Chapitre 03 : Suites et Séries de fonctions
la suite de fonctions de dans et . Si converge uniformément vers
Chapitre 3 - Séries de Fonctions
Pour traiter la seconde on a besoin d'une notion supplémentaire. 4.2.1 Convergence uniforme. Définition 4.2.1 Soit I ⇢ R un intervalle ouvert. Soit aussi f
1 Convergence simple et convergence uniforme 2 Crit`eres de
Théor`eme 3.2 Si (fn)n∈N est une suite de fonctions uniformément continues qui converge uniformément vers une fonction f sur l'intervalle I alors la limite f
Séries de fonctions
convergence uniforme de la série de fonction de terme général . Allez à : Exercice 1. Correction exercice 2. 1. On va appliquer les règles de Riemann avec.
Suites et séries de fonctions
13 déc. 2015 La suite (supx∈[01]
Suites et séries de fonctions
de ℝ converge également uniformément sur cette partie. Proposition 1.1 La convergence uniforme implique la convergence simple. Si une suite de fonctions ( ) ...
Pascal Lainé Intégrales généralisées. Suites et séries numériques
convergence uniforme de la série de fonction de terme général . Allez à : Exercice 1. Correction exercice 2. 1. On va appliquer les règles de Riemann avec.
Suites et séries de fonctions
et de nouveau limn→+∞ fn(x) = 0. La suite de fonctions (fn)n∈N converge simplement sur R vers la fonction nulle. Convergence uniforme sur R.
Cours dAnalyse IV Suites et Séries de fonctions
On étudie maintenant une autre notion de convergence plus forte que la convergence uniforme : Soit ∑fn fn : D ⊂ C → C
Suites de fonctions
Y a-t-il convergence uniforme de la suite de fonction ( ) ∈ℕ ? 3. Etudier la convergence uniforme sur [ 1] avec > 0. Allez à : Correction exercice 7.
Chapitre 03 : Suites et Séries de fonctions
Convergence uniforme d'une suite de fonctions : Définition : soit la suite de fonctions de dans et sa limite simple. On dit que converge uniformément vers
Séries de fonctions
Etudier la convergence uniforme de cette série sur [. [ où . Allez à : Correction exercice 2. Exercice 3. Etudier la convergence simple et la convergence
Cours dAnalyse IV Suites et Séries de fonctions
dans leur généralité puis les suites et séries de fonction
Suites et séries de fonctions
13 déc. 2015 La suite de fonctions fn converge-t-elle uniformément vers f sur E? Exercice 2.6.12 (Convergence simple et convergence uniforme) Pour tout n ? ...
M41 Suites et séries de fonctions
?? f pour exprimer que (fn)n?N converge uniformément vers f (sur D). Exercice de cours 2. 1. Représenter graphiquement la notion de convergence uniforme à l'
Pascal Lainé Intégrales généralisées. Suites et séries numériques
Séries de fonctions (corrections) p. 59. • Séries entières (énoncés) Etudier la convergence uniforme de la suite de fonctions définies sur par :.
Chapitre 3 - Suites et séries de fonctions
convergente ainsi qu'un crit`ere plus contraignant de convergence la convergence uniforme. Définition 3.1.1. (convergence simple d'une suite de fonctions).
Suites et séries de fonctions
et de nouveau limn?+? fn(x) = 0. La suite de fonctions (fn)n?N converge simplement sur R vers la fonction nulle. Convergence uniforme sur R.
Suites de fonctions
Y a-t-il convergence uniforme de la suite de fonction ( ) ?? ? 3. Etudier la convergence uniforme sur [ 1] avec > 0. Allez à : Correction exercice 7.
Notes du Cours Analyse et Convergence II Math203
1.3.2 Définition de la convergence uniforme . 3.2 Notion de série de fonction . ... 5.4 Séries de Fourier : Cas des fonctions ”tr`es” réguli`eres .
[PDF] Convergence uniforme
6 jan 2012 · Avant d'étudier les conséquences de la convergence uniforme insistons à nouveau sur le fait que la limite simple d'une suite de fonctions
[PDF] Séries de Fonctions
Comme pour les séries de fonctions on va introduire une notion de convergence plus facile `a vérifier et qui entraine la convergence uniforme Définition 4 2
[PDF] Chapitre 03 : Suites et Séries de fonctions
1 Convergence simple d'une suite de fonctions : Définition : Une suite de fonctions de dans K converge simplement vers la fonction si pour tout
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7 oct 2019 · On considère sur [0 1] la série de fonctions ? n?N (?1)nxn n? Par le critère des séries alternées la série converge pour tout x ? [0
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13 déc 2015 · 2 2 1 Définition de la convergence uniforme d'une suite de fonctions Soit E une partie de K et soit (fn)n?N une suite de fonctions fn : E
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Définition de la convergence uniforme Soit (fn) une suite de fonctions numériques sur E Soit A un sous-ensemble de E On dit que la suite (fn) converge
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Théorème : (1) Pour les séries de fonction la convergence uniforme entraîne la convergence simple (2) Si le but E est complet pour E la convergence
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S'il existe un point x0 ? I tel que la suite (fn(x0))n?N soit convergente alors la suite (fn)n?N converge simplement vers une fonction dérivable f telle f =
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Étudier la convergence simple uniforme et normale de la série des fonctions fn(x) = 1 n2 + x2 avec n ? 1 et x ? R Exercice 44 [ 00896 ] [Correction]
[PDF] Convergence uniforme et normale des séries de fonctions cours de
Convergence uniforme et normale des séries de fonctions cours de premier cycle universitaire F Gaudon 9 août 2005 Table des matières 1 Définitions
Comment montrer qu'une série converge uniformément ?
Convergence simple et convergence uniforme
Soit ( ? f n ) une série de fonctions qui converge simplement. Alors elle converge uniformément si et seulement si la suite des restes partiels ( ) converge uniformément vers la fonction nulle. Cela est évident car R n = S ? S n .Comment calculer la convergence d'une fonction ?
S'il existe une fonction f telle que : un = f (n) et si f admet une limite finie ou infinie en alors : On va donc gérer la recherche de la limite de (un) comme on gérerait la recherche de la limite de f en , mais en utilisant n comme variable. Donc (un) converge vers 0.Comment montrer la convergence simple d'une série de fonction ?
Série géométrique
La somme partielle est définie par S n ( x ) = 1 ? x n + 1 1 ? x pour tout x ? 1 et S n ( 1 ) = n + 1 . La série numérique ( ? x n ) converge si et seulement si , donc pour x ? ] ? 1 , 1 [ . La fonction reste d'ordre n est ici explicitable : R n ( x ) = x n + 1 1 ? x .- Si la série ( ? f n ) est uniformément convergente sur et si chacune des fonctions est continue en de , alors la fonction S : x ? ? n = 0 + ? f n ( x ) est continue en .
Suites et séries de fonctions
* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficileI : Incontournable
Exercice 1Etudier les suites de fonctions suivantes (convergence simple, convergence uniforme, convergence localement
uniforme)1) (**)fn(x) =nx1+n2x22) (**)fn(x) =exånk=0xkk!3) (**)fn(x) =n(1x)nsinpx2
1xn nsix2[0;n]0 six>n.
1. Montrer que la suite (fn)n2Nconverge uniformément surR+vers la fonctionf:x7!ex. 2. A l"aide de la suite (fn)n2N, calculer l"intégrale de GAUSSR+¥0ex2dx.
polynôme de BERNSTEINassocié àfpar B n(f) =ånk=0n k fknXk(1X)nk.
1. (a) Calculer Bn(f)quandfest la fonctionx7!1, quandfest la fonctionx7!x, quandfest la fonction x7!x(x1). (b)En déduire que
ånk=0n
k (knX)2Xk(1X)nk=nX(1X). 2.En séparant les entiers ktels quexkn
>aet les entiersktels quexkn6a(a>0 donné), montrer
que la suite de polynômes(Bn(f))n2Nconverge uniformément versfsur[0;1]. 3. Montrer le théorème de W EIERSTRASS: soitfune application continue sur[a;b]à valeurs dansR. Montrer quefest limite uniforme sur[a;b]d"une suite de polynômes. un polynôme. 1Exercice 5**Soitf(x) =å+¥n=1xnsin(nx)n
1.Montrer que fest de classeC1sur]1;1[.
2. Calculer f0(x)et en déduire quef(x) =arctanxsinx1xcosx. 1. Domaine de définition de f. On étudie ensuitefsur]1;+¥[. 2.Continuité de fet limites defen 1 et+¥.
3. Montrer que fest de classeC1sur]1;+¥[et dresser son tableau de variation. fonctions de termes généraux :1.fn(x) =nx2expn
surR+2.fn(x) =1n+n3x2surR+
3.fn(x) = (1)nx(1+x2)n.
011+xadx=å+¥n=0(1)n1+na.
1+t2n(1+t2)
1.Etudier la con vergencesimple et uniforme de la série de terme général fnpuis la continuité de la somme
f. 2.Montrer que lim
t!+¥f(t) =ln2pà l"aide de la formule de STIRLING.
2.Etude complète def=å+¥n=1fn: domaine de définition, parité, limites, continuité, dérivabilité (vérifier quef
n"est pas dérivable en 0), allure du graphe. 2 Exercice 11**Pourx>0, on posef(x) =å+¥n=0expn . Trouver un équivalent simple defen 0 à droite. Correction del"exer cice1 N1.Pour tout entier naturel n,fnest définie surRet impaire.Convergence simple surR.Soitx2R.
• Six=0, pour tout entier natureln,fn(x) =0 et donc limn!+¥fn(x) =0. • Six6=0,fn(x)n!+¥1nx et de nouveau limn!+¥fn(x) =0.La suite de fonctions(fn)n2Nconverge simplement surRvers la fonction nulle.Convergence uniforme surR.On peut noter tout de suite que pour toutn2N,fn1n
=12 et donc kfnk¥>12 . On en déduit quekfnk¥ne tend pas vers 0 quandntend vers+¥.La suite de fonctions(fn)n2Nne converge pas uniformément surRvers la fonction nulle.Si on n"a pas remarqué ce qui précède, on étudie la fonctionfnsurR+(fnétant impaire) dans le but de
déterminer sup x2Rjfn(x)0j.Soitn2N. La fonctionfnest dérivable surR+et pour tout réel positifx,f0n(x) =n(1+n2x2)x(n2x)(1+n2x)2=
n(1n2x2)(1+n2x)2. Par suite, la fonctionfnest croissante sur0;1n et décroissante sur1nPuisque la fonctionfnest positive surR+, sup
x2Rjfn(x)0j=fn1n =12 qui ne tend pas vers 0 quandn tend vers l"infini. Convergence uniforme et localement uniforme sur]0;+¥[.La suite de fonctions(fn)n2Nne converge toujours pas uniformément vers la fonction nulle sur]0;+¥[car pourn>1, sup x2Rjfn(x)0j=12 Soitaun réel strictement positif fixé. Soitn>1a . On a 0<1nsuite de fonctions(fn)n2Nconverge uniformément vers la fonction nulle sur tout intervalle de la forme
[a;+¥[oùa>0 et en particulier converge localement uniformément vers la fonction nulle sur]0;+¥[
mais ne converge pas uniformément vers la fonction nulle sur]0;+¥[.2.Convergence simple surR.Soitx2R. On sait queex=limn!+¥ånk=0xkk!et donc la suite(fn)n2N
converge simplement surRvers la fonction constantef:x7!1. Convergence uniforme surRetR+.limx!¥jfn(x)f(x)j= +¥. Par suite, pour tout entier naturel n, la fonctionjfnfjn"est pas bornée surR. La suite de fonctions(fn)n2Nne converge donc pas uniformément versfsurR. lim x!+¥jfn(x)f(x)j=1 et donc sup x2[0;+¥[jfn(x)f(x)j>1. La suite de fonctions(fn)n2Nne converge donc pas uniformément versfsurR+. Convergence localement uniforme surR.Soit[a;b]un segment deR. Pourn2N, posonsgn=fnf. La fonctiongnest dérivable surRet pourx2R g0n(x) =ex
ånk=0xkk!+ån1k=0xkk!
=exxnn!. 4 Sinest pair, la fonctiongnest décroissante surRet s"annule en 0. Sinest impair, la fonctiongnest croissante surR, décroissante surR+et s"annule en 0.Dans les deux cas, six2[a;b],jgn(x)j6Maxfjgn(a)j;jgn(b)jgavec égalité effectivement obtenue pour
x=aoux=b. Donc supCette dernière expression tend vers 0 quandntend vers+¥. On en déduit que la suite de fonctions
(fn)n2Nconverge uniformément versfsur tout segment[a;b]contenu dansRou encorela suite de fonctions(fn)n2Nconverge localement uniformément vers la fonctionf:x7!1 surR.3.Pour xréel etnentier naturel, on posefn(x) =n(1x)nsinp2
x.Convergence simple.Soitxréel fixé. sinp2
x=0,x22Z. Dans ce cas, limn!+¥fn(x) =0. Six=22Z, la suite(fn(x))n2Nconverge,la suite(n(1x)n)n2Nconverge, j1xj<1,0La suite de fonctions(fn)n2Nconverge simplement vers la fonction nulle sur[0;2][2Z.Convergence uniforme sur[0;2].Soitnun entier naturel non nul fixé.
sup x2[0;2]jfn(x)0j>fn1n =n11n nsinp2n. Cette dernière expression est équivalente à p2een+¥et en particulier ne tend pas vers 0 quandntend vers+¥.La suite de fonctions(fn)n2Nne converge pas uniformément vers la fonction nulle sur[0;2].1 2 3 4 5
12345678
y=R x2 x1 lnt dt5La suite de fonctions(fn)n2Nne converge pas uniformément vers la fonction nulle sur[0;2].Correction del"exer cice2 NConvergence simple surR+.Soitxun réel positif fixé. Pourn>x,fn(x) =1xn
net donc f n(x) =n!+¥1xn n=n!+¥expnln1xn =n!+¥exp(x+o(1). Donc la suite de fonctions(fn)n2Nconverge simplement surR+vers la fonctionf:x7!ex.Convergence uniforme surR+.Pourxréel positif etnentier naturel non nul, posonsgn(x) =f(x)fn(x) =ex1xn
nsix2[0;n] e xsix>n. Déterminons la borne supérieure de la fonctionjgnjsur[0;+¥[. La fonctiongnest définie et continue surR+. Pourx>n, 0• La fonctiongna un minimum égal à 0 atteint en 0. En effet, on sait que pour tout réelu,eu>1+u(inégalité
de convexité) et donc pour tout réelxde[0;n],ex=n>1xn >0. Après élévation des deux membres de cette inégalité, par croissance det7!tnsurR+, on obtientex>1xn nou encoregn(x)>0=gn(0).• Pour 0 De plus,g0n(n) =en<0 et puisque la fonctiongnest de classeC1sur[0;n], sa dérivéeg0nest strictement négative sur un voisinage à gauche den. La fonctiongnest alors strictement décroissante sur ce voisinage et puisque l"intervalle]0;n[est ouvert, on sait que la dérivée de la fonctiongns"annule. L"égalitég0n(xn) =0 Lafonctionx7!fn(x2)estcontinuesur[0;+¥[etnullesur[pn;+¥[. Donclafonctionx7!fn(x2)estintégrable Puisque la fonctionx7!ex2est intégrable sur[0;+¥[, cette dernière expression tend vers 0 quandntend vers oùWnest lan-ème intégrale de WALLIS. On a déjà vu (exercice classique, voir fiches de Maths Sup) que .Vous pouvez voir différents calculs de l"intégrale de GAUSSdans Grands classiques de concours : intégration .Correction del"exer cice3 N1.(a) Soit n2N. Soit e>0. Soientnun entier naturel non nul etaun réel strictement positif donné. Soitxun réel de fest continue sur le segment[0;1]et donc est uniformément continue sur ce segment d"après le théorème la suite de polynômes(Bn(f))n2Nconverge uniformément sur[0;1]versf.3.La question 2) montre le théorème de W EIERSTRASSdans le cas du segment[0;1]. Ceci démontre que la suite de polynômes(Qn)n2Nconverge uniformément vers la fonctionfsur[a;b].Correction del"exer cice4 NPosonsf=limn!+¥Pn. (PN(0)Pn(0))converge vers un réel que l"on notea. On fait alors tendrentend vers+¥dans l"égalité()et8x2[0;+¥[,8n2N, 06gn(x)61ne
ou encore8n2N, supfjgn(x)j;x>0g61ne . Ainsi, limn!+¥supfjgn(x)j;x>0g=0 et on a montré que la suite de fonctions(fn)n2Nconverge uniformément surR+vers la fonctionx7!ex.Existence deI=R+¥ 0ex2dx.La fonctionx7!ex2est continue sur[0;+¥[et négligeable devant1x
2en+¥.
Donc la fonctionx7!ex2est intégrable sur[0;+¥[. Par suite,Iexiste dansR. On est alors en droit d"espérer queI=limn!+¥R+¥ 0fn(x2)dx.
0fn(x2)dx=Rpn
0 1x2n ndx. Montrons queIntend versIquandntend vers+¥.
jIInj6Rpn 0jf(x2)fn(x2)jdx+R+¥pn
ex2dx6pn1ne +R+¥pn ex2dx=1e pn +R+¥pn ex2dx. 0(1u2)ndu=pn
Rp=2 0sin2n+1v dv=pnW
2n+1 2net donc
I nn!+¥pnqp 2(2n+1)n!+¥pp
2 Finalement,Intend verspp
2 quandntend vers+¥et donc R 0ex2dx=pp
2 1Xk(1X)nket doncB1(f)=0.
Pourn>2 etk2[[1;n1]]
kn kn 1n k =1n 2k(nk)n!k!(nk)!=n1n
(n2)!(k1)(nk1)!=n1n n2 k1 Par suite,
B n(f) =n1n n1å k=1 n2 k1 X k(1X)nk=n1n X(1X)n1å
k=1Xk1(1X)(n2)(k1) =n1n X(1X)n2å
k=0 n2 k X k(1X)n2k=n1n X(1X):
ce qui reste vrai pour n = 1. (b) D"après la question précédente
7 n k=0 n k (knX)2Xk(1X)nk=nå k=0 n k k 2Xk(1X)nk2nXnå
k=0 n k kX k(1X)nk+n2X2nå k=0 n k X k(1X)nk nå k=0 n k k(kn)Xk(1X)nkn(2X1)nå k=0 n k kX k(1X)nk +n2X2nå k=0 n k X k(1X)nk =n2nå k=0kn kn 1n k X k(1X)nkn2(2X1)nå k=0 n k kn Xk(1X)nk+n2X2
=n(n1)X(1X)n2(2X1)X+n2X2=nX2+nX=nX(1X): 2. ånk=0n
k x k(1x)nk=e2 Ensuite, la fonctionfest continue sur le segment[0;1]et donc est bornée sur ce segment. SoitMun majorant de la fonctionjfjsur[0;1]. k2Bn k f(x)fkn xk(1x)nk62Måk2Bn k x k(1x)nk Mais sik2B, l"inégalitéxkn
>afournit 161a 2n2(knx)2et donc
k2B n k x k(1x)nk6161a 2n2å
k2B n k (knx)2xk(1x)nk61a 2n2nå
k=0 n k (knx)2xk(1x)nk 1a 2n2nx(1x) =1a
2n 14 x12 2! 6 14a2n:
En résumé, pour tout réelx2[0;1]
jf(x)Bn(f)(x)j6e2 +2M14a2n=e2 +M2a2n. Maintenant, puisque lim
n!+¥M2a2n=0, il existe un entier naturel non nulNtel que pourn>N,M2a2n8e>0,9N2N=8n2N;8x2[0;1];(n>N) jf(x)(Bn(f))(x)j
Soite>0.9N>1 tel que8n>N,8y2[0;1],jg(y)Pn(y)j
9N2N=8n>N;8m>N;8x2R;jPn(x)Pm(x)j61.
Pourn>N, les polynômesPNPnsont bornés surRet donc constants. Par suite, pour chaquen>N, il existean2Rtel quePNPn=an(). Puisque la suite(Pn)converge simplement surR, La suite(an) =
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