.2 Operations sur les series entieres . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.2.1 Somme, produits de series entieres . . . . . . . . . . . 33

3.3 Derivation, integration d'une serie entiere . . . . . . . . . . . . 35

3.4 Developpement d'une fonction en serie entiere . . . . . . . . . 39

3.4.1 Critere de developpement en serie entiere . . . . . . . . 42

3.5 Developpements en serie des fonctions usuelles . . . . . . . . . 43

3.5.1 La fonction exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.5.2 Les fonctions hyperboliques . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.5.3 Les fonctions trigonometriques . . . . . . . . . . . . . . 44

3.5.4 La fonction logarithme . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.5.5 La fonctionx7!Arctg(x) . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.5.6 La serie du bin^ome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.5.7 La fonctionx7!Arcsin(x) . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.6 Application a la resolution d'equations dierentielles . . . . . 49

3.7 Fonction exponentielle complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.7.1 Formules d'addition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.7.2 Partie reelle, partie imaginaire, module et argument de

e z. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.8 Applications a la trigonometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3.8.1 Formule de Moivre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3.8.2 Linearisation de cos

ntet sinnt. . . . . . . . . . . . . 57

3.9 Logarithme d'un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . 58

3.10 Fonctions analytiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

3.11 Le theoreme d'Abel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

3.12 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

4 Series trigonometriques 79

4.1 Denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

4.2 Convergence d'une serie trigonometrique . . . . . . . . . . . . 80

4.3 Continuite, derivabilite, integration d'une serie trigonometrique 84

4.4 Developpement en serie trigonometrique . . . . . . . . . . . . 86

4.4.1 Series de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

4.4.2 Exemples de recherche d'une serie de Fourier . . . . . . 91

4.4.3 Lemme de Riemann-Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . 92

4.5 Theoreme de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

4.5.1 Le noyau de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

COURS SSF-2015/2016-B.Bekkav

4.5.2 Le Theoreme de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . 98

4.6 Convergence uniforme des series de Fourier : cas des fonctions

C

2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

4.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

viNotes Cours SSF-2015/2016-B.Bekka

Chapitre 1

Introduction

Les suites (un)net series numeriquesPunont ete etudiees dans des cours precedents. Lesunsont des nombres reels ou complexes et une des questions est de savoir si la limite lim nunexiste ou si la seriePunconverge. Supposons maintenant que nous ayons, pour chaque valeur d'un \parametre" reel ou complexezappartenant un sous-ensembleEdeRouC;une suite (un(z))n ou serie numeriquePun(z). On dispose ainsi d'une suite de fonctionsun: z7!un(z) denies surE. SoitE0l'ensemble desz2Epour lesquels (un(z))n ouPun(z) converge et notonsf(z) la limite correspondante. On obtient ainsi une fonctionfsurE0a valeurs reelles ou complexes. L'objet de ce cours est de repondre d'abord a la question suivante : Question 1Supposons que lesunpossedent des proprietes de regularite (continuite, derivabilite, integrabilite, ...); ces proprietes sont-elles heritees parf, c-a-d \passent-elles" a la limite? Dans le cas ou la reponse est positive, on aimerait egalement exprimer la derivee ou l'integrale defen fonction de celles desun: On peut se demander egalement quelles fonctionsfapparaissent comme limites lorsque lesunsont des fonctions d'un type particulierement simples. Cette question se formule de maniere plus precise ainsi. Question 2On se donne une suite (un)nde fonctions d'un type parti- culierement simple; par exemple, lesunpeuvent ^etre les mon^omesz7!zn pourz2Cou les fonctions du typet7!eintde la variable reellet2R. Soit f:z7!u(z) une fonction \arbitraire". Peut-on trouver une suite de nombres a ndansCtelles quef(z) =P nanun(z)? C'est la question de la possibilite d'un \developpement" defd'un type particulier selon la suite (un)n. Il s'agira 1

2Notes Cours SSF-2015/2016-B.Bekka

de dire quelles fonctionsfadmettent un tel developpement et de preciser la convergence deP nanun(z) versf(z) en fonction dez(convergence simple, convergence uniforme, ...). Pour les exemples evoques precedemment, on parlera d'un developpement en serie entieref(z) =P nanznde la fonction fd'une variable reelle ou complexezet d'un developpement en serie trigo- nometriquef(t) =P naneintde la fonctionfd'une variable reellet:

Chapitre 2

Suites et series de fonctions

Dans tout le cours, les fonctions que nous considererons seront denies sur une partie deRouCet a valeurs dansRouC: Notation importante :Le symboleKdesignera toujours indieremment le corpsRou leC;muni de sa valeur absolue habituelle.

2.1 Convergence simple

2.1.1 Denition de la convergence simple d'une suite

de fonctions SoitEune partie deKet soit (fn)n2Nune suite de fonctionsfn:E!K denies toutes surEet a valeurs dansK: Denition 2.1.1 (Ensemble de convergence, convergence simple) (i) On appelleensemble de convergencele sous ensembleE0deEforme des x2Etels que la suite numerique (fn(x))n2Nconverge. (ii) SoitFune partie deEetf:F!Kune fonction; on dit que (fn)n2N converge simplementversfsurFsi, pour toutx2F, la suite (fn(x))n2N converge etf(x) = limn!1fn(x): Remarque 2.1.2(i) Si (fn)n2Nconverge simplement versfsurFE; alors, bien s^ur,Fest une partie de l'ensemble de convergenceE0de (fn)n2N: (ii) Pour toutx2E0;soitf(x) := limn!1fn(x):Alorsfest une fonction denie surE0et (fn)n2Nconverge simplement versfsurE0: 3

4Notes Cours SSF-2015/2016-B.Bekka

(iii) Pour une partieFdeEet une fonctionf:F!Kon a : (fn)n2N converge simplement versfsurFsi et seulement si : pour toutx2Fet tout" >0, il existeN=N(";x)2Ntel quejfn(x)f(x)j "pour tout nN: Exemple 2.1.3(i) Soitfn:R!Rdenie parfn(x) =enx:On a lim n!+1fn(x) =8 :0 six >0

1 six= 0

+1six <0: L'ensemble de convergence de (fn)n2Nest doncR+= [0;+1[ et (fn)n2N converge simplement vers la fonctionf:R+!Rdenie par f(x) =(

0 six >0

1 six= 0:

On observera quefest discontinue bien que toutes les fonctionsfnsoient continues. (ii) Soitfn: [0;1]!Rdenie parfn(x) =xn:On a lim n!+1fn(x) =(

0 six2[0;1[

1 six= 1:

L'ensemble de convergence de (fn)n2Nest donc [0;1] tout entier et (fn)n2N converge simplement vers la fonctionf: [0;1]!Rdenie par f(x) =(

0 six2[0;1[

1 six= 1:

(iii) Soitfn:R!Rdenie parfn(x) =xn+ 1x

2+ 1:Pourjxj<1;on a

lim n!+1xn= 0 et donc limn!+1fn(x) =1x

2+ 1:Pourx= 1;on axn=

1 et donc lim

n!+1fn(1) = 1:Pourx=1;on axn= (1)net donc f n(1) =(1)n+ 1x

2+ 1=2x

2+ 1sinest pair etfn(1) = 0 sinest impair.

Ceci montre que lim

n2Nfn(1) n'existe pas. Sijxj>1;la suite (xn)n2N n'est pas convergente et lim n2Nfn(x) n'existe pas. En conclusion, l'ensemble

COURS SSF-2015/2016-B.Bekka5

de convergence de la suite (fn)n2Nest ]1;1] et (fn)n2Nconverge simplement vers la fonctionf:]1;1]!Rdenie par f(x) =8 :1x

2+ 1six2]1;1[

1 six= 1:

(iv) Soitfn: [0;=2]!Rdenie parfn(x) =sinnxpn :Commejsintj 1 pour toutt;on ajfn(x)j 1=npour toutx:Ceci montre que (fn)n2Nconverge simplement vers la fonction 0 sur [0;=2]. (v) Soitgn: [0;=2]!Rla derivee la fonctionfndenie en (iv) plus haut.

Alorsgn(x) =ncosnxpn

=pncosnxne converge pour aucune valeur dex: L'ensemble de convergence est donc vide; a fortiori,gnne converge pas vers la deriveef0= 0 de la limitef= 0 de (fn)n2N: (vi) Soitfn: [0;1]!Rdenie parfn(x) =nx(1x2)n:Alorsfnconverge simplement vers la fonctionf= 0 sur [0;1]:On observera que Z 1 0 f n(x)dx=nZ 1 0 x(1x2)ndx=n2n+ 2 et donc lim n!+1R 1

0fn(x)dx= 1=2 alors queR1

0f(x)dx= 0:

2.1.2 Denition de la convergence simple d'une serie

de fonctions SoitEune partie deKet soit (un)n2Nune suite de fonctionsun:E!K denies toutes surEet a valeurs dansK:On noteSnla fonction denie sur

Epar les sommes partielles :

S n(x) =nX k=0u k(x) =u0(x) +u1(x) ++un(x) pour toutx2E: Denition 2.1.4SoitE0l'ensemble de convergence de la suite de fonctions (Sn)n2Net notonsS(x) := limn!+1Sn(x) pour toutx2E0:On dit que laseriede terme generalunconverge simplement versSsurE0et on ecritP nun(x) =S(x) ouP1 n=0un(x) =S(x) pour toutx2E0

6Notes Cours SSF-2015/2016-B.Bekka

Remarque 2.1.5(i) La serie de terme generalunconverge simplement vers Ssi et seulement si la suite des sommes partielles (Sn)n2Nconverge simple- ment versS: (ii) La serie de terme generalunconverge simplement versSsi et seulement si, pour toutx2E0et tout" >0;il existeN=N(";x)2Ntel que jSn(x)S(x)j "pour toutnN: Exemple 2.1.6(i)(Serie geometrique)Soitun:C!Rdenie par u n(z) =zn:Alors, pour toutz2Cn f1gon a S n(z) =nX k=0z k=1zn+11z etSn(1) =n:L'ensemble de convergence de la serie de terme generalunest doncE0=fz2C:jzj<1get limn!+1Sn(z) =11zpour toutztel que jzj<1: (ii) Soitun: [0;=2]!Rdenie parun(x) = sin2(x)cosn(x):La serie de fonctions de terme generalunconverge simplement vers la fonctionS: [0;=2]!Rdene par

S(x) =8

:sin

2(x)1cosxsix2]0;=2[

0 six= 0:

2.2 Convergence uniforme

On a vu precedemment que, siunest une suite de fonctions continues convergeant simplement vers une fonctionf, alorsfn'est pas necessairement continue; de plus, la suite des derivees desun(quand elles existent) ou de leurs integrales ne converge pas necessairement la limite vers la derivee def (qui peut m^eme ne pas exister) ou son integrale. Une notion de convergence va nous permettre de remedier a ce probleme : la convergence uniforme. Ce sera une notion-cle dans ce cours.

COURS SSF-2015/2016-B.Bekka7

2.2.1 Denition de la convergence uniforme d'une suite

de fonctions SoitEune partie deKet soit (fn)n2Nune suite de fonctionsfn:E!K. SoitE0l'ensemble de convergence de (fn)n2Net, pour toutx2E0, soit f(x) = limn!+1fn(x): Denition 2.2.1 (Convergence uniforme)On dit que (fn)n2Nconverge uniformementversfsur une partieFdeE0si : pour tout" >0;il existe

N=N(") tel que, pour toutx2Fet toutnNon a

jfn(x)f(x)j ": Remarque 2.2.2(i) La dierence entre la convergence uniforme de (fn)n2N et la convergence simple est que leNde la denition precedente ne depend que de"et non dex(comparer avec la Remarque 2.1.2.iii). (ii) Si une suite (fn)n2Nconverge uniformement versfsurF, alors il evident que (fn)n2Nconverge simplement versfsurF. La reciproque est fausse, comme le montre l'Exemple 2.2.3.ii plus bas. (iii) La suite (fn)n2Nconverge uniformement versfsurFsi et seulement si : Pour tout" >0, il existeN=N(")2Ntel que supx2Fjfn(x)f(x)j " pour toutnN: (iv) La suite (fn)n2Nconverge uniformement versfsurFsi et seulement si : lim n!+1sup x2Fjfn(x)f(x)j= 0; c-a-d si et seulement si la suite numerique (lim n!+1supx2Fjfn(x)f(x)j)n2Ntend vers 0. Exemple 2.2.3(i) Soit (fn)n2Nla suite de fonctions denies sur [0;2] par f n(x) =sinxn :La suite (fn)n2Nconverge uniformement vers la fonctionf= 0 sur [0;2]; en eet, sup x2[0;2]jfn(x)f(x)j= sup x2[0;2] sinxn 1n et donc lim n!+1(supx2[0;2]jfn(x)f(x)j) = 0:

8Notes Cours SSF-2015/2016-B.Bekka

(ii) Soit (fn)n2Nla suite de fonctions denies sur [0;1] parfn(x) =xn; on a vu (Exemple 2.1.3.ii) que (fn)n2Nconverge simplement vers la fonctionf sur [[0;1] denie parf(x) = 0 six= 0 etf(1) = 1:On a, pour toutn2N, sup x2[0;1]jfn(x)f(x)j= sup x2[0;1[jxnj= 1;

La suite (sup

x2[0;1]jfn(x)f(x)j)n2Nne tend donc pas vers 0 et (fn)n2Nne converge pas uniformement versf.

2.2.2 Convergence uniforme d'une serie de fonctions

Denition 2.2.4 (Convergence uniforme de series)On dit qu'une serie de fonctions de terme generalunconverge uniformementsurFvers une fonctionSsi la suite de fonctions formee par les series partielles (Sn)n2N converge uniformement surFversS; en d'autres termes, si, pour tout" >0; il existeN2Ntel que sup x2FjnX k=0u k(x)S(x)j "pour toutnN: Remarque 2.2.5Si une serie de fonctions de terme generalunconverge uniformement vers une fonctionS, elle converge simplement versS. La reciproque est fausse (voir Exemple 2.2.6.i plus bas). Exemple 2.2.6(i) On considere la serie de fonctions surRde terme general u n(x) =xn; son domaine de convergence est ]1;1[ et cette serie converge simplement vers la fonctionS:x7!11x:La convergence n'est pas uniforme sur ]1;1[; en eet, pour toutn2N;on a n X k=0x n11x =1xn+11x11x =xn+11x comme sup x2]1;1[ xn+11x = +1; il s'ensuit que (sup x2]1;1[jSn(x)S(x)j)n2Nne converge pas vers 0:

COURS SSF-2015/2016-B.Bekka9

(ii) Soita2]0;1[:La serie precedente converge uniformement versSsur [a;a]:En eet, sup x2[a;a] xn+11x =an+11a et donc lim n!+1supx2[a;a]jSn(x)S(x)j= 0:

2.2.3 Critere de Cauchy pour la convergence uniforme

Il existe un critere de Cauchy pour la convergence uniforme d'une suite ou serie de fonctions. Comme pour les suites ou series numeriques, l'utilite de ce critere est qu'il permet de montrer la convergence sans conna^tre ex- plicitement la limite. Theoreme 2.2.7(Critere de Cauchy uniforme)(i) Une suite de fonc- tions(fn)n2NsurEconverge uniformement sur une partieFdeEsi et seulement si : pour tout" >0;il existeN2Ntel que, pour tousp;qN; on a sup x2Fjfp(x)fq(x)j ": (ii) Une serie de fonctions surEde terme generalunconverge uniformement sur une partieFsi et seulement si : pour tout" >0;il existeN2Ntel que, pour tousp > qN;on a sup x2FjSp(x)Sq(x)j= sup x2FjpX k=q+1u k(x)j ":

Demonstration

(i) Supposons que (fn)n2Nconverge uniformement surFversf:Soit" >0.

Alors, il existeN2Ntel que, pour toutnN;on a

sup x2Fjfn(x)f(x)j "=2 Il s'ensuit que, pour toutp;qNet toutx2Fon a, par l'inegalitequotesdbs_dbs41.pdfusesText_41
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