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Eléments de statistique pour citoyens d'aujourd'hui et managers de demain

HEC formation fondamentale L3 Prof. : Hedi

Benamar, Aurélien Garivier, Gilles Stoltz Année universitaire 201011

Table des matières

Avant-propos : Objectifs et règles du jeui

1. Présentationsi

2. Objectifs et déroulement du cours, règles du jeuiii

Partie 1. Panorama de la démarche statistique1

Version rédigée du cours3

1. Des données à une modélisation3

2. Un exemple du travail du mathématicien : la construction de fourchettes 4

3. Tests d'hypothèses :

Pourquoi deux résultats contradictoires peuvent être simultanément vrais! 9

Compléments pour étudiants avancés13

4. Théorie des tests, suite13

Exercices15

Partie 2. Recueil, représentation et modélisation de données21

Version rédigée du cours23

1. Les diérents types de données23

2. Le recueil des données et son but26

3. Modélisation mathématique : les lois classiques et le cas général32

Compléments pour étudiants avancés39

4. Deux autres lois parfois utiles en modélisation39

Exercices41

Partie 3. Interlude : deux quizz sur la modélisation47

Premier énoncé (sujet posé en 2009)49

Premier corrigé (sujet posé en 2009)51

Second énoncé (sujet posé en 2008)57

Second corrigé (sujet posé en 2008)59

Partie 4. Estimation ponctuelle et quantiles des lois usuelles65

Version rédigée du cours67

1. Notions d'estimateur et d'estimée67

2. Première qualité éventuelle d'un estimateur : le caractère sans biais68

3. Deuxième qualité éventuelle d'un estimateur : la consistance70

4. Quantiles d'une loi72

Compléments pour étudiants avancés75

5. Troisième qualité éventuelle d'un estimateur : la normalité asymptotique 75

6. Cas particulier : estimation d'une tendance centrale76

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7. La méthode des moments80

Exercices85

Partie 5. Estimation par intervalles93

Version rédigée du cours95

1. Le minimum de vocabulaire pour commencer96

2. Intervalles de conance asymptotiques sur la moyenne98

3. Planication de sondages103

4. Comment estimer la moyenne lorsque la taille d'échantillon est petite? 108

5. Intervalles de conance simultanés110

Compléments pour étudiants avancés115

6. Intervalles de conance sur la variance115

Exercices117

Partie 6. Interlude : deux quizz sur l'estimation135

Premier énoncé (sujet posé en 2009)137

Premier corrigé (sujet posé en 2009)139

Second énoncé (sujet posé en 2008)151

Second corrigé (sujet posé en 2008)153

Partie 7. Introduction aux tests : tests de comparaison d'une moyenne à une valeur de référence157

Version rédigée du cours159

1. Méthodologie des tests : deux exemples160

2. Méthodologie des tests : théorie générale165

3. Tests de comparaison d'une moyenne à une valeur de référence172

Compléments pour étudiants avancés181

4. Liens entre intervalles de conance et tests181

Exercices183

Partie 8. Interlude : deux quizz sur les tests de comparaison à une valeur de référence191

Premier énoncé (sujet posé en 2009)193

Premier corrigé (sujet posé en 2009)197

Second énoncé (sujet posé en 2008)205

Second corrigé (sujet posé en 2008)207

Partie 9. Compléments sur les tests, et notamment, tests à partir d'échantillons indépendants ou appariés215

Version rédigée du cours217

1. Avant de commencer, une citation et un retour sur le sens profond des tests 217

2. Retour SPSS sur le test de comparaison d'une seule moyenne à une valeur de

référence218

3. Première étude : cas des échantillons appariés221

4. Seconde étude : échantillons indépendants, le cas des proportions222

5. Troisième étude : échantillons indépendants, le cas général2284 Hedi Benamar, Aurélien Garivier, Gilles Stoltz (http://www.hec.fr/stoltz)

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6. Complément (non facultatif) : Tests de normalité230

Compléments pour étudiants avancés233

7. Echantillons indépendants, cas général : compléments mathématiques 233

8. Tests d'ajustement à une loi ou une famille de lois235

Exercices239

Partie 10. Tests duffl2253

Version rédigée du cours255

1. Motivation : non pas manipuler mais détecter les manipulations255

2. Test duffl2d'ajustement simple257

3. Test duffl2d'indépendance entre deux variables qualitatives262

4. Rappel : cas de deux classes ou de deux fois deux classes271

Compléments pour étudiants avancés273

5. Utilisation du test duffl2pour tester l'adéquation à des lois continues 273

6. Test duffl2d'ajustement à une famille de lois273

Exercices279

Partie 11. Interlude : quizz sur l'ensemble des parties sur les tests285

Enoncé (sujet posé en 2009)287

Corrigé (sujet posé en 2009)291

Partie 12. Cas de révision pour la modélisation, l'estimation et les tests297

Enoncé du cas Votre Santé 299

Corrigé du cas Votre Santé 301

Partie 13. Régression linéaire simple309

Version rédigée du cours311

1. Présentation du modèle et de ses objectifs311

2. Analyse descriptive : choix de la meilleure régression linéaire315

3. Enrichissement du point de vue : modèle linéaire gaussien319

4. Vérication de l'existence d'une relation linéaire322

5. En pratique : décryptage des sortiesSPSSet interprétation économique de la

relation proposée324

6. Prédiction en un nouveau point; détection des valeurs atypiques327

Compléments pour étudiants avancés331

7. Estimation et prédiction en un nouveau pointx(détails mathématiques) 331

Exercices333

Partie 14. Régression linéaire multiple345

Version rédigée du cours347

1. Le modèle linéaire multiple347

2. Un zeste d'algèbre linéaire350

3. Lecture et interprétation de sortiesSPSS353

4. Comparaison et choix de modèles linéaires; procédures de sélection de variables

explicatives362

5. Variables explicatives qualitatives367Hedi Benamar, Aurélien Garivier, Gilles Stoltz (http://www.hec.fr/stoltz) 5

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Compléments pour étudiants avancés369

Exercices371

Partie 15. Annales d'examen (tous les énoncés, la plupart des corrigés)403 Examen principal, session 200910 : énoncé uniquement405 Examen de rattrapage, session 200910 : énoncé uniquement429 Examen principal, session 200809 : énoncé439

Examen principal, session 200809 : corrigé451

Examen de rattrapage, session 200809 : énoncé453 Examen de rattrapage, session 200809 : corrigé461 Examen principal, session 200708 : énoncé463

Examen principal, session 200708 : corrigé469

Examen de rattrapage, session 200708 : énoncé471 Examen de rattrapage, session 200708 : corrigé479

Partie 16. Fiches de synthèse481

Rappel des contenus étudiés partie après partie483 Panorama de la démarche statistique (cf. partie 1)485 Recueil, représentation et modélisation de données (cf. partie 2)487 Estimation ponctuelle et quantiles des lois usuelles (cf. partie 4)491

Estimation par intervalles (cf. partie 5)493

Tests de comparaison d'une moyenne à une valeur de référence (cf. partie 7) 497

Compléments sur les tests (cf. partie 9)503

Tests duffl2(cf. partie 10)507

Régression linéaire simple (cf. partie 13)511 Régression linéaire multiple (cf. partie 14)517

Partie 17. Tables des lois statistiques5216 Hedi Benamar, Aurélien Garivier, Gilles Stoltz (http://www.hec.fr/stoltz)

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Avant-propos : Objectifs et règles du jeu

1. Présentations

1.1. Vos enseignants.

Vos enseignants pour les cours magistraux sont

Hedi Benamar, doctorant en nance à HEC Paris, Aurélien Garivier, chercheur au CNRS, et pour les sessions de travaux pratiques, Gilles Stoltz, professeur alié à HEC Paris et chercheur au CNRS. Le site web du courshttp://www.hec.fr/stoltz(rubrique : Statistiques L3) est

très complet et vous permettra par exemple de récupérer les diérents polycopiés en cas

d'absence; les exemplaires restants étant par ailleurs également remisés au bureau de promotion L3, chez Béatrice Poivre. Le site comprend également les chiers de données SPSSpour les sessions de travaux pratiques, ainsi que les corrigés des quizz que nous ferons au cours du semestre.

1.2. Vous, les étudiants.Ce cours est taillé pour être parfaitement accessible aux

étudiants issus des voies EC/E, EC/S et B/L. En eet, Aurélien Garivier et Gilles Stoltz

ont été / sont interrogateurs au concours d'entrée à l'Ecole normale supérieure, voie B/L

et connaissent parfaitement le programme de cette voie; et les programmes de EC/E et EC/S sont encore plus exigeants et ambitieux au niveau mathématique. Ainsi, si vous décrochez à un moment donné, ce sera par manque de travail, pas par manque d'aptitude ni parce que le cours serait trop dicile! Pour les étudiants issue de la voie A/L, cela risque cependant d'être plus compliqué,

car vous n'avez pas vu les résultats fondamentaux nécessaires (notion de variable aléatoire,

indépendance, loi des grands nombres, théorème de la limite centrale). Votre objectif sera de pouvoir comprendre et mettre en ÷uvre les recettes statistiques et par compréhension,

on entend compréhension de loin, pas nécessairement dans le détail. N'hésitez pas à vous

signaler à votre enseignant en début de semestre. Des cours de soutien spéciques pourront être mis en place si le besoin s'en fait sentir. Remarque0.1.Pour les étudiants de EC/S et EC/E : nous avons observé les années

précédentes une faiblesse de votre formation en probabilités et statistique (par rapport à

celle en analyse et algèbre). Cela tient notamment à la formation initiale de vos enseignants (les plus jeunes d'entre eux, cependant, ont souvent passé l'agrégation avec l'option de

probabilités et statistique).Hedi Benamar, Aurélien Garivier, Gilles Stoltz (http://www.hec.fr/stoltz) i

Eléments de statistique pour citoyens d'aujourd'hui et managers de demain Figure 1.Je vous souhaite de ne pas mettre les pieds dans une entreprise comme celle-ci. A vrai dire, il tiendra beaucoup à vous qu'il n'en soit pas ainsi! Par ailleurs, le programme ociel de la voie EC/S est ambitieux, trop ambitieux :

en gros, le contenu de nos cinq premières séances de cours (sur douze) devrait déjà être

connu, mais nous savons que ce n'est que partiellement le cas, et que même lorsque les ma- thématiques correspondantes sont connues, les interprétations, essentielles en statistique,

ne le sont pas. Or, ces interprétations, c'est votre valeur ajoutée de futurs anciens élèves

d'une école de commerce... Vous pourrez donc avoir l'impression de redites, mais ce sera sans doute une impression trompeuse. Par conséquent, ne vous reposez surtout pas sur vos lauriers!

1.3. Le cours.Depuis cette année 201011, vous bénéciez tous, quelle que soit votre

lière d'origine, d'un cours de statistique de niveau assez avancé, associé à un (très) gros

polycopié. Pour vous, ce cours de statistique ne ressemblera pas à l'application de recettes de cuisine sortie de nulle part. Au contraire, vous aurez un aperçu des raisonnements mathématiques y conduisant et vous serez dès lors davantage conscients de la logique et des limites de chaque méthode. De plus, nous ferons le lien entre les mathématiques de classes préparatoires et les mathématiques universitaires nécessaires. Cela vous demandera

de fournir un réel travail, ce qui pourra vous sembler agaçant en ces mois où vos pensées

se tournent plus vers la fête. Mais cela vous donnera une plus grande assurance face au traitement des chires pour le reste de votre carrière. En termes de liens avec l'entreprise, l'objectif principal est en fait d'éviter la situation de la gure 1. Plus sérieusement, nous voyons deux intérêts majeurs à ce cours pour votre vie future intérêts qui lui donnent d'ailleurs son nom. Un intérêt en termes de management : un premier poste typique est celui de chef de produit, et cela implique de mener des études marketing. Selon la taille de l'en-

treprise, vous aurez à écrire l'enquête, à la conduire et à en exploiter les résultats

ou vous devrez superviser les opérations précédentes. Même dans le second cas (peu courant!), vous savez bien qu'on ne peut superviser ecacement (sans se faire rouler par ses subordonnés) que quelque chose que l'on maîtrise un peu soi-même. A noter : les cours de marketing approfondiront et développeront les techniques vues dans ce cours d'un point de vuebusiness; ils omettront en revanche les mathématiques sous-jacentes.ii Hedi Benamar, Aurélien Garivier, Gilles Stoltz (http://www.hec.fr/stoltz) Eléments de statistique pour citoyens d'aujourd'hui et managers de demain Un intérêt citoyen, un élément-clé de votre formation humaine générale citons Herbert George Wells (écrivain britannique, 18661946) : Statistical thinking will one day be as necessary for ecient citizenship as the ability to read and write. En eet, nous verrons que les chires ne parlent pas d'eux-mêmes, et même pire, qu'on peut les manipuler et se faire manipuler. Cependant, un statisticien averti arrive à détecter cela. ... Sans compter que ce cours vous servira dès cette année ou la suivante pour vos mis- sions JE ou pour traiter des données lors de missions humanitaires : si, si, vous n'imaginez pas les mails que nous pouvons recevoir quelques mois après le cours une fois que tout est malheureusement oublié et que vos prédécesseurs veulent remettre leurs connaissances à plat...!

2. Objectifs et déroulement du cours, règles du jeu

Ce qui suit ici pourra être adapté par chacun des enseignants. En tout état de cause, ces règles du jeu seront précisées lors du premier cours.

2.1. Déroulement pratique des cours, évaluation.

Déroulement pratique:

1h30 de cours magistral, tous les mercredis après-midis (13h14h30 ou 14h4016h10), en groupes d'environ 40 étudiants. Pour chaque étudiant, une séance de TPs de 1h30; elles seront eectuées en demi- groupes d'environ 20 étudiants, vers n avril ou début mai (les séances seront ins- crites dans votre calendrier Intranet). Remarque0.2.Pour les TPs, vous pourrez utiliser soit les ordinateurs des salles où nous serons (ils seront équipés de SPSS 18), soit votre propre ordinateur, à la condition expresse d'avoir installé au préalable SPSS 18 (voirhttps://intranet.hec.fr/mi/pour l'installation de ce dernier). Contactez les moyens informatiques de l'Ecole en cas de souci; à chacun ses tâches : en aucun cas nous ne serons vos techniciens d'installation SPSS. Evaluation: la note nale est déterminée à partir des notes obtenues aux quizz de 30 minutes (sans documents); la présence aux quizz est obligatoire, l'absence à un quizz vaut la note F; des compte-rendus de TPs (eectués seul ou en binôme, mais pas à plus de deux); la présence en TPs est obligatoire, l'absence

1à la séance de TP à laquelle vous avez

été aecté entraîne la note F;

de l'examen nal (avec documents); à tout cela s'ajoute un bonus / malus éventuel déterminé en fonction de la présence physique aux cours (mesurée par une feuille d'émargement passée dans les rangs) et de la participation orale (ou écrite : cf. par exemple le signalement par email des

coquilles situées dans le polycopié).1. La seule tolérance est en cas depermutationd"un étudiant avec un autre, annoncée à l"avance par

email; nous sommes obligés d"appliquer cette règle stricte à cause de débordements qui sont arrivés les

années précédentes, avec des TPs à 12 étudiants, et d"autres à 35!Hedi Benamar, Aurélien Garivier, Gilles Stoltz (http://www.hec.fr/stoltz) iii

Eléments de statistique pour citoyens d'aujourd'hui et managers de demain La distribution des notes nales est contrainte depuis cette année par des règles uniformes entre les diérents groupes et cours de l'Ecole HEC (par exemple, taux maximal de notes A xé à20%, taux maximal de notes A + B + C xé à70%). Remarque0.3 (Documents aux quizz et à l'examen).Tous les polycopiés de cours seront autorisés à l'examen. En revanche,aucundocument n'est autorisé lors des quizz, mais une calculatrice y sera souvent nécessaire. Remarque0.4 (Annales des examens).A la n de ce polycopié, vous trouverez six sujets d'examen (examens principaux et de rattrapage des années 200708, 200809 et

200910).

2.2. Comportement en cours.Cela nous désole d'ajouter un tel paragraphe à cet

avant-propos; c'est le fruit de débordements passés. Ainsi : Il va sans dire qu'il est interdit d'utiliser son téléphone portable en cours, de même que tout ordinateur portable. Seule une calculatrice est utile, voire indispensable (notamment pour les quizz). En ce qui concerne toute absence prévisible et légitime (la détermination du caractère légitime nous revenant de droit) : merci de nous en informer par mail au préalable, notamment s'il s'agit d'un TP ou en cas de quizz. L'arrivée en retard à un quizz réduit d'autant la durée de composition de ce dernier : aucun temps supplémentaire ne sera accordé.

2.3. Format des polycopiés, méthode de travail.

2.3.1.Format des polycopiés.A chaque unité de cours correspond une partie de ce

polycopié, divisée elle-même en trois chapitres :

1. la version rédigée du cours que nous écrivons au tableau (pratique pour les absents

ou pour ceux qui auraient été mal réveillés); elle se lit comme un roman et votre mission sera de la relire au plus une fois;

2. des compléments de cours facultatifs pour les étudiants motivés qui veulent aller

plus loin (on ne les verra pas en cours, ils ne seront pas au programme de l'examen);

3. des exercices, avec corrections : nous en ferons quelques-uns en cours mais la

plupart d'entre eux seront à faire chez vous, dans un premier temps sans regarder la correction; à votre demande expresse, nous pourrons revenir sur certains d'entre eux en cours si la correction écrite est trop laconique à votre goût. Enn :

4. Il est également à noter que le polycopié se clôt par une série de ches de synthèse

rappelant, pour chaque partie, les notions à retenir pour la suite du cours et pour l'examen. (Il est donca prioriinutile de cher le cours, puisque nous l'avons fait pour vous.)

5. Des annales des quizz sont disséminées dans le polycopié, dans des parties à part;

les annales des examens sont quant à elles groupées en n de polycopié. Eectuez les quizz pour vous entraîner et méditez bien la correction que nous en avons faite : notre expérience nous montre que la plupart des erreurs que nous y soulignons se répercutent malgré tous les eorts de promotion en promotion (notamment en ce qui

concerne la rédaction)!iv Hedi Benamar, Aurélien Garivier, Gilles Stoltz (http://www.hec.fr/stoltz)

Eléments de statistique pour citoyens d'aujourd'hui et managers de demain Remarque0.5 (De notre exibilité).Ce découpage de chaque partie en trois chapitres

et une che de synthèse est issu des souhaits des étudiants des années précédentes et permet

de satisfaire tous les goûts : ceux qui aiment les exercices, ceux qui veulent des ches de

synthèse, ceux qui préfèrent un cours rédigé et reprécisant les articulations essentielles,

ceux qui veulent aller plus loin, etc. Si vous avez des suggestions de présentation, d'ajout de contenu, etc., nous sommes à votre disposition pour en discuter et les mettre en ÷uvre. Remarque0.6 (Clés pour le management).Nous n'oublions pas que nous sommes dans une école de commerce (et pas en faculté de mathématiques). Les formules de mathé- matiques, vous les oublierez, nous ne nous faisons aucune illusion. Mais au l des diérents

cours, nous vous écrirons au début de la che de synthèse, en toutes lettres, les points-clés

culturels à méditer. La culture : ce qu'il reste quand on a tout oublié! Mais qui aura formé

votre esprit à ne pas penser l'étude des chires de manière binaire (vrai ou faux) et vous aura montré tous les écueils et dicultés de cette science délicate.

2.3.2.Méthode de travail suggérée.Nous vous proposons après chaque cours d'en

relire la version rédigée et de faire les exercices. Il n'est pas nécessaire de prendre des notes en cours; il vaut peut-être mieux se concentrer sur le tableau et suivre en direct les enchaînements (qui vont un peu vite parfois : arrêtez-nous!). Posez vos questions au l du trimestre, et n'attendez pas d'être dépassés. Les quizz vous permettront de vous tester et voir s'il faut redresser la barre. Dans tous les cas, un

travail sérieux et régulier (environ 1h30 à 2h) par semaine sera nécessaire. Le cours est en

format réduit (douze séances de 1h30, à comparer aux 24 séances de 1h30 en économie ou

en droit); mais c'est parce qu'une partie du travail d'assimilation doit être faite chez vous.

2.4. Contenu pédagogique du cours.Les objectifs pédagogiques, que nous allons

préciser dans le premier chapitre de rappels, sont les suivants : faire le lien entre des données et un modèle mathématique; exploiter cette modélisation et appliquer la bonne méthode statistique pour arriver à une quantication (fourchette de valeurs, degré de crédibilité d'une hypothèse); interpréter la quantication obtenue en termes stratégiques et savoir quel crédit lui apporter; être conscient que l'on ne peut pas toujours conclure ou que l'on se trompe parfois. En fait, la science statistique est dicile, au sens où étant donné des observations (issues d'un certain aléa), on veut eectuer des énoncés déterministes. Ainsi : Remarque0.7 (La statistique se trompe parfois).Souvenez-vous de l'exemple suivant, que nous étudierons plus en détails : lors des municipales 2008, les prévisionnistes ont d'abord donné, pour la mairie du 5ème arrondissement, Lyne Cohen-Solal gagnante (à

20h45), avant d'annoncer la victoire de Jean Tiberi (à 21h15). La n du dépouillement à

22h a conrmé la victoire de ce dernier.

Remarque0.8 (La statistique ne peut pas toujours conclure; il faut quantier les impressions) .Parfois, on manque de données et on ne peut pas se prononcer avec certitude. Par exemple, si je vous dis qu'on a lancé une pièce et que40% du temps, on a obtenu pile, et que je vous demande si la pièce est biaisée, que répondrez-vous? Tout dépend du nombre de lancers eectués : avec 10 lancers (4 fois pile, 6 fois face), on ne peut rien dire.

Et avec 100 lancers (40 fois pile, 60 fois face)? Et 1000 lancers (400 fois pile, 600 foisHedi Benamar, Aurélien Garivier, Gilles Stoltz (http://www.hec.fr/stoltz) v

Eléments de statistique pour citoyens d'aujourd'hui et managers de demain face)? On quantiera ensemble dans ce cours le seuilndu nombre d'observations à partir duquel cette proportion de40% indique de manière dite statistiquement signicative quequotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

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