Les problèmes ouverts du Rallye Mathématique de lAcadémie de PDF

EN5 Résoudre des problèmes _1_

5ème. RÉSOUDRE DES PROBLÈMES (1). EN5. •Émilie avait 50 € dans sa tirelire. Elle achète une poupée valant 20 € et trois petites robes coûtant. 4 € chacune.

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blèmes des mathématiques [9] proposa comme problème n° 5 de « débarrasser immédiatement von Neumann [25] en tire la résolution du 5e Problème pour les.

Contrôle de mathématiques n°5

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2 mars 2013 Les problèmes ouverts du Rallye Mathématique ... pour la classe (entre le CM1 et la cinquième) de les mettre en œuvre et d'en analyser les ...

La résolution de problèmes mathématiques au collège

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CyCles

Son apprentissage s'inscrit dans la durée. Dès le cycle 3 l'élève a enrichi le champ des problèmes multiplicatifs en rencontrant des situations contextualisées

Lesproblèm esouvertsduRallyeMathématique

del'Ac adémiedeLyon

2011-2020

GillesAldon

ClaudeTisseron

RallyeMathématiquede l'AcadémiedeLyonIREMdeLyon

àCla udeTisseronetMichel Mizony

Tabledesmatiè res

Introduction6

res13

1.1L'énon cé........................................15

1.2Quelqu esélémentsdemathématiq ues........................16

1.3Letr availdesél èves..................................20

1.4Util iserceproblèmeenclasse............................20

1.4.1Àl'écolep rim aire...............................20

1.4.2Aucollègeet aulycée.............................22

2Despolygonesquitournent25

2.1L'én oncé........................................27

2.2Quelqu esélémentsdemathématiq ues........................28

2.2.1Quelquesr emarquespréliminaires......................29

2.2.2Casparticul iers................................30

2.2.3Plusgénéra lement..............................33

2.2.4Triangles scalènes...............................33

2.3Letr availdesél èves..................................36

2.4Util iserceproblèmeenclasse............................37

2.4.1Àl'écolep rim aire...............................37

2.4.2Aucollègeet aulycée.............................37

3201339

3.1L'én oncé........................................40

3.2Unpeu demathém atiques..............................41

3.3Letr availdesél èves..................................44

3.4Util iserceproblèmeenclasse............................49

3.4.1Àl'écolep rim aire...............................49

3.4.2Aucollègeet aulycée.............................49

4Lesboîtesexplosives51

4.2Unp eudemath ématiques ..............................52

4.2.1Avecdeux boîtes...............................52

4.2.2Généralisati on.................................52

4.3Let ravaildes élèves..................................57

4.4Uti liserceproblèmeenclasse............................58

4.4.1Àl'écolep rim aireetaucollège.......................58

3 RallyeMathématiquede l'AcadémiedeLyonIREMdeLyon

5Combiendemultiplications?61

5.1Enoncé .........................................63

5.2Unpeu demathém atiques..............................63

5.2.1Pourdeux facteurs..............................63

5.2.2Pourtroi sfacteurs..............................65

5.3Let ravaildes élèves..................................66

5.4Uti liserceproblèmeenclasse............................69

5.4.1Àl'écolep rim aire...............................69

5.4.2Aucollègeet aulycée.............................70

6Unproblèmequidéchire!71

6.2Unp eudemath ématiques ..............................72

6.2.1Premièrepar tie................................72

6.2.2Deuxièm epartie................................73

6.3Let ravaildes élèves..................................75

6.3.1Cequelesél ève speuventa border......................76

6.4Util iserceproblèmeenclasse............................78

6.4.1Del'école primair eaulycée.........................78

6.4.2Retourd'ex périence,EcoleduRocher....................79

6.4.3Retourd'ex périence,lycéeLaMartinièreMontplaisir............79

7Lesgrillesdiaboliques81

7.2Unp eudemath ématiques ..............................83

7.3Letr availdesél èves..................................89

7.4Util iserceproblèmeenclasse............................91

8Lescheminssurunquadrillage93

8.2Unp eudemath ématiques ..............................95

8.2.1Partie1 ....................................95

8.2.2Partie2 ....................................96

8.2.3Uneremar que.................................96

8.2.4Finalemen t..................................97

8.2.5Partie3 ....................................97

8.3Letr availdesél èves..................................98

8.4Util iserleproblèmeenclasse.............................99

8.4.1Àl'écolep rim aire...............................99

9Sangaku105

9.1L'énon céduproblème................................107

9.2Quelqu espremièresquestions............................108

9.3Etquelq ues premièresréponses...........................108

9.3.1Quelquesr emarques.............................108

9.3.2Calculdesra yons...............................109

4 RallyeMathématiquede l'AcadémiedeLyonIREMdeLyon

9.3.3Tangentes ...................................110

9.4Prolon gement.....................................113

9.5Letr availdesél èves..................................113

9.6Util iserleproblèmeenclasse.............................116

9.6.1Àl'écolep rim aireouaucollège.......................117

9.6.2Aucollègeou aulycée............................117

10Unbilla rdferm é119

10.2Unpeu demathém atiques..............................122

10.3Dansl etriangle....................................122

10.4Dans lecarré.....................................122

10.5Dansl epentagonerégul ier..............................123

10.5.1Uneremar quegénéralesur lesangles....................123

10.5.2Unpeude géométriean alytiqu e.......................126

10.6Générali sation.....................................130

10.6.1Lecasdesp olygonesay antu nnombre pairdecôtés............130

10.6.2Lecasdesp olygonesay antu nnombr eimpairdecôtés..........132

10.6.3Trajets" croisés»..............................132

10.6.4Lecasdut riangleq uelcon que........................137

10.6.5Casduquadril atèreq uelco nque.......................137

10.7Letr availdes élèves..................................137

10.8Util iserleproblèmeenclasse.............................139

Conclusion141

5 RallyeMathématiquede l'AcadémiedeLyonIREMdeLyon 6

Introduction

J'aiconnul' IREMdeLyonalorsq uej'étaisencor eétudi antenmathéma tiques,etjen'a icessé, dansmacarrière deprofesseur puisdechercheuren didac tiquedesmathématiquesde fréquen- tercetendro itmag iqueoùlacolla borationentrema thématiciens,professeurs,didacticiens, formateurs,prod uitdepuisplusdequaranteannéesdesmo desdep enserl'enseignemen tdes

mathématiquesnovateurs,réfléchis,utili sablesetanalysés.C'estlelieuoù lesmathématiquesse

personnalisentetpourmoi,encoreétudiant, j'éco utaisavecatt entionlespro fesseursdecollège ,

delycé e,d'universitéseq uerellersurunrésultatoùlafaçondele présen ter.C'estégalement

lelieuo ùlesrenco ntreshumaineso ntd onnédelachairà desidéessurl'enseignementencore vagues,naïvesoutrops imples.C'estlelieu oùj'ai découvertqu efairedesmathématiques n'étaitpasseulemen tcomprendreetappliquer desthéorèmesmaisa ussiimaginer etcréer une petitepartdemathém atiques.Par mitout eslesdécouvertesmagnifiquesquel'IREMdeLyon m'apermis defaire,les" problèmeso uverts»sont certainement l'unde smomentslesplus déterminantsdemonévol utionpro fessionnelle. Lesp roblèmesouverts,définisparGilbert Arsac[Arsacetal.,1991]puis[ArsacetMante,200 7], MichelMante,Gille sGermainontapp ortédanslepaysaged el'enseignementdesma théma- tiquesenF ranceun regardnouveau.Lesélèv espassa ientainsid'unrôlepa ssifd'apprentissagede

résultatsapportésparleprof esseuràunrôleactifdecré ateursdem athéma tiques.C'estlaphi-

losophiemêmedelaperception desmaths quiétait chang ée,bouleverséeparl'in troduction dans

laclasse demathématiquesdudro itàcréer, àimaginer,àsetromper, àco njectureretàprou-

ver.Bref, lesélèvesdevenaie nt,àtraversc etteactivité,d esmathématiciensenherbe,ca pab les

d'imaginationaucoeurdelarigueurdesraiso nnemen tsmathémati ques.Mê mesile sauteursont toujoursprésentéles"problèmes ouverts»comme unepratique pédag ogique,lefo ndementde cettepratiquea mod ifiédurablement laperceptiondecequesont lesmathématiquespourles élèvesmaisaussip ourlesprofesseurs quiont acceptédeselancerdanscet exercicepérilleux : donnerauxélèv esunénoncé,do ntonsaitqu'ilestcréateu rdema thématiquesmaisdo ntonne saitpas apriorioùl'im aginationdesélèvesvamener.Commeprofesse urdemath ématiques,

j'ailongtempspratiqué cetexerciceet éprouvéune grandesatisfactionde voir mesélèves entrer

dansunevéri tabledéma rchederechercheettrouverle tempsducourstropcourt!Ce quicom - penselargeme ntladi cultédegestion delacl asseetlesmomentsince rtains oùjene savaispas

silap isteim aginéeparungrou pepouvaitêtrefécondeoua ucontrai revoué eàl'échec.Cesont

aussilesrencon tresavecCl audeTisseron,alorsdirecteurde l'IREM,etMichel Mizonyquilui desconcep tsmathématiques.AvecClau deTisseronnousavonsexpérimentédes"problème s longs»danslaclasse dema ths[Aldon,1995,Tisseronetal.,1996,TisseronetAldon,1998]qui étaientconstruitspour servirdefilrougeàl'enseignemen tdurantune annéescolaire.L'univ er-

sitéd'étéorg aniséeparl'IREM deLyonen1996[Aldonetal.,1996]aétél'occasiondedébattre

dela placedes problèmesdansl'enseign ement maisaussidans larecherchema thématique,en particulieravecMichelMizonyquiapro poséàcetteoc casionuneréflex ionsur"lecalcu lfor- meldans mapratiqued'enseignan tetde chercheur»,rep osantsurlesproblèmescruciauxqui 7 RallyeMathématiquede l'AcadémiedeLyonIREMdeLyon dirigeaientsontravail. Commecherche urendidactiquedesmathémati ques,j 'aicontinuéàétudierlesapports dela recherchedeproblèmesdansl'enseig nementet l'apprentissagedes mathématiques.Le groupe EXPRIME,fondéen2 006entrel'IREMd eLyone tl'INRPàl'i nitiativedeVivi aneDurand- Guerrieretmoi-même,puis legro upeDREAMquiaprislarelèveenc ollaboration avecl' IFÉ etl'IN SPÉ(originairement l'IUFM,puisl'ESPÉ)ontétudiécesapports,misenplac edesexpé- rimentationsdansdesclassesetproduit desmémoiresdema sterset desthèses[Gardes,2013, desmathé matiques.LesiteDREAMaths 1 estunevitrine importante decestra vaux. Cen' estdoncpasunhas ardsinousav ons(Michel Mizony, alorsdirecteurdel 'IREMde Lyonet moi-même,directeuradjoint) propo sél'organisationd'unrallyema thématiqueànospartenaires del'APMEP etduRectorat del'A cadémi edeLyon.Cen'esttoujoursp asparh asardsiquelques annéesplustard,j' aiproposéune épreuvedeprobl èmeouvertdan scerallye.C'estcetteh istoire quejera conte danscetouvrageàtravers lesdixproblèmesproposés cesdixdernières années auxélèvesd el'Académiede Lyon. Lespro blèmessontau coeurdel'enseignementdesmathéma tiquesdepuisbienlongte mpscomme entémoignent, parexemple,lesparagraphes queFerdin andBuissony consacredans sondic- tionnaireàlarubriqueMathéma tiq ues[Buisson,1929].Plust ardetdans latradition deJohn Dewey[Dewey,1938],il estdi!ciledepa rlerde problèmesetderésolutio ndeproblèmessa ns faireréférenceà Polya [Polya,1945].Ilpro pose danssonouvrage"Howto solveit» desheuris- tiquesdeva ntfaciliterlarechercheetlarésolutio ndeproblèmes,heuristiques qu'ilaco nstruites surl'observation desonactivitéproprede mathématicien: Studyingthemetho dsof solvingproblems,we perceiveano therfaceofma thematics. Yes,mathemat icshastwofaces;itistherigoroussc ienceofEu clid,buti tisalsoso- methingelse.Mathematic spresentedinth eEuclideanwayappearsasasystema tic, deductivescience;butma thematicsinthemaking appea rstobeanexperimen tal, inductivescience.»(Id.p.VI I) Cetteautrefac edesmathématiq uesnécessite quelquesr éflexionsetladimensionexpérimentale citéeparPolyase doitd'êt repréciséecequi seral' objetdupara graphesuivant.Cetr avail

fondamentalaétéàla basededév eloppements importants pour mettreenrelation, àtrav ersles

problèmes,le"faire des mathématiques »au"faire fairedesmathématiques ».Lesévolutionset

lesdévelo ppementssesontfaitsenintégrantles critiquesqui peuventêtreapportées auxthèses

défenduespar Polya,la plupartdesauteursquiontévoquésla résolution deproblèmesdans l'enseignementdesmathématiquessep ositionna ntparrapport àson travail.Jerelèverai,parmi d'autresdeuxobjectio nsquime semblentfaireavancerlacom préhensio ndurô ledesproblème dansl'enseignement. Lapremièreportesurlacon textualisatio ndela recherched'unproblème etlesliens avec lesnotionset lesconceptsmathématiquesenjeu.Ellepoin tela di cultéà

relierlaréso lutiond'un problèmeparticulieravecdes règlesgén éralesdé-con textualisées:

"Te achinggeneralproblemsol vingdoesnotleadtomat hematicalskillsorkno w- ledge»[Swelleretal.,2011] Lasecond eobjection,relevésdéjàpa r[Schoenfeld,1994],estl'inclusio ndespro blèmesdansle curriculum: motivateaunit,andthenone wo uldgetdowntothe" realmath, "astraditio nally organized.Buthere,thesol utionst otheproblem s,incontext,ar ethelargepart ofthem athematic sstudied.Thatis,themathematicsoft enappearsinaparticular context,andaspectsof itarew orkedoutinthatcon text;the moreextended, formal presentationanddecontextualization ofthemathematics isnotundertaken.»(Page 73)

1.http ://dreamaths.univ-ly on1.fr

8 RallyeMathématiquede l'AcadémiedeLyonIREMdeLyon Bienque dessituati ons derecherchedeproblèmescontinuentàvivreenclasse, etbienq uede nombreuxtravauxmo ntrentlesapportsdespro blèmespourl'enseignementetl'a pprentissa ge

desmathéma tiques,cessituationsnese sontpasg énéralisées.Lesdeuxobjections précédentes

constituentdesfreinsimportan tspour cetteintégration etl'accentmisprincipalementdans l'approchedesproblèmesderecherchesur ledévelo ppementdecomp étencesméta mathéma- tiquesesten oppo sitiona veclescontraintesinstitutionnellesquipèsent surlesprofesseurs. Paraill eurs,lesproblèmesréelsdans latradit iondes"realisticmathematic s»[Freudenthal,1973] contextualisentlesnotionsmathématiquespo urleur donnerdusens. Laquestiondu transfert enliena vecla constructionoularéinven tionduconcept dansuncontexteparticulierpointela tensiond'unpoin tde vuedidactiqueentrecetteréinventionet lené cessaireg uidagepar lepro- fesseurcommelemettai tenévidencePau lDrijv ersdanssaconférencel orsdel aCIEAEM66à Lyon 2 .Com mentetpourquoi,te llenot ionperçuecommepertinenteda nsuncontextepar ticu- lierpo urraatteindreunstatutdenotio nmathématiqueuniverselle ?P ourprendrel'exemplede

l'algèbre,dansquellesconditions didactiques,larésolution d'unproblème réalistemenantàla

résolutiond'uneoudeplusieurséqua tionsp ourrameneràlaco nstruction duconcept d'équation

etàson car actèreuni versel?Cesquestionsconduise ntàconsidérerlerôledesproblè mesdan s

l'enseignementdesmathématiquescomme unlieud'exp ériencesurlesobjetsma thématiques àen seigner.Et,avantdedévelopperde srépon sespossibles,j evoudr aisapprofondirunpeula placedel'expérienced ansla créationdesmathéma tiquesetles relations existantesentreles perceptionssensiblesdesobjetse tleurthéorisation. Lanotio nd'expériencepeutêtrerega rdéeàlafoisda nsledomainede laphiloso phiedessciences

etdanscelui delaphilosophie delaconnaissance. Lasubjectivité del'expérience aété largement

miseené viden cedansl'histoiredessciencesetl'immédiatetédesperceptions sensiblesnepeut impliquerunca ractèrescien tifiqueauxrésultatsdel'expérience.De nombreuxexemplesp euvent êtredévelopp ésdanslessciencesexpérimentalesmaisaussi enmathématiquescomme jep eux l'illustrerpa rlesdeuxsituation ssuivan tes:

1.Construireuncarréinscritdan suncer clederayon1.Su rchacundesescôtéscons truire

letrian gleisocèledontleso mmetappartient aucercle:onobtient alors unoctogone régulierinscrit danslecercle.Recommencer.Alanieme étape,lepo lygone obtenu est unpo lygonerégulierà2n+2côtésqui serapproc heducerc leetdontlepérimètreest uneappro ximationdupérimètreducercle,onendéduitainsiune appro ximationde!?

2.Construireundemi-cercledera yon1.Co nstruiresurlediamètredeuxdemi-c ercles

deray on1/2.Recommencerleprocessus.Achaqueétape,lalongueurdelaligneest invariante,ene et,onremp laceun demicerclederayonRparde uxdemi -cerclesde rayonR/2.Eni té rantleprocessusonobti entun elignequiserapprochedudiam ètre; onend édui talorsquelalongueurd elaligneesté galeàlalongueu rdudiam ètre,c'est

àdire!=2?(Figure1)

Cepa radoxe(apparent)montreb iencettesubjectivitéetlanéce ssitédedépasserlas eule expériencepourlarelier àlathéorie:l'exp ériencedansles deuxcassem blelamême maisle faitquel' "écart »entre lalignebrisée etlesegmen t(au sensdedistancemaximum ouau sensd'aire)ne su tpas àfaireconvergerles longueurs.Lecalcul delalongueur d'unecourbe faitinterv enirdesdérivées;dansladeuxième construction,lesp entesinfiniesdelaligneaux pointsdecontact avecle segmentlèventleparad oxe. L'empirismeclassique conduitausce pticisme[Hume,19 46]parcequelajustificationobjective d'unfait parl'expériencene peutêtredéduited'une expériencesubjective.Sa nsvo uloirentrer dansunedescription exhaustivedurôle del'expériencedans lessciences,lesliensentrela

2.https://youtu.be/EbavxxoF_Z8

9 RallyeMathématiquede l'AcadémiedeLyonIREMdeLyon

Figure1-!=2?

théorieetl'expérienceo ntto ujoursamenéàco nsidérerlesrelationsentre ledomainesensibleet

saformalisationthéorique dansun langageparticulier.T outeexpérienceestdirectement reliée enelle lesinterprétations destermesqu'elle emploiesibienqu'unemêmeexp érienceetses résultatspourrontconduireà desinterprétationsdi

érentessuivantleshypo thèsesthéoriques

sous-jacentes. "Myr ema rksonincommensurabil ityand itsconsequencesforscientistsdebating thec hoicebetweensuccessivetheo ries,InSectionsXandXIIIha veargued that thepartie stosuchdebatesinevit ablyse edi erentlycertainoftheex perimentalor observationalsituationstowhichbothhave recourse.Sincethevocabularies inwhich theydiscusssuc hsituatio nsconsist,howev er,predominantlyofthe sameterms,they mustbeattach ingsom eofthosetermstonaturedi erently,andtheircommuni cation isinevitably onlypartial.As aresult,thesuperiorit yofonetheorytoa notheris somethingthatcannot bepro vedin thedebate.»(Ibid.page198) L'observation,lamanipulationenmettantenrelationl'a ction (larelationausensible)etla réflexion(larelation authéo rique)constituentunfondementde l'expériencequ'ils'a gitde transposerd'unepartverslesmathéma tiquesetd'a utrepartvers l'enseignement.Une première questionquipeutse po serestlanaturedes objets qu'uneexpériencemathématiquepeutmettre

enjeu.Le sensibleenmathématiques peutêtre vuàtra versles objets concretsmanipulés(figure,

objetsmatériels, artefactstangibles,...)ouàt raverslesobjetsm athématiquesnaturalisés,c'est

àdiresu

c'estl'abstraitrendu familierpar l'usage»[ Langevin,1950]. Ainsileso bjetsma thématiquesobjetsdesexpéri encespeuventê tredialectiquementperçus d'unpo intdevuesensibleparlamanipulatio ndirectede certainesde leursreprésenta tionset d'unpo intdevuethéoriqueparleursmisesenrela tionda nsdesstructures abstraitesàtra vers dessystè mesdesignes.Manipulerdeso bjets mathématiquesrevient doncàs'approprierdes systèmesdesi gne spourrendrelesobjetsfamiliers,maîtrisablesdansleursrelationsauxthéories sous-jacentes.Lestroisécrituresd'u nmêmen ombre (Figure2)illustrentbiencetterelation dialectiquequ'onles considèredansdessystèmes denuméra tion(icilanuméra tionromaine et lanuméra tiondécimaledepositionactuelle)o udansuneécriture mettant enjeudesopérations, c'estàdire desrelationsen treobjets demêmenature. L'objetlui-même seconstruitàtrav ers

cettefamiliarisationa vecses représentationsetlacapacitéàsaisirlespropriétés spécifiques

misesen exergu edanschacunedesesreprésentations. "Ilfautconcev oircesnombres comme 10 RallyeMathématiquede l'AcadémiedeLyonIREMdeLyon (x!x 0 2 +(y!y 0 2 =R 2 desunitésin tentionnelles, l'intentionnalitéétantunrenvo idequelquechoseàquelquechose d'autrequiletranscende. »[ Descaves,2011],pag e11.Delamêmefaço n,observerlestrajectoires desétoiles autourdel'étoile polaireconstitueuneexpérience sensiblep ermettantdemettre en évidenceunep erceptionde l'idéeducercle,insu santepouragir,mais constituantuneétape versunedéfin itionthéo riqueetsatraductiondansdi

érentssystèmesdes ignes(Fig.3).La

ruptureépistémologiqu eentrelaperceptionsensibledel'objetetlamani pulatione ectivepasse

àtr averslaréférenceàlath éorie dansuneconstructiondesobje tsc onstit utifsdelathéorie.Ces

quelquesco nsidérationsamènentdoncàconsidérerl'exp érienceenmathématiquescommeune

synthèsedesmanipulationssur lesreprésentations desob jetsmathématiques etdesréférences

théoriquesàtravers dessystèmesde signes.

Biensûr, réfléchiràla façondontnousfaisonsdesmathématiq uesfaitauss iréfléc hiràla façon

detransmettre lesmathématique setdo ncdefairefairedesmathématiques.Laquestionest alorsessentiellem entdidactiqueetinterrogelesfinali tésdel'enseignementdesmathématiques. Faut-ilconsidérerle smathématiquescommeuneécolede ladiscip line,delarigueuretde l'obéissanceàunensemblederègleso ubienles voir commeunespace decréativité ?Les réponsesàcesquestionsdéterminent fonda mentalemen tletyped'enseig nementetlerôle des problèmesdanscetenseig nementetrejoignen tlesco nsidérationsdidactiquesdupara graphe précédent. Revenonsmaintenantà l'épreuvede"problèmeouvert »du rallyemathématiquedel'Académ ie deLyon .Cetteépreuveest construitee nparallèledesépreuve splusclas siquesderallyequise 11 RallyeMathématiquede l'AcadémiedeLyonIREMdeLyon déroulententempslimitépenda ntles heuresdeco urs.L'épreuve "problèmeouvert»elle,est proposéeauxélèvessuruntempslo ng(entretrois semainesetunmo issuiva ntle calendrier scolaire)pour permettreàchacunde s'approprierlasituationmathématiqueproposée etav oir letempsde ch ercher etdeproposerdesélémentsdesolution.T outeslesépreuveso nt été construitesav ecl'idéed'unesituationsansfin,d'un" problèmegénérateurde problèmes» pourrepren drel'expressiond'AlainBouv ieralorsqu'ilétaitledirecteurdel'IR EMdeLyon. Ainsi,ilne s'agit pasà proprementparlerderéso udreunproblème,ma isplutôt defaireun petitboutdech emindansl emonde desmathématiques. Leschapitres suiva ntsprésententle s

dixproblèmes quiontétép oséset proposentàlafo isunp etitparcoursdanslesmathéma tiques

sous-jacentesetuncompterendudel'activi tédesé lèves .Cessituationsmathé matiques,donné es

danslecon textedurallye, peuventêtrereprisesetprop osées danslesclasses,àdesnivea ux di

érents;c'estcequej'e ssayedemontrer pourle sdi

érentsproblèmes.

Cesprob lèmesontdesoriginesetdeshi stoiresdi

érentes;aufildesannées,l esprob lèmeso nt évoluéenfonctiondes solutionspro duitesparles élèves,et desanalysesaposterioriquenou s avonspufairee nremet tantenquestion ledegr éd'ouverture,ledomainedesm athéma tiques abordé,lagraduationd ela di cultéetc.

Dessites commeCuttheKnot

3 ,The On-Lin eEncyclopediaofIntege rSequences®(OEIS®) 4

Bibmath

5 ,le sitede sIREM 6 sontdessourcesinép uisablesdesituations quiconduisent àdes énoncésdeproblèmesou verts. Maisc'estaussiàtraversdesdi scussionsavecdescollègu esde l'IREMetdel'IFé 7 queleséno ncéson tévoluéetque jepeuxaujourd'huipro posercetterevue desdixpremiers problèmeso uvertsdu rallyemathématique del'AcadémiedeLyon.

3.http s://www.cut-the- knot.org/

4.http s://oeis.org/

5.http ://www.bibmath. net/

6.http ://www.univ-ire m.fr/

7.Yv esGuichard,Henriqu eetJoséVilas-Boas,DidierKrieger

Chapitre1

Leprem ierproblèmeouv ert:leschaînesde

chi res Latrad itionduproblèmeouvertàl'IR EMdeLyo nestprégnantequecesoità traverslesnom- breusespublicationsq uis'yrapportentetlesdi

érentesexpériencesmen éesdanslesclasses.

L'histoiredelapublicatio nest longu eetdébuteen1991lo rsqueGilbert Arsac,GillesGermain

etMiche lMantepublientla brochure"Pro blèmesouvertsetsituatio nsprob lèmes»déjàcité

[Arsacetal.,1991].C'est àcetteépoque qu 'unepublication périodiquedel'IREM deLyonvoit lejour :Lafeuilleàproblèmes .Ell eestmaint enuelongt empssousunformatpapier,jus qu'àce qu'uneversionnumé riqueprolongecettepu blication.Mêmesilesiten'est plusvraimentmain- tenu,desexemples deproblèmes etdeleurutilisationdansles classes ouenformatio nson t toujoursprésentssurlesp agesdela"feuille àproblèmes » 1 .Cet tepublicatio nareprésenté unlienen treenseigna ntsdemathéma tiquespourchercheretfairec hercherdesproblèmesa ux élèves,échangerdesid ées,communiquerdesexpér iences.So usl'impulsiondeMar yvonneLe- berre,GeorgesMouni er,RenéMulet-Marquiset moi-même,lesiteaprod uitpendantpl usieurs annéesdesarticl esprésent antdesproblèmesdemath ématiquesmaisaussidescomptes rendus d'expérimentationsenclasse.Ilreprenaitlaphilosophie développ éeparlecourantduproblème ouvertqueGilbert Arsacadécritàl 'occasiondelasortiequ elquesannéespl ustar ddulivre "Lespratiquesduproblèmeouvert»[ArsacetMante,200 7]:

1.http://irem-fpb.univ-lyon1.fr/

13 RallyeMathématiquede l'AcadémiedeLyonIREMdeLyon

Figure1.1-Lel ogode lafeuill eàprobl èmes

1)Audépart,l eproblèmeouvert(origi nedel 'appellationoubliée,ellen' estpasorigi-

naleenmaths)est uneinnov ationpédag ogique, etn'a paslaprétentiondereleverde larecherc hesausensuniversitaire; plustard,unecolla bora tionavecNicolasBala- che ,di dacticienàGrenoble,danslecadrede lap réparationdesathèsesurlapr euve etladémonstration introduira unpoin tdevuenouveauetlapossibilité d'userde méthodologiesderecherchequinousen apprendrontbea ucoup,aprèsl'euphoriedes premiersessais enclasse.

2)Dès l'origine ,laformationestaucoeurduprojet :ene

et,jevous rappel le qu'àcetteép oquelesIREMs'occ upentbeaucoupdefo rmationet derecycl age:ils ontappri sauxenseignantsles"mat hématiqu esmodernes»autourdelan otion d'ensembleetcherchen tàa ssocierdespédagogiesàcesco nten us.Iln'yapasde discoursthéoriquesurla formationco mmunà tousces instituts,maisàLyon,sous l'impulsiondelapsycho-sociologue membr edel'I REM,DominiquePichod,etdu directeurprécédent, AlainBouvier,ilexiste unedoctrinesansdo uteréféréeaux usagesdelaformatio ndans d'autreslieux quel'EducationNationale,etirréductible auseul recyclagequ isubsisteparailleu rs:lebut delaformationestdedonn erà celuiquila suitlap ossibilitédec hangersapratique, enparticulier envoyan tque despratiq uesdi

érentesdelasienneexis tent.

Justepo urattiservotrecuriosité,je donneiciundespro blèmesdemathématiquesparmiceux quion tétéproposésdansc haquen umérodelaversionnumériquedeLafeuille àproblèmes:

Onconsi dèrelesn

2 +1premiersnom bresentiers,écritsdansunordre quelconque.

Onad oncu nesuitea

1 ,a 2 ,.............,a n 2 +1 Prouverque,danscett esuite,ilya aumoinsn+1nombresquisontplacés enordre (croissant oudécr oissant).

L'ambitiondecetterubriqueétaitd'ab ordde faireréfléc hiràdes petitsproblèmessympa thiques

enay antenarrièrepenséequ'unprofesseurdemathématiquesqui s'amuseà cherc herces

problèmesetquiyprend duplaisir, seraplusen clin àprop oser àsesélèvesdetelles activités.

C'estunehypot hèseforte quiatoujoursalimenternotr eréflexionsurles problèmes ou verts, notammentlorsdesformations .Chercherunpr oblèmepou rsoi,avecd'autrespersonnes,en utilisantl'ensembledesesco nnaissancesetenpro fitant desconn aissancesdesespairs,estune phaseobligato ired'uneformationàl'utilisationdeproblèmesda nslacla sse.Toutd'abord, devantunénoncésurprenant,on seretrouv edansune positionproched ecelledanslaquelle on souhaiteplacernos élèves: peud'in dicessurlesmathématiquesquel'on peut (doit)employer pourrésoudre leproblèmemaisdesexpéri encess implesàmener.Ensuite,lef aitdecherch er unproblème dontonsa itqu'ondoitprobablemen tarriveràle résoudre,permetde laisserlibre coursà sonimaginationet àsacréativité. Danscet exemple ,lefameuxprincipedestiroirs 14 RallyeMathématiquede l'AcadémiedeLyonIREMdeLyon

devraitêtreutilisé,ma isil resteencore àsavoircomment! quison tles" tiroirs»,q uiso ntles

"chaussettes»? Lorsdelaréunion debilan durally equis'étaitdéroulé en2 010,unediscussio naso ulevé laque stiondelarédactiondesso lution sàunpr oblèmeparlesélèves.Ene et,lesép reuves durally emathématiquedemandentaux élèvesderésoudredenom breuxproblèmesmaisla seuletracequi leuraitdemandé estlarép onseàla questionposée. Nousp erdonsainsitout le cheminementquiaconduitàcette réponse,l esh ésitations,lesquesti onn ements,lesessai setles erreursquion tjalonnéle parcoursconduisantàcerésultat. L'idéeesta lors ven udeproposer uneépreuve deproblèmeouvert permetta ntdelaisser auxélèveslibrecoursàleur imagination

etàleur créativité.Ilne restaitplusqu'à organisercetteépreuv e!P ourcettepremière année

l'épreuveduproblèmeo uvertéta itfacultativepa rcequenousnesa vionspasquela ccueillui seraitfait.Il fallutaussi penserun sujet,su sammentouvertp ourlaissers'exprimerlesélèves maisaussisu sammentabordablepourq u'ilnerebutepasetnesoitpas cherché.Cedé fi, continuellementrenouvelédepuisdixans,ado nnélieuàdelongues soiréesde réflexionetde recherchesdefaçonàpro poser unsujetattrayant, féconden termesmathématiques,etadapté

auxélève sdetroisièmeetsec ondede slycéesgénérauxetprofessio nnels. C'estainsiquele

premiersujeta étéprop oséen janvier 2011.Ilnefaitapp elqu'àdes connaissancesdebase,

maîtriséesparlesélèv esdecollègeet delycée,ma isilestaussi fondésur leconceptd'expression

régulièrequel'onp eutdéfinirco mmeunechaînede caractèresconstruitesur unesyn taxeprécise

larecherc hedetextedansundocument maisa ussidans leslogicielsa nti-spams quirecherche danslesmessag esquicirculen tsurlewebdesexpressions particulières. Pourceprem ieréno ncé,lesquestionsprop oséesétaientvolontaire mentsu sammentvagues pourpermett replusieurstypesd'explor ationquidevaientpermettred' atteindredes résultats

variés,certainspou vantêtretrèsfacilementd écouverts.Danscettep remièretenta tive,lesré-

ponsesdevaientn ousparvenirsurpapierlibr e,attachées auxréponsesdesépreuvesdu rallye surtable.

1.1L'énoncé

L'énoncéduproblèmeéta itform ulédelamanièresuiv ante: •Lesseuleso pératio nsconsidéréessontl'addition,lasoustraction, lamultiplicationet la division. •Onpeu tutiliserd esparenthèses. •Lesrègles quis'appliquent sontlesrègleshabituellesdu calculnumérique.

Soitaunnom breentierpositif.

•Onap pellechaînedeaunesuite d'opéra tionsquin'utilisentquelenombrea. •Onapp ellevaleurdelachaîn elerésultatducal cul.quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

[PDF] Les problèmes ouverts du Rallye Mathématique de lAcadémie de