[PDF] Problématiser en mathématiques: le cas de lapprentissage des

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Sylvie GRAU

Mémoire présenté en vue de l'obtention du grade de Docteur de l'Université de Nantes sous le sceau de l'Université Bretagne Loire École doctorale : 504 - Cognition, Éducation, Interactions (CEI) Discipline : Sciences de l'éducation (section 70) Unité de recherche : CREN - Université de Nantes n°EA2661

Soutenue le 9 octobre 2017

Problématiser en

mathématiques : le cas de l'apprentissage des fonctions affines

Volume 1

JURY

Président du jury

Rapporteurs : Yann LHOSTE, Professeur des Universités, Université des Antilles, pôle Martinique

Fabrice VANDEBROUCK, Professeur des Universités, Université Paris Diderot Paris 7 Examinateur·rice·s : Sylvie COPPE, Maîtresse de conférences, Université de Genève Christian ORANGE, Professeur des Université, Université Libre de Bruxelles

Directrice de Thèse : Magali HERSANT, Professeure des Universités, ESPE Université de Nantes

Sylvie GRAU

Mémoire présenté en vue de l'obtention du grade de Docteur de l'Université de Nantes sous le sceau de l'Université Bretagne Loire École doctorale : 504 - Cognition, Éducation, Interactions (CEI) Discipline : Sciences de l'éducation (section 70) Unité de recherche : CREN - Université de Nantes n°EA2661 Soutenue le 9 octobre 2017

Problématiser en

mathématiques : le cas de l'apprentissage des fonctions affines

Volume 1

JURY

Président du jury

Rapporteurs : Yann LHOSTE, Professeur des Universités, Université des Antilles, pôle MartiniqueFabrice VANDEBROUCK, Professeur des Universités, Université Paris Diderot Paris 7

Examinateur·rice·s : Sylvie COPPE, Maîtresse de conférences, Université de Genève Christian ORANGE, Professeur des Université, Université Libre de Bruxelles

Directrice de Thèse : Magali HERSANT, Professeure des Universités, ESPE Université de Nantes

Christian ORANGE, Professeur des Université, Université Libre de Bruxelles Résumé : La notion de fonction affine n'est pas disponible (Robert et Rogalski, 2002)

pour bon nombre d'élèves malgré un enseignement par les problèmes. Nous avons essayé de

comprendre pourquoi et de trouver des pistes pour y remédier. Pour cela, nous avons analysé

le savoir enseigné en lien avec l'épistémologie de cette notion, évalué les connaissances des

élèves à la sortie du collège pour identifier les difficultés qu'ils rencontrent, et expérimenté

différentes situations d'apprentissage. Nous avons utilisé des outils inspirés du cadre de la

problématisation (Fabre et Orange, 1997) pour analyser les productions langagières des

élèves, comprendre la manière dont ils posent les problèmes liés à l'affinité, comment ils

agissent sur les objets et effectuent des changements de cadres (Douady) ou de registres

(Duval). Cette étude nous a amenée à penser que la disponibilité du savoir est issue d'un

double processus : un apprentissage par problématisation de l'outil, un processus de

secondarisation du discours. Nous avons fait l'hypothèse qu'une approche de l'affinité par un point de vue global et covariationnel devrait permettre aux élèves de mieux comprendre en

quoi la fonction affine peut être un outil de modélisation pour résoudre des problèmes liés à la

covariation de deux grandeurs et pensé un format de séquence intégrant ces hypothèses par

une succession de situations basée sur l'idée d'une problématisation par analyse des

productions des élèves (PPAP). L'objectif est de travailler la relation entre l'action et l'objet

de savoir. Nous avons expérimenté cette ingénierie afin d'en tirer quelques conditions favorables pouvant servir à l'enseignement des fonctions affines. Mots clés : apprentissage - collège - covariation - discours - fonction affine - grandeurs - modélisation - problématisation PROBLEMATIZING IN MATHEMATICS: LINEAR FUNCTIONS CASE Abstract: For certain pupils, the notion of linear functions is not available in spite of a teaching by problems. We tried to understand why and to find tracks to remedy it. For that purpose, we analyzed the knowledge taught in connection with the epistemology of the notion of affinity, estimated the knowledge of the pupils at the exit of the middle school to identify the obstacles or the difficulties which they meet and experimented various situations of learning. We used tools inspired by the framework of the problematization (Fabre et Orange,

1997) to analyze the linguistic productions of the pupils to understand the way they raise the

problems bound to the affinity, how they act on the met objects and how they make changes of frames (Douady) or registers (Duval). This study brought to us to make the hypothesis that the availability of the knowledge arises from a double process: a learning by problematization of the tool, a process of secondarisation of the speech. Besides, an approach of the affinity by a global point of view and covariationnel should allow the pupils to understand better in what the linear functions can be a modelling tool to solve problems bound to the covariation of two quantities measurable. We thought of a format of sequence integrating these various approaches by a succession of situations based on the idea of a problematization by analysis of the productions of the pupils (PPAP) to work the relation between the action and the object of knowledge. We experimented this engineering to reach some favorable conditions which can be of use to the teaching of the linear functions. Key words: covariation - learning - linear functions - mathematics - middle school - modelling - problematization - quantities -

Remerciements ,

Merci à Yann Lhoste et Fabrice Vandebrouck d'avoir accepté d'être rapporteurs de cette thèse,

merci pour l'intérêt que vous avez porté à mon travail, vos retours sont précieux.

Merci à Sylvie Coppé d'être membre de ce jury. Ses travaux sont une source d'inspiration. J'espère

que nous aurons l'occasion de poursuivre nos échanges. Merci à Christian Orange pour l'accompagnement de cette réflexion commencée à l'IUFM de

Nantes bien avant cette thèse, merci pour ses encouragements, nos discussions et pour sa lecture en

cette fin d'été.

Merci à Magali Hersant avec qui j'ai partagé cette aventure et qui a toujours su guider mon travail,

conseiller par des critiques et des encouragement et qui a appris à changer de couleur de stylo pour

ménager ma susceptibilité. Merci aux membres du laboratoire du CREN, aux doctorants, aux étudiants qui ont alimenté mes

réflexions par des apports, des questions, des remises en cause toujours très constructives. Les

séminaires du vendredi sont un rendez-vous inratables tout comme le colloque Probléma qui a accueilli mes contributions avec beaucoup d'exigence et de bienveillance.

Je tiens à remercier tous les collègues qui ont participé aux constructions et expérimentations dans

leur classe, les membres du groupe fonction de l'IREM de Nantes.

Merci à Anne Boyé qui a gentiment accepté d'apporter son regard d'historienne des mathématiques

sur mon travail et pour son enthousiasme, son analyse toujours si précise.

Merci à mes stagiaires et à mes élèves qui ont souvent servi de cobayes dans cette recherche.

Merci enfin à Hervé, mon mari et à mes garçons Nicolas, François et Lucas. Ils ont supporté ces

années de travail et mon humeur massacrante en m'apportant toujours leur soutien et leurs encouragements. Difficile de leur demander de rester moins longtemps sur leurs ordinateurs quand je passe moi-même de longues heures à transcrire, analyser, rédiger...

Je n'envisage pas un jour sans apprendre, j'espère qu'ils auront cette passion de toujours découvrir.

Université de Nantes UFR Lettres et Langage

Département des sciences de l'éducation

Centre de Recherche en Éducation de Nantes (CREN)

Chemin de la Censive du Tertre BP 81227

44312 Nantes cedex 3

Table des matières | v

Table des matières

INTRODUCTION13

PARTIE 1 CADRES THÉORIQUES ET MÉTHODOLOGIE

CHAPITRE I : ANALYSE ÉPISTÉMOLOGIQUE16

I.1 : Repères historiques sur l'évolution de la notion de fonction affine....................17

I.1.1 : Le moyen-âge et la Renaissance..............................................................17

I.1.2 : L'époque classique...................................................................................21

I.1.3 : L'époque moderne....................................................................................22

I.1.4 : Caractérisation des fonctions affines à chaque période............................24

I.2 : La fonction affine dans les programmes scolaires du collège et du lycée.........25 I.2.1 : Première période avant 1902 : l'algèbre au service de la géométrie........25 I.2.2 : Deuxième période de 1902 à 1960 : la droite comme représentation

graphique de fonction.......................................................................................................29

I.2.3 : Troisième période : à partir de 1959, le temps des réformes...................34

I.2.4 : Quatrième période à partir de 1986 : le problème au coeur du processus I.2.5 : Conclusion sur l'évolution de la transposition didactique de la notion de

fonction affine...................................................................................................................43

I.3 : Étude des organisations mathématiques de la notion de fonction affine...........46 I.3.1 : Étude de l'organisation mathématique dans les programmes de 2008.....46 I.3.2 : Étude de l'organisation mathématique de la notion de fonction affine

dans le manuel Sésamaths de la classe de 3e....................................................................53

I.4 : Conclusion........................................................................................................57

CHAPITRE II : DEUX POINTS DE VUE59

II.1 : La covariation..................................................................................................59

II.2 : L'expression de ces deux points de vue dans les différents registres..............62

II.3 : Cycle de modélisation......................................................................................69

II.4 : Conclusion.......................................................................................................74

CHAPITRE III : LE CHOIX DU CADRE THÉORIQUE75

III.1 : Mise en évidence des difficultés repérées......................................................75

III.2 : Les fondements théoriques.............................................................................83

III.2.1 : La Théorie des situations didactiques (TSD).........................................83

III.2.2 : L'apprentissage par problématisation....................................................84

III.3 : A propos des définitions..................................................................................89

III.4 : Vers une praxéologie de modélisation de la fonction affine............................93

III.5 : Le cadre épistémique pour l'apprentissage par problématisation....................95

III.6 : Le rôle du langage........................................................................................102

III.7 : Le contrat didactique.....................................................................................106

III.8 : Structure générale du cadre épistémique.....................................................109

III.9 : Conclusion....................................................................................................111

CONCLUSION DE LA PARTIE 1113

vi | Table des matières PARTIE 2 L'ÉLABORATION DES ÉLÉMENTS DE L'INGÉNIERIE

CHAPITRE I : LE TEST ET LES RÉSULTATS115

I.1 : Les types de problèmes mathématiques relevant de l'affinité et les procédures

utilisées pour les résoudre................................................................................................115

I.2 : Méthodologie de construction, passation et analyse.......................................117

I.2.1 : Méthodologie de construction................................................................117

I.2.2 : Méthodologie de passation.....................................................................121

I.3 : Le choix des exercices en lien avec les hypothèses de recherche.................121 I.3.1 : Les grandeurs et la proportionnalité : exercices A, B et H.....................126 I.3.2 : La proportionnalité et les graphiques : exercices C et E........................131 I.3.3 : L'utilisation du registre des expressions algébriques : exercice D.........133 I.3.4 : Les fonctions, notations et vocabulaire : exercices F et G.....................135

I.4 : Analyse des résultats......................................................................................138

I.4.1 : Analyse des résultats exercice par exercice...........................................140

I.4.2 : Analyse par thèmes................................................................................145

I.5 : Analyse des propos des enseignants des classes testées..............................173

I.5.1 : Le retour des élèves après correction du test..........................................173

I.5.2 : Les réactions des enseignants.................................................................174

I.6 : Conclusion......................................................................................................175

CHAPITRE II : INTRODUCTION DE LA NOTION DE FONCTION AU COLLÈGE178 II.1 : Quelles situations sont proposées aux élèves dans les chapitres consacrés aux

fonctions dans les manuels de 3e ?...................................................................................179

II.2 : Quels problèmes proposer en classe pour introduire la notion de fonction au

collège ?...........................................................................................................................184

II.2.1 : L'utilisation de la lecture graphique pour analyser l'aspect global d'une

II.2.2 : Identifier une relation fonctionnelle......................................................189

II.2.3 : L'étude de situations mettant en évidence la covariation de grandeurs par

une fonction non monotone............................................................................................194

II.2.4 : La généralisation d'un comportement covariationnel pour résoudre un

problème de covariation non affine : le problème du pluviomètre à différents niveaux de

la scolarité.......................................................................................................................202

II.2.5 : L'interpolation linéaire sur un intervalle sur lequel on considère le comportement d'une fonction continue et monotone : le problème du marchand de glace

II.3 : Conclusion.....................................................................................................237

CONCLUSION DE LA PARTIE 2238

PARTIE 3 MISE EN PLACE D'UNE INGÉNIERIE

CHAPITRE I : EXPÉRIMENTATIONS DE SÉQUENCES VISANT L'APPRENTISSAGE PAR

PROBLÉMATISATION DES FONCTIONS AFFINES242

I.1 : Analyse d'un temps de débat en classe de 2nde............................................244

I.1.1 : Analyse du débat....................................................................................245

I.1.2 : Problématisation dans le débat...............................................................249

I.1.3 : Que nous apprend l'analyse de la séquence " degrés Celsius-degrés

Fahrenheit » ?.................................................................................................................255

Table des matières | vii

I.2 : Un essai pour permettre l'apprentissage par problématisation de l'affinité par les I.2.1 : Présentation de la situation salaire-chiffre d'affaires..............................257 I.2.2 : La mise en oeuvre de la situation salaire-chiffre d'affaires.....................258 I.2.3 : Analyse a priori de la séquence salaire-chiffre d'affaires......................260 I.2.4 : Analyse a posteriori de la séquence salaire-chiffre d'affaires................263

I.3 : Conclusion sur le choix des problèmes...........................................................285

I.3.1 : Du point de vue des savoirs....................................................................285

I.3.2 : Du point de vue du scénario...................................................................286

CHAPITRE II : UN MODÈLE DE SÉQUENCE : LA PPAP288 II.1 : L'apport des travaux en didactique des sciences et vie de la terre.................288 II.2 : Les séquences PPAP (Problématisation Par Analyse des Productions)........290 II.3 : La dynamique de problématisation dans une PPAP......................................297

II.4 : Un nouvel outil pour l'analyse de l'activité de l'élève......................................302

II.5 : Des pistes pour l'élaboration d'une ingénierie didactique...............................307

II.6 : Conclusion.....................................................................................................310

CHAPITRE III : L'INGÉNIERIE TEMPÉRATURE-PRESSION313 III.1 : Situation problème : mise en évidence de la proportionnalité des écarts pour

caractériser la covariation de deux grandeurs...................................................................313

III.1.1 : Grandeurs repérables, grandeurs mesurables et proportionnalité........313

III.1.2 : Aspect didactique................................................................................316

III.1.1 Choix de la situation..............................................................................316

III.2 : Analyse de l'expérimentation dans la classe de collège................................318

III.3 : Le format.......................................................................................................322

III.3.1 : L'étape 1...............................................................................................322

III.3.2 : Analyse a priori de l'étape 1................................................................323

III.3.3 : Analyse a priori de l'étape 2................................................................329

III.4 : La situation 2................................................................................................334

III.4.1 : Présentation de la situation 2...............................................................334

III.4.2 : Analyse a priori de la situation 2........................................................335

III.5 : La situation 3................................................................................................336

III.5.1 : Présentation de la situation 3...............................................................336

III.5.2 : Analyse a priori de la situation 3........................................................337

III.6 : Évaluation intermédiaire................................................................................339

III.6.1 : Présentation de l'évaluation.................................................................339

III.6.2 : Analyse a priori de l'évaluation...........................................................339

III.7 : La situation 4................................................................................................340

III.8 : Analyse de la séquence PPAP.....................................................................342

III.9 : Conclusion....................................................................................................345

CHAPITRE IV : ANALYSE A POSTERIORI DE LA SÉQUENCE PPAP TEMPÉRATURE-PRESSION

DANS DEUX CLASSES DE SECONDE347

IV.1 : Méthodologie d'analyse de l'expérimentation...............................................347

IV.1.1 : Méthodologie liée à l'ingénierie didactique.........................................347

IV.1.2 : L'organisation du traitement des données...........................................347

IV.1.3 : La structure de l'analyse et les différents outils...................................348

IV.1.4 : La synthèse au travers des espaces de contraintes...............................350

IV.2 : Présentation des classes et des enseignants...............................................351

viii | Table des matières IV.3 : Analyse a posteriori de l'expérimentation de l'étape 1 dans la classe de 2nde 1

IV.3.1 : Analyse des procédures des élèves lors de l'étape 1 ...........................354

IV.3.2 : Analyse des traces écrites des différents groupes étape 1...................355 IV.3.3 : Synthèse dans l'espace de contraintes a posteriori..............................365 IV.3.4 : Ce que les fonctions langagières nous apprennent de la mise en relation

des données et des conditions du problème à l'étape 1...................................................369

IV.3.5 : Configuration des registres à l'étape 1.................................................371

IV.4 : Analyse a posteriori de l'expérimentation de l'étape 2 dans la classe de 2nde 1

IV.4.1 : Analyse des productions écrites étape 2..............................................372

IV.4.2 : Analyse des interactions dans les groupes par comparaison entre l'étape

1 et l'étape 2....................................................................................................................380

IV.5 : Analyse a posteriori de l'expérimentation de l'étape 1 dans la classe de 2nde 2 IV.5.1 : Analyse des procédures des élèves lors de l'étape 1 à travers les

productions écrites..........................................................................................................398

IV.5.2 : Analyse des traces écrites des différents groupes étape 1...................399 IV.5.3 : Analyse comparée des fonctions langagières entre les classes de 2nde 1 et

2 sur l'étape 1..................................................................................................................409

IV.6 : Analyse a posteriori de l'expérimentation de l'étape 2 dans la classe de 2nde 2

IV.6.1 : Analyse des productions écrites..........................................................419

IV.6.2 : Analyse des interactions dans les groupes durant l'étape 2.................422 IV.7 : Analyse a posteriori de l'expérimentation de l'étape 3 dans la classe de 2nde 1 IV.7.1 : Les procédures utilisées par les élèves pour caractériser les variations

dans la classe 1...............................................................................................................435

IV.7.2 : La comparaison des variations entre les trois tableaux de valeurs dans la

classe 1............................................................................................................................438

IV.8 : Analyse a posteriori de l'expérimentation de l'étape 3 dans la classe de 2nde 2 IV.8.1 : Les procédures utilisées par les élèves pour caractériser les variations

dans la classe 2...............................................................................................................439

IV.8.2 : La comparaison des variations entre les trois tableaux de valeurs dans la

classe 2............................................................................................................................441

IV.9 : Analyse et comparaison des processus de secondarisation dans les classes

de 2nde 1 et 2 au cours de l'étape 3....................................................................................442

IV.10 : Analyse a posteriori de l'expérimentation des étapes 4 et 5.......................448

IV.11 : Conclusion à l'issue de cette expérimentation............................................449

CONCLUSION DE LA PARTIE 3453

CONCLUSION

1. L'apport du cadre de la problématisation pour penser l'organisation de

l'enseignement-apprentissage de la notion de fonction affine et sa transposition didactique

1.1. Une revisite des cadres, registres et points de vue par le travail de figuration,

configuration et de reconfiguration................................................................................457

1.2. L'apport de notre étude épistémologique pour penser la transposition

didactique de la fonction affine......................................................................................458

1.3. Les programmes du cycle 4 à la rentrée 2016...........................................460

Table des matières | ix

2. L'apport du format PPAP pour problématiser en mathématiques........................465

2.1. Ses effets attendus sur l'apprentissage........................................................465

2.2. Les effets produits au regard des effets attendus........................................466

2.3. Des outils d'analyse pour mesurer les progrès des élèves dans l'apprentissage

par problématisation.......................................................................................................467

2.4. La PPAP comme pratique pédagogique pour élémenter l'apprentissage par

problématisation dans l'enseignement............................................................................467

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