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Espaces Vectoriels Pascal lainé

1

Espaces vectoriels

Exercice 1.

Allez à : Correction exercice 1

Exercice 2.

Les familles suivantes sont-elles libres ?

Allez à : Correction exercice 2

Exercice 3.

Les familles suivantes sont-elles libres ?

Allez à : Correction exercice 3

Exercice 4.

Allez à : Correction exercice 4

Exercice 5.

Dans Թସ on considère l'ensemble ܧ

L'ensemble ܧ

Allez à : Correction exercice 5

Exercice 6.

Chercher les relations de dépendance linéaires entre ces vecteurs. Si ces vecteurs sont dépendants, en

extraire au moins une famille libre engendrant le même sous-espace.

Allez à : Correction exercice 6

Exercice 7.

Allez à : Correction exercice 7

Exercice 8.

sont-elles libres?

Espaces Vectoriels Pascal lainé

2

Allez à : Correction exercice 8

Exercice 9.

Dans Թସ, comparer les sous-espaces ܨ et ܩ

Allez à : Correction exercice 9

Exercice 10.

ils linéairement indépendants?

Allez à : Correction exercice 10

Exercice 11.

Allez à : Correction exercice 11

Exercice 12.

Allez à : Correction exercice 12

Exercice 13.

de Թସ. Les propositions suivantes sont-elles vraies ou fausses? Justifier votre réponse.

Allez à : Correction exercice 13

Exercice 14.

dans Թସ.

Allez à : Correction exercice 14

Exercice 15.

Թଷ est un sous-espace vectoriel de Թଷ ?

Allez à : Correction exercice 15

Espaces Vectoriels Pascal lainé

3

Exercice 16.

Soit ܧൌܸ݁ܿ

1. Donner une base de ܧ

2. Montrer que ܨ

3. Donner une base de ܨ

4. Donner une base de ܨתܧ

Allez à : Correction exercice 16

Exercice 17.

1. Montrer que ܧ est un sous-espace vectoriel de Թଷ. Déterminer une base de ܧ

3. Est-ce que ݑଷܧא

4. Donner une base de ܨתܧ

Allez à : Correction exercice 17

Exercice 18.

1. Montrer que ܧ

2. Déterminer ܨתܧ

3. A-t-on ܨْܧ

Allez à : Correction exercice 18

Exercice 19.

deux sous-ensembles de Թଷ.

On admettra que ܨ

1. Montrer que ܧ

2. Déterminer une famille génératrice de ܧ

5. A-t-on ܨْܧ

Allez à : Correction exercice 19

Exercice 20.

deux sous-ensembles de Թଷ.

On admettra que ܨ

1°) Montrer que ܧ

2°) Déterminer une famille génératrice de ܧ

Espaces Vectoriels Pascal lainé

4

5°) A-t-on ܨْܧ

Allez à : Correction exercice 20

Exercice 21.

deux sous-ensembles de Թଷ.

On admettra que ܨ

1. Montrer que ܧ

2. Déterminer une famille génératrice de ܧ

5. A-t-on ܨْܧ

Allez à : Correction exercice 21

Exercice 22.

3. Déterminer une ou plusieurs équations caractérisant ܧ

4. Compléter une base de ܧ

Allez à : Correction exercice 22

Exercice 23.

On admettra que ܧ

Première partie

1. Déterminer une base de ܧ et en déduire la dimension de ܧ

2. Compléter cette base en une base de Թସ.

Deuxième partie

3. Montrer que ܨ

4. Déterminer une base de ܨ

5. A-t-on ܨْܧ

Troisième partie

Allez à : Correction exercice 23

Exercice 24.

1. Donner une base de ces deux sous-espaces vectoriels de Թସ.

2. A-t-on ܨْܧ

Espaces Vectoriels Pascal lainé

5

Allez à : Correction exercice 24

Exercice 25.

1. Montrer que ܧ

2. A-t-on ܨْܧ

On justifiera la réponse.

Allez à : Correction exercice 25

Exercice 26.

Soit ܨൌܸ݁ܿ

On admettra que ܧ

1. Donner une base de ܧ

2. Déterminer une base de ܨ

3. Donner une (ou plusieurs) équation(s) qui caractérise(nt) ܨ

4. Donner une famille génératrice de ܧ൅ܨ

5. Montrer que : ܨْܧ

Allez à : Correction exercice 26

Exercice 27.

Soient

On admettra que ܧǡܨଵ et ܨ

3. A-t-on ܨଵܨْ

5. A-t-on ܨْܧ

Allez à : Correction exercice 27

Exercice 28.

1. Montrer que ܧǡܨ et ܪ

espaces vectoriels.

2. Déterminer ܧ൅ܨ

3. Montrer que ܪ۩ܧ

Allez à : Correction exercice 28

Exercice 29.

Espaces Vectoriels Pascal lainé

6 la dimension de ܧ

Allez à : Correction exercice 29

Exercice 30.

On admettra que ܧ

1. Déterminer une base de ܧ

2. Compléter cette base de ܧ

Allez à : Correction exercice 30

Exercice 31.

1. Montrer que ܧ et ܨ

2. Donner une base de ܧ et une base de ܨ

3. A-t-on ܨ۩ܧ

Allez à : Correction exercice 31

Exercice 32.

Allez à : Correction exercice 32

Exercice 33.

Soient ܲ

Allez à : Correction exercice 33

Exercice 34.

Allez à : Correction exercice 34

Exercice 35.

2. Donner une base de ܧ

Allez à : Correction exercice 35

Espaces Vectoriels Pascal lainé

7

Exercice 36.

2. Déterminer une base et la dimension de ܧ

Allez à : Correction exercice 36

Exercice 37.

indépendantes?

Allez à : Correction exercice 37

Exercice 38.

Allez à : Correction exercice 38

Exercice 39.

Soit ܧ

Montrer que ܧ

Allez à : Correction exercice 39

Exercice 40. (Hors programme)

espace vectoriel. b. Vérifier que le système ܵ

Allez à : Correction exercice 40

CORRECTIONS

Correction exercice 1.

Sinon " deviné » ci-dessus.

Allez à : Exercice 1

Correction exercice 2.

1.

Espaces Vectoriels Pascal lainé

8

Donc la famille est libre

3. :

Donc la famille est liée.

Sinon on se lance dans un gros calcul

relation : 4. la première et la seconde

La famille est libre.

Allez à : Exercice 2

Correction exercice 3.

1. Oui évidemment, sinon

2. 3.

Espaces Vectoriels Pascal lainé

9

Il existe une combinaison linéaire non identiquement nulle de ces trois vecteurs, la famille est liée.

4.

La famille est libre.

forment une famille liée, en rajoutant ݁ସ cela ne change rien, la famille est liée.

Allez à : Exercice 3

Correction exercice 4.

Allez à : Exercice 4

Correction exercice 5.

Première méthode

-൅-൅-൅-ൌ- donc -Թరܧא

Deuxième méthode

Espaces Vectoriels Pascal lainé

10

Un vecteur de ܧ

cette famille est déjà génératrice).

Allez à : Exercice 5

Correction exercice 6.

les) relation(s) reliant ces vecteurs.

Autre façon de voir les choses :

Cette dernière relation étant vraie pour tout ߜ et pour tout ߳

Ce ne sont pas les seules relations entre ces vecteurs, si on fait la somme ou la différence, on trouve

dessus avec ߜൌ߳

Allez à : Exercice 6

Correction exercice 7.

Espaces Vectoriels Pascal lainé

11

Allez à : Exercice 7

Correction exercice 8.

1. 2. 3.

Il existe une combinaison linéaire non identiquement nulle de ces trois vecteurs, la famille est liée.

4.

La famille est libre.

forment une famille liée, en rajoutant ݒସ cela ne change rien, la famille est liée.

Allez à : Exercice 8

Correction exercice 9.

réciproquement) ou si les ensemble sont égaux. savoir si les vecteurs qui engendrent ܩ sont dans ܨ

Cela montre que ܨؿܩ

forment une base de ܩ

Espaces Vectoriels Pascal lainé

12 Il faut montrer que les trois vecteurs qui engendrent ܨ de ܨ

On trouve

Autrement dit ܩ est inclus dans ܨ mais ܨ ܩ

Allez à : Exercice 9

Correction exercice 10.

1.

Cette famille est liée.

2. Si ݊ൌ-݌൅ͳ

La famille est libre.

Si ݊ൌ-݌

La famille est liée

3.

La famille est libre.

Allez à : Exercice 10

Correction exercice 11.

génératrice de ܨ

Espaces Vectoriels Pascal lainé

13 mple en trouvant pour ܧ et ܨ ces espaces.

Allez à : Exercice 11

Correction exercice 12.

La réponse est oui.

Allez à : Exercice 12

Correction exercice 13.

1.

Première méthode

Donc Et

On a bien

Deuxième méthode

On cherche une (ou plusieurs) équation cartésien caractérisant ܧൌܸ݁ܿ

Espaces Vectoriels Pascal lainé

14 2. Le tout est de savoir si ݑଵܸא݁ܿ

Par conséquent

4.

Première méthode

Donc Pour les mêmes raisons que dans la première méthode. 5. -espaces vectoriels est réduite au vecteur nul, ce qui que la somme de ces deux sous-Թସ).

évident.

donc

Autre méthode

A la question 1°) on a montré que

Espaces Vectoriels Pascal lainé

15

ݑସ et de ݑହ

pour en déduire que ݑସܧב et que ݑହܧב et que par conséquent ܸתܧ݁ܿ

Allez à : Exercice 13

Correction exercice 14.

sont peut-Թସ, ils ne sont donc pas supplémentaires dans Թସ. 2. dimension de cet espace sera ͵ et celle de ܸ݁ܿ dimensions sera ͷ. Donc ces espace ne sont pas supplémentaires dans Թସ. de ces espaces est réduite au vecteur nul. tels que :

Ce qui entraine que

Cela montre que

montrer. de Թସ et que Mais dans cet exercice il fallait quand montrer que

On y va :

Espaces Vectoriels Pascal lainé

16

Allez à : Exercice 14

Correction exercice 15.

1. -ൌ-ൈ- donc -Թమܧא

Pour tout ߣ et ߣ

Donc ߣݑ൅ߣᇱݑᇱܧא. Ce qui montre que ܧ

Allez à : Exercice 15

Correction exercice 16.

ߣଷൌͳ, ߣଵൌെ- et ߣ

Autrement dit

2. -൅-൅-ൌ-, par conséquent -Թయܨא

Soient ߣ et ߣ

Ce qui montre que ߣݑ൅ߣᇱݑᇱܨא

Finalement ܨ

Espaces Vectoriels Pascal lainé

17

En utilisant ݑൌܽߛ൅ܾߜ

Allez à : Exercice 16

Correction exercice 17.

1. -൅-ൌ-֜-Թయܧא

Comme de ܧ 2.

Première méthode

liée, ce qui est faux, donc ݑଷܨב

Deuxième méthode

t pas possible, par conséquent ݑଷܨב 4.

Espaces Vectoriels Pascal lainé

18

Donc si on pose ܽ

La famille est liée par la relation

Ce qui montre bien que ݑସܨא

Allez à : Exercice 17

Correction exercice 18.

1. Première méthode

ߣݑ൅ߣᇱݑᇱܧא, ce qui achève de montrer que ܧ

Deuxième méthode

montre que

Et que par conséquent ܧ

2. Première méthode.

Par conséquent

Espaces Vectoriels Pascal lainé

19 אߙԹ tel que ݑൌߙ

Deuxième méthode

On cherche une ou plusieurs équations caractérisant ܨ

Ensuite

Par conséquent ݑൌቀെଵ

On trouve le même résultat.

Troisième méthode

On cherche une équation du plan ܨ

orthogonal à ce plan est ܾרܽ Puis on finit comme dans la deuxième méthode.

Allez à : Exercice 18

Correction exercice 19.

Espaces Vectoriels Pascal lainé

20 1.

Autre méthode

Et finalement ܧ

engendrée par le vecteur ܽ 3. 4. puisque cette famille a trois éléments)

Allez à : Exercice 19

Correction exercice 20.

1°)

Espaces Vectoriels Pascal lainé

21

Autre méthode

Et finalement ܧ

engendrée par le vecteur ܽ

3°)

une base de ܨ

4°)

de Թଷ, puisque cette famille a trois éléments)

Espaces Vectoriels Pascal lainé

22

Allez à : Exercice 20

Correction exercice 21.

1.

Autre méthode

Et finalement ܧ

engendrée par le vecteur ܽ 3. 4. Թଷ, puisque cette famille a trois éléments)

Espaces Vectoriels Pascal lainé

23

Allez à : Exercice 21

Correction exercice 22.

1. Ce qui montre que െ-ܽെ͵ܾ൅ܿൌ-Թయ et que െܽെܾ

Par conséquent

3.

Une équation caractérisant ܧ

Allez à : Exercice 22

Correction exercice 23.

Première partie

1.

Espaces Vectoriels Pascal lainé

24

Allez à : Exercice 23

Deuxième partie

3. -ൈ-൅͸ൈ-൅͹ൈ-െ-ൌ- donc -Թరܨא

-ݔ൅͸ݕ൅͹ݖെݐൌ- et -ݔԢ൅͸ݕԢ൅͹ݖԢെݐԢൌ-. Soient ߣ et ߣ

Donc ܨ

Il reste à montrer que cette famille est libre :

On a alors ܨْܧ

Allez à : Exercice 23

Troisième partie

Espaces Vectoriels Pascal lainé

25

Allez à : Exercice 23

Correction exercice 24.

1.

Espaces Vectoriels Pascal lainé

26
somme directe.

3. ܽ

Donc ܨבܽ, par conséquent ܨתܩ

On a ܨْܩ

Allez à : Exercice 24

Correction exercice 25.

1. -൅-ൈ-െ͵ൈ-ൌ- donc -Թయܧא

Pour tout ߣ et ߣ

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