VECTEURS ET REPÉRAGE
- Un repère est dit orthonormé s'il est orthogonal et si ?et ? sont de norme 1. TP info : Lectures de coordonnées : http://www.maths-et-tiques.fr/telech/
STATISTIQUES
Le point moyen G du nuage de points a pour coordonnées (13 ; 65). On peut placer ce point dans le repère. Les coordonnées du point moyen G sont tel que est la
LECTURE DE COORDONNEES DANS DIFFERENTS REPERES
Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. LECTURE DE COORDONNEES. DANS DIFFERENTS REPERES. TP info sur GeoGebra www.geogebra.org.
VECTEURS DE LESPACE
Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr repère tout point M de coordonnées x; y ... Vecteurs coplanaires et repère de l'espace.
Brevet blanc de mathématiques – Avril 2018 1/14
Donner dans le repère (A; I J
Système de coordonnées
Souvenir de la relation entre coordonnées polaires et cartésiennes. ? Si le point P a (x Notations « mathématiques » ... Le repère comobile (M
Licence de Mathématiques Géométrie Affine TD 7 : repère affine
sont concourantes. 3 Soit (p0
VECTEURS ET DROITES
dans un repère (O i sont colinéaires revient à dire que les coordonnées des deux vecteurs ... de coordonnées (5 ; 4) est un vecteur directeur de d.
REPRÉSENTATIONS PARAMÉTRIQUES ET ÉQUATIONS
?3. 2. R. Déterminer les coordonnées du point d'intersection de la droite ( ) avec le plan de repère ( ;
Exercices de mathématiques - Exo7
Soit P un plan muni d'un repère R(Oi
REPRÉSENTATIONS PARAMÉTRIQUES
ET ÉQUATIONS CARTÉSIENNES
Le cours en vidéo : https://youtu.be/naOM6YG6DJc Partie 1 : Représentation paramétrique d'une droite Propriété : L'espace est muni d'un repère !;⃗,⃗, Soit une droite passant par un point et de vecteur directeur ⃗On a :
∈⟺ Il existe un réel tel que Ce système s'appelle une représentation paramétrique de la droite .Démonstration :
∈⟺ ⃗ et sont colinéaires ⟺Il existe un réel tel queExemple :
La droite passant par le point
1 -2 3 et de vecteur directeur ⃗ 4 5 -3 a pour représentation paramétrique : =1+4 =-2+5 =3-3 Méthode : Utiliser la représentation paramétrique d'une droiteVidéo https://youtu.be/smCUbzJs9xo
Soit les points
2 3 -1 et 1 -3 2Déterminer les coordonnées du point d'intersection de la droite () avec le plan de repère
2Correction
- On commence par déterminer une représentation paramétrique de la droite () : Un vecteur directeur de () est : 1-2 -3-3 2- -1 -1 -6 3 La droite () passe par le point 2 3 -1 Une représentation paramétrique de () est : =2- =3-6 =-1+3 - Soit le point d'intersection de la droite () avec le plan de repère Alors =0 car appartient au plan de repèreDonc -1+3=0 soit =
Et donc :
=2- 1 3 5 3 =3-6× 1 3 =1 =0Le point a donc pour coordonnées Q
5 3 1 0 R.Partie 2 : Équation cartésienne d'un plan
Propriété : L'espace est muni d'un repère orthonormé !;⃗,⃗,
Un plan de vecteur normal ⃗ non nul admet une équation de la forme +++=0, avec ∈ℝ.Réciproquement, si , et sont non tous nuls, l'ensemble des points
tels que +++=0, avec ∈ℝ, est un plan. Cette équation s'appelle équation cartésienne du plan .Démonstration au programme :
Vidéo https://youtu.be/GKsHtrImI_o
- Soit un point de . et ⃗ sont orthogonaux .⃗=0 =0 3 =0 ⟺+++=0 avec =-- Réciproquement, supposons par exemple que ≠0 (, et sont non tous nuls).
On note E l'ensemble des points
vérifiant l'équation +++=0Alors le point Q
0 0 R vérifie l'équation +++=0. Et donc ∈E.Soit un vecteur ⃗
. Pour tout point , on a : .⃗=V+W+
-0 -0E est donc l'ensemble des points
tels que .⃗=0. Donc l'ensemble E est le plan passant par et de vecteur normal ⃗.Exemple : Le plan d'équation cartésienne -+5+1=0 a pour vecteur normal ⃗
1 -1 5 Méthode : Déterminer une équation cartésienne de planVidéo https://youtu.be/s4xqI6IPQBY
Dans un repère orthonormé, déterminer une équation cartésienne du plan passant par le
point -1 2 1 et de vecteur normal ⃗ 3 -3 1Correction
Une équation cartésienne de est de la forme 3-3++=0. Le point appartient à donc ses coordonnées vérifient l'équation : 3× -1 -3×2+1+=0 donc =8. Une équation cartésienne de est donc : 3-3++8=0. Propriété : Deux plans sont perpendiculaires lorsqu'un vecteur normal de l'un est orthogonalà un vecteur normal de l'autre.
4 Méthode : Démontrer que deux plans sont perpendiculairesVidéo https://youtu.be/okvo1SUtHUc
Dans un repère orthonormé, les plans et ′ ont pour équations respectives :
2+4+4-3=0 et 2-5+4-1=0.
Démontrer que les plans et ′ sont perpendiculaires.Correction
Les plans et ′sont perpendiculaires si et seulement si un vecteur normal de l'un est
orthogonal à un vecteur normal de l'autre. Un vecteur normal de est ⃗ 2 4 4 et un vecteur normal de ′est ′ 2 -5 4 =2×2+4× -5 +4×4=0Les vecteurs ⃗ et ′
sont orthogonaux donc les plans et ′sont perpendiculaires.Partie 3 : Applications
Méthode : Déterminer l'intersection d'une droite et d'un planVidéo https://youtu.be/BYBMauyizhE
Dans un repère orthonormé, le plan a pour équation 2-+3-2=0.Soit
1 2 -3 et -1 2 0 a) Démontrer que la droite () et le plan sont sécants. b) Déterminer leur point d'intersection.Correction
a) Un vecteur normal de est ⃗ 2 -1 3 () et sont sécants si ⃗ et ne sont pas orthogonaux.On a :
-2 0 3Comme :
.⃗=-2×2+3×3≠0, on conclut que () et le plan ne sont pas
parallèles et donc sont sécants. b) Une représentation paramétrique de la droite () est : =1-2 =2 =-3+3 5Le point
, intersection de () et de , vérifie donc le système suivant : Z =1-2 =2 =-3+32-+3-2=0
On a donc : 2
1-2
-2+3 -3+3 -2=05-11=0 soit =
D'où :
=1-2× 11 5 17 5 =2 =-3+3× 11 5 18 5 Ainsi la droite () et le plan sont sécants en 17 5 2 18 5 Méthode : Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal d'un point sur une droiteVidéo https://youtu.be/RoacrySlUAU
Dans un repère orthonormé, on donne les points 1 0 2 -1 2 1 et 0 1 -2Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal du point sur la droite ().
Correction
On appelle le projeté orthogonal du point sur la droite ().On a :
-2 2 -1 Une représentation paramétrique de () est : =1-2 =2 =2-Le point appartient à la droite () donc ses coordonnées vérifient les équations du
système paramétrique de ().On a ainsi :
1-2
2
2-
et donc1-2
2-1
2-+2
1-2
2-1
4-
Or,
et sont othogonaux, donc : =01-2
-22-1
×2+
4-
-1 =0 -2+4+4-2-4+=09-8=0
6 8 9Le point , projeté orthogonal du point sur la droite (), a donc pour coordonnées :
1-2×
8 9 2× 8 9 2- 8 9 7 9 16 9 10 9 Méthode : Déterminer l'intersection de deux plans - NON EXIGIBLE -Vidéo https://youtu.be/4dkZ0OQQwaQ
Dans un repère orthonormé, les plans et ′ ont pour équations respectives :
-+2+-5=0 et 2-+3-1=0.1) Démontrer que les plans ′ sont sécants.
2) Déterminer une représentation paramétrique de leur droite d'intersection .
Correction
1) et′ sont sécants si leurs vecteurs normaux ne sont pas colinéaires.
Un vecteur normal de est ⃗ -1 2 1 et un vecteur normal de ′est ′ 2 -1 3 Les coordonnées des deux vecteurs ne sont pas proportionnelles donc les vecteurs ne sont pas colinéaires.2) Le point
de , intersection de et de ′, vérifie donc le système suivant : i -+2+-5=02-+3-1=0
On choisit par exemple comme paramètre et on pose =. On a alors : -+2+-5=02-+3-1=0
=-2++5 -+3=1-2 =-2++5 -+3 -2++5 =1-2 =-2++5 --6+3+15=1-2 =-2++5 -7=-14-5 =2+ 5 7 =-2 V 2+ 5 7 W ++5 =2+ 5 7 =1- 3 7 Ce dernier système est une représentation paramétrique de , avec ∈ℝ. 7 RÉSUMÉ : Pour démontrer des positions relatives droite de vecteur directeur ⃗. plan de vecteur normal ⃗. et sont... parallèles ⃗.⃗=0 sécants orthogonaux ⃗ et ⃗ colinéaires plan de vecteur normal plan de vecteur normal et sont... parallèles ⃗ et ⃗ colinéaires sécants ⃗ et ⃗ non colinéaires perpendiculaires ⃗=0quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47[PDF] Mathématiques: Devoir maison sur les fractions
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