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Art et Mathématiques

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Exercice 4. 5 points. L'entreprise ECOLOR est spécialisé dans la production et la vente de peinture éco-responsable. La production.

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Exercice 4 5 points

L'entreprise ECOLOR est spécialisé dans la production et la vente de peinture éco-responsable. La production

quotidienne varie entre 0 et 800 litres. Toute la production est vendue. Les montants de la recette et du coût

sont exprimés en dizaine d'euros.

Partie A : lecture graphique

À l'aide du graphique ci-dessus, répondre aux questions suivantes.

1. Déterminer le coût de production de 200 litres de peinture.

2. Quelle est la production de peinture pour avoir une recette de 5000 € ?

3. À partir de combien de litres de peinture vendus l'entreprise réalise-t-elle un bénéfice ?

4. L'entreprise peut-elle réaliser un bénéfice de plus de 3000 euros pour une production quotidienne variant

entre 0 et 800 litres ? Justifier.

Partie B : étude du bénéfice

Le bénéfice en dizaine d'euros correspond à la vente de x centaines de litres de peinture est donné par la fonc-

tion f définie sur l'intervalle [0;8] par : f(x)=25x-150e-0,5x+1

1. Donner les valeurs exactes de f(0) et f(8), puis en donner les valeurs arrondies au centième.

2. Montrer que la dérivée

f' de la fonction fdéfinie sur l'intervalle [0;8] est : f'(x)=25+75e-0,5x+1.

3. Déterminer le signe de

f' et en déduire les variations de fsur l'intervalle [0;8].

4.a. Justifier que l'équation f(x)=0 admet une unique solution

α sur l'intervalle [0;8] puis en donner la valeur arrondie au centième.

4.b. En déduire la quantité de peinture produite et vendue à partir de laquelle l'entreprise ECOLOR réalisera

un bénéfice. Donner le résultat au litre près.

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CORRECTION

Partie A : lecture graphique

1. On détermine l'ordonnée du point de la courbe:coût de production d'abscisse 2 (2 centaines de litres),

on obtient 300 (300dizaines d'euros). Le coût de production de 200 litres de peinture est : 3000€.

2. On détermine l'abscisse du point de la courbe: Recette d'ordonnée 500 ( 500dizaines d'euros), on obtient 5

(5 centaines de litres). L'entreprise doit produire 500 litres de peinture pour obtenir une recette de 5000 €.

3. L'entreprise réalise un bénéfice lorsque la courbe : Recette est au dessus de la courbe : coût de production.

On détermine l'abscisse du point d'intersection de ces deux courbes, on obtient 3,2 (centaines de litres).

L'entreprise réalise un bénéfice pour toute production supérieure à 320 litres.

4. Le bénéfice réalisé par l'entreprise pour une production donnée est la différence entre la recette et le coût

de production.

Pour une valeur de x donnée (supérieure à 3,2) le bénéfice est la différence des ordonnées entre les points

des deux courbes d'abscisses x.

On constate que cette différence est maximale pour x=8 cette différence est égale à 190 (dizaines d'euros).

Le bénéfice quotidien est infétieur à 1900 € donc il n'existe pas de production permettant d'obtenir un

bénéfice de 3000 €.

Partie B : étude du bénéfice

1. f(x)=25x-150e-0,5x+1

f(0)=25×0-150×e-0,5×0+1=-150e1= -407,74 au centième près. f(8)=25×8-150e-4+1=200-150e-3= 192,53 au centième près.

2. (eu)'=u'eu (e-0,5x+1)'=-0,5e-0,5x+1

Pour tout nombre réel de l'intervalle [0;8]

f'(x)=25-150×(-0,5e-0,5x+1) f'(x)=25+75e-0,5x+1

3. Pour tout nombre réel x de l'intervalle [0;8]

e-0,5x+1>0 donc f'(x)>0 f est strictement croissante sur [0;8]

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4.a. f est continue et strictement croissante sur l'intervalle [0;8], f(0) < 0 et f(8) > 0 donc le théorème des

valeurs intermédiaires nous permet d'affirmer que l'équation f(x)=0admet une unique solution α appartenant à l'intervalle [0;8].

f(3,23)=-0,35 < 0 et f(3,24)=0,31 > 0 donc

3,23<α<3,24 f(3,235)=-0,02 < 0 donc

3,235<α<3,24 3,24 est la valeur arrondie au centième de

4.b. f(α)=0 et si

α ⩽ x alors f(α)=0 ⩽ f(x).

αest l'abscisse du point d'intersection des courbes:Recette et Coût de production.

α=3,24 (centaines de litres).

Il faut donc produire 324 litres de peinture pour que l'entreprise réalise un bénéfice.quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

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Partie A : lecture graphique

1. Déterminer le coût de production de 200 litres de peinture.

2. Quelle est la production de peinture pour avoir une recette de 5000 € ?

3. À partir de combien de litres de peinture vendus l'entreprise réalise-t-elle un bénéfice ?

4. L'entreprise peut-elle réaliser un bénéfice de plus de 3000 euros pour une production quotidienne variant

Partie B : étude du bénéfice

1. Donner les valeurs exactes de f(0) et f(8), puis en donner les valeurs arrondies au centième.

2. Montrer que la dérivée

3. Déterminer le signe de

4.a. Justifier que l'équation f(x)=0 admet une unique solution

4.b. En déduire la quantité de peinture produite et vendue à partir de laquelle l'entreprise ECOLOR réalisera

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CORRECTION

Partie A : lecture graphique

1. On détermine l'ordonnée du point de la courbe:coût de production d'abscisse 2 (2 centaines de litres),

2. On détermine l'abscisse du point de la courbe: Recette d'ordonnée 500 ( 500dizaines d'euros), on obtient 5

3. L'entreprise réalise un bénéfice lorsque la courbe : Recette est au dessus de la courbe : coût de production.

4. Le bénéfice réalisé par l'entreprise pour une production donnée est la différence entre la recette et le coût

Partie B : étude du bénéfice

1. f(x)=25x-150e-0,5x+1

2. (eu)'=u'eu (e-0,5x+1)'=-0,5e-0,5x+1

Pour tout nombre réel de l'intervalle [0;8]

3. Pour tout nombre réel x de l'intervalle [0;8]

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4.a. f est continue et strictement croissante sur l'intervalle [0;8], f(0) < 0 et f(8) > 0 donc le théorème des

3,23<α<3,24 f(3,235)=-0,02 < 0 donc

3,235<α<3,24 3,24 est la valeur arrondie au centième de

4.b. f(α)=0 et si

α ⩽ x alors f(α)=0 ⩽ f(x).

α=3,24 (centaines de litres).