[PDF] Le cinquième problème de Hilbert. État de la question en 1951

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BULLETIN DE LAS. M. F.JEAN-PIERRESERRE

delaquestionen1951

Bulletin de la S. M. F., tome 80 (1952), p. 1-10

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BULLETIN

DE LA

SOCIÉTÉ

MATHÉMATIQU

E DE FRANC E LE

CINQUIÈME

PROBLÊME

D E

HILBERT

État

de l a question en 195
1 1 PA R

JEAM-PIEBBE

SEBBE.

j

Introduction

En 1900,

Hilbert,

dans s a fameus e conférence sur le s pro-blèmes des mathématiques [9], proposa comme problème n° 5 de " débarrasser la théorie d e Lie de se s hypothèses de difTérentiabilité Comm e on sait, cette théorie s e propose essentiellement deux objets :a. Étudier les rapports existant entre les groupes de Lie et leurs algèbres de Lie (cf. [4] et [27] dont nous suivons les notations) b.

Étudier

les rapports existant entre le s représentations d'u n groupe de Liepar des opérateurs d'une variété, et les représentations de son algèbre de Lie par des champ s de vecteurs tangents l a variété. L e 5 e

Problème

s e subdivise donc en deux parties que l'on peut

énoncercomme suit :

A.

Montrer

que tout groupe topologique localement euclidien est un groupe de Lie; B

Montrer

que tout groupe localement compact d opérateurs dune variété est un groupe de Lie. Il est clair que l a résolution affirmativ e de B entraînerait cell e de A faire opérerle groupe sur lui-même par translation à gauche, par exemple). Ceci explique qu e B soit bien plus inaccessible que A, et que l'on n'ait so n sujet que des résultats for t partiels. Aussi a-t-o n coutume de désigner sous l e nom de 5 e Pro-blème, uniquement la partie A; c'est de cette dernière que nous nous occuperons presque exclusivement dans la suite. 3 Cet exposé de synthès e de l'état des recherches contenan t le cinquièm e problème de

Hilber

la été élaboré, à propos de la seconde thèse de Fauteur. Son intérêt a paru suffisamment grandpour justifier sa publication (N. D. S.)

2. Historique. - Le premier travail concernant le 5e Problème (sous la

forme B est celui de

Brouwer

en 1910
([1]»[2] qui montre que tout groupe localement euclidien opérant sur une variété de dimension i ou 2 est u n groupe de Lie. Du résultat dé

Brouwer

on tire aisément que tout groupe localement eucli- dien de dimension i ou 2 est un groupe de Lie; c'est ce qui est fai t en igS i par

Rerejkarto

[12] Entre ces deux dates ne paraî t aucu n travail sur l e 5 e

Problème,

probablement parce que les notions nécessaires pou r pouvoir

Renonce

r avec pré- cision ne sont introduites qu'en 1926
pa r

Schreier

[28] En .1933 Haar démontre l'existence d'un e mesure invariante sur tout groupe localement compact (séparable, restriction inutile comme l'a montr A. Weil [31] immédiatement von

Neuman

n [25 en tire la résolution du 5 e

Problème

pour le s groupes compacts, suivi de près par

Pontrjagin

([26], voir aussi [27]) qui en 1934?
l e résout pour les groupes abéliens. En 1941

Chevalley

[3 annonce s a résolution pour les groupes résolubles', la première démonstration de c e résultat est due

Iwasawa

[11] en 1949-
En 1948

Montgomery

[17 résout l e 5 e

Problème

pou r le s groupes de dimen- sion 3, et en 1951

Montgomery-Zippin

[24] annoncen t s a résolution pou r les groupes de dimension 4quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

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