[PDF] Méthodes mathématiques pour lingénieur

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Methodes mathematiques pour l'ingenieur

Ecole Polytechnique Universitaire - Genie Mecanique GM3A

Annee 2007-08

L. Mazliak

16 mars 2008

Table des matieres

1 Transformation de Fourier 2

1.1 Integrales dependant d'un parametre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.2 Proprietes deF. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3

1.3 Exemples fondamentaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.4 Transformation inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.5 Resolution des equations dierentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

2 Transformation de Laplace 8

2.1 Proprietes deL. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8

2.2 Exemple fondamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

2.3 Transformation inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

2.4 Resolution des equations dierentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

3 Series Numeriques10

3.1 Suites convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

3.2 Notion de serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

3.2.1 Series geometriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

3.2.2 Theoreme de comparaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

3.3 Series de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

4 Series de Fourier13

4.1 Jean Baptiste Joseph Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

4.2 Relations et polyn^omes trigonometriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

4.3 Coecients de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

5 Elements sur le theoreme des residus 18

5.1 Generalites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

5.2 Exemple de calcul d'integrale par la methode de residus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

Les notes de cours qui suivent concernent une initation a quelques notions fondamentales de l'analyse

mathematique : la transformation de Fourier, la transformation de Laplace, les series numeriques et les series

de Fourier et l'integration dans le champ complexe. 1

1 Transformation de Fourier

Motivation :Elle permet (entre autres) de calculer explicitement les solutions d'une classe assez large

d'equations dierentielles posees sur l'espace tout entier (R,R2, etc. ) en suivant le schema (Fdesigne la

transformation de Fourier) : Equation di.F!Equation plus simple!solutionF1!solution de l'eq. initiale.

1.1 Integrales dependant d'un parametre

Soitf:IRIR!IRune fonction continue.

Denition 1.1On dit quefest dominee sur[a;b]s'il existe une fonctiong:IR!IR+telle queZ +1 1 g(t)dt <

1etjf(t;x)jg(t);8x2[a;b].

On a alors la proposition suivante que nous admettrons. Proposition 1.2Soitf:IRIR!IRune fonction continue et dominee sur[a;b]. On poseF(x) =Z IR f(t;x)dtpourx2[a;b]. a)Fest denie sur[a;b]et continue sur[a;b]. b) Supposons que pour tout(t;x)2IR[a;b],@@x f(t;x)existe, soit continue en(t;x)et soit dominee sur[a;b].

AlorsFest derivable et

F

0(x) =Z

IR@@x f(t;x)dt;8x2[a;b]: Regardons l'exemple suivant : soitf(t;x) =et2x. Pourx2[a;b];0< a < b,jet2xjet2a. Comme R +1

1et2adt <1et (t;x)7!et2xest continue, sur [a;b],F(x) =Z

+1 1 et2xdtexiste et est continue.

Par ailleurs,

@@x et2x=t2et2x. Six2[a;b], j @@x et2xjt2et2a: Or, Z +1 1 t2et2adt <1(le verier!). Donc,Fest derivable sur [a;b] etF0(x) =Z +1 1 t2et2xdt: Denition 1.3a) Sif:R!Cest une fonction integrable surR, alors latransformee de Fourier def enu2Rest denie par(Ff)(u) =Z 1 1 ei2utf(t)dtb) L'application(Ff) :R!Cest appelee latransformee de Fourier def c) L'applicationfF! Ffest appelee latransformation de Fourier.

Remarques :

1.Ffest denie sur toutRcarjf(t)e2itxjjf(t)jqui est integrable surRpar hypothese.

2. La courbe representative dejFfjest appeleespectredef.

2

3. Une fonctionfperiodique non nulle n'etant pas integrable surR, on utilise dans cette situation les

series de Fourier que nous verrons ulterieurement dans la Section 4.

4. La transformation de Fourier s'etend a des fonctions plus generales, pas forcement integrables surR.

C'est le cas par exemple des fonctions de carre integrable surR, de l'impulsion de Dirac en zero (notee0),

des fonctions constantes, etc. Cette extension n'est pas traitee dans ces notes. Proposition 1.4 (Proprietes deFf)Soitf:R!Cest une fonction integrable surR. Alors (1)Ffest continue surR, (2) (Ff)(u)!0lorsquejuj ! 1.

Demonstration.(1) On utilise la Proposition 1.2.

(2) Nous nous limitons a la demonstration dans le cas oug:R!Cest de classeC1a support compact et nous

admettrons le cas general qui provient du fait que toute fonction integrable peut ^etre raisonnablement approximee

par une telle fonction. Sigest doncC1a support compact, une integration par parties montre que pouru6= 0, (Fg)(u) =Z 1 1 ei2utg(t)dt=1i2uZ 1 1 ei2utg0(t)dt:

On en deduit que lorsquejuj ! 1, (Fg)(u)!0.

1.2 Proprietes deF

Proposition 1.5Soitc1;c22C,a2Rn f0g,f;g:R!Cintegrables,F=Ff,G=Fg. Alors c

1f+c2gF!c1F+c2G(Fest lineaire)(1)

f(ta )F! jajF(at)(changement d'echelle)(2) f(t+a)F!ei2auF(u)(translation def)dephasage (modulation) deF)(3) e i2atf(t)F!F(ua)(modulation def)translation deF)(4)f

F!F(u)(conjugaison)(5)

(6) Demonstration.Ces proprietes viennent directement de la denition de la transformation de Fourier.

Une des proprietes les plus importantes de la transformation de Fourier est qu'elle permet de transformer

une operation integrale compliquee, la convolution, en un simple produit. Denition 1.6Soientfetgdeux fonctions integrables surIR, c'est a dire telles queZ +1 1 jf(t)jdt <1 et Z +1 1 jg(t)jdt <1. On appelleconvoleedefetgla fonction(fg)(t)def=Z 1 1 f(ts)g(s)ds= (gf)(t):3

Notons quefgest bien denie puisque

Z +1 1 (Z +1 1 jf(t)jjg(xt)jdt)dx Z +1 1 jf(t)j(Z +1 1 jg(xt)jdx)dt(par Fubini car tout est positif) Z +1 1 jf(t)j(Z +1 1 jg(u)jdu)dt <1 donc Z +1 1 jf(t)jjg(xt)jdt <1et donc (convergence absolue)Z +1 1 f(t)g(xt)dtest convergente.

On a alors

Proposition 1.7

fgF!FGetfgF!FG(convolution et produit)(7)

Demonstration.

(F(fg))(x) =Z +1 1 (fg)(t)e2itxdt Z +1 1 (Z +1 1 f(u)g(tu)du)e2itxdt Z +1 1 f(u)(Z +1 1 g(tu)e2itxdt)du(par Fubini) Z +1 1 f(u)e2iux(Z +1 1 g(tu)e2i(tu)xdt)du Z +1 1 f(u)e2iux(Z +1 1 g(v)e2ivxdv)du: Enn, on a les trois proprietes suivantes que nous admettrons (en notant quand m^eme que la troisieme est consequence directe de la deuxieme).

Proposition 1.8

(F(Ff))(u) =f(u)(reciprocite)(8)Z1 1

F(u)G(u)du=Z

1 1 f(t)g(t)dt(conservation du produit scalaire)(9) Z 1 1 jF(u)j2du=Z 1 1 jf(t)j2dt(Parseval)(10) 4

1.3 Exemples fondamentaux

Proposition 1.9Soita;b2R,n2N, etAla fonction indicatrice de l'ensembleA(c'est-a-dire que (t) = 1sit2A,(t) = 0sit62A). Alors b ]a;a[F!2absin(2au)2au(11) (1 jtj)]1;1[(t)F!sin(u)u 2(12) e jtjF!21 + (2u)2(13) t net]0;1[(t)F!n!(1 +i2u)n+1(14) e t2F!eu2(15)

0F!1 (16)

1

F!0(17)

Demonstration.

(i) Les quatre premiers exemples decoulent d'un calcul direct.A titre d'exemple, calculons la transformee de

Fourier deb]a;a[enu6= 0 :

F(b]a;a[)(u) =Z

1 1 ei2utb]a;a[(t)dt =bZ a aei2utdt=bi2u(ei2uaei2ua) bu e i2uaei2ua2i= 2absin(2au)2au:

Siu= 0, on a clairementF(b]a;a[)(0) = 2ab.

(ii) Nous allons maintenant determiner la transformee de Fourier def(t) =et2, (Ff)(x) =Z +1 1 et2ei2utdt: Comme Z +1 1 jtet2jdt <1, (Ff) est derivable et on a (Ff)0(u) =2iZ +1 1 tet2ei2utdt =2i[12 et2ei2ut]+1 1iuZ +1 1 et2ei2utdt =2u(Ff)(u):

Ainsi,Ffest solution de l'equation dierentielley0(u) =2uy(u). En resolvant cette equation, on deduit que

(Ff)(u) =Keu2, ouKest une constante. Comme (Ff)(0) =Z +1 1 et2dt=1p Z +1 1 ex2dx= 1; on obtient (Ff)(u) =eu2:

(iii) Les deux dernieres exemples ne resultent pas de la denition deFci-dessus car la masse de Dirac et la

fonction constante egale a 1 ne sont pas integrable surR. On peut se convaincre queF0= 1 en prenanta= 1=net

5

b=n=2, avecn! 1dans le premier exemple fondamental. Le dernier exemple est obtenu gr^ace a la propriete de

reciprocite (F1 =F(F0) =0car0est paire).

Exercices.

1. En utilisant la formule de reciprocite ci-dessus, montrer que

sintt

F!]12;12[

sintt

2F!(1 juj)]1

;1 [(u)

11 +t2F!ej2uj

n!(1 +iu)n+1F!(2)n+1(2u)ne2u]1;0[(u)

2. Calculer les transfomees de Fourier des fonctions suivantes :

e

2jtj; et2; et2sint; ]1;3[;

en se ramenant aux exemples fondamentaux ci-dessus.

3. Calculer la transformee de Fourier des fonctions suivantes

a.f(x) = 1 sia < x < bet 0 sinon. Que devient le resultat lorsqueb=a? b.f(x) =xsi 0< x < a c.f(x) =1 sia < x <0, 1 si 0< x < aet 0 sinon. d.f(x) =ekx;x >0 et 0 sinon (kconstante strictement positive) e.f(x) =x2;0< x <1 et 0 sinon.

1.4 Transformation inverse

Etant donne une fonctionF:R!C, on cherche a determinerf:R!Ctelle queFf=F. Naturelle- ment, cela n'est pas toujours possible. Neanmoins, la formule de reciprocite ci-dessus montre que :

Theoreme.Fest injective :Ff=Fg)f=gRemarque :Ce theoreme montre que la transformation de FourierFadmet une inverseF1: siFf=F,

alorsf=F1F. Comment calculer la transformee inverse d'une fonction donneeF? Le resultat general est donne par la proposition suivante que nous admettrons.

Proposition 1.10

F ormuleg eneraled'in versionde F ourier: SiFest integrable surR, alors f(t) =Z 1 1 ei2utF(u)du:

En pratique, etant donneF, il s'agit donc de calculer explicitement cette integrale, ce qui est souvent

delicat. Pour une classe assez large de fonctionsF, on peut se ramener aux exemples fondamentaux. 6

1.5 Resolution des equations dierentielles

La transformation de Fourier permet de resoudre explicitement une equation dierentielle lineaire en la

transformant en une equation plus simple. Par exemple, si l'equation du depart esta coecients constants,

la transformee de Fourier de cette equation est une equation algebrique. La transformation de Fourier est a

utiliser lorsque equation est posee sur toutR. Si les donnees de l'equation sont periodiques, on utilise pl^utot

lesseries de Fourier(voir Section 4). Si l'equation est posee sur une demi-droite (avec conditions initiales

pour la solution recherchee), on utilise pl^utot latransformation de Laplace(voir Section 2).

Pour la resolution des equations dierentielles lineaires a coecients constants, on utilise les proprietes

suivantes de la transformation de Fourier : Proposition 1.11Soitf;g:R!Cintegrables,fF!F,gF!Getc1;c22C. Alors dfdt

F!(i2u)F(u)

d 2fdt

2F!(i2u)2F(u) =42u2F(u);

d 3fdt

3F!(i2u)3F(u) =i83u3F(u);

etc. Demonstration.Utiliser la denition deFet la formule d'integration par parties.

Lorsque les coecients de l'equation dierentielle dependent detde facon lineaire (voire polyn^omiale),

on utilise egalement la

Proposition 1.12Soitf:R!Cintegrable,fF!F. Alors

tf(t)F!i2dFdu (u); t

2f(t)F!= (i2)2d2Fdu

2(u) =1(2)2)d2Fdu

2(u); t

3f(t)F!(i2)3d3Fdu

3(u) =1(2)3d

3Fdu 3(u); etc. Demonstration.Utiliser la denition deF, la formuletei2ut=i2@@u (ei2ut), et les proprietes des integrales dependant d'un parametre (voir l'Appendice). Exercice corrige.Trouver une fonctionf:R!Cintegrable surRtelle que d2fdt

2(t) +f(t) =et2; t2R:

Preuve.La transformee de Fourier de l'equation ci-dessus s'ecrit

42u2F(u) +F(u) =F(et2)(u):

7 ou l'inconnue estF=Ff. On en deduit queF=11 + 42u2F(et2) =12

F(ejtj)F(et2), la derniere egalite

etant une consequence deejtjF!21 + (2u)2(voir les exemples fondamentaux ci-dessus). Donc F=12

F(ejtjet2))f=12

ejtjet2; puisqueFest injective (voir le theoreme ci-dessus).

2 Transformation de Laplace

Motivation :Elle permet (entre autres) de calculer explicitement les solutions d'une classe assez large

d'equations dierentielles (couplees eventuellement avec de conditions initiales) en suivant le schema :

Equation di.L!Equation plus simple!solutionL1!solution de l'eq. initiale. Denition 2.1a) Sif:]0;1[!Rest une fonction integrable sur]0;1[a croissance au plus exponentielle (c'est-a-dire quejf(t)j Cfeaftpour certaines constantesaquotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

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