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UNIVERSITE DENIS DIDEROT PARIS 7

UFR de MATHEMATIQUES

ECOLE DOCTORALE

Savoirs scientifiques : épistémologie, histoire des sciences, didactique des disciplines THESE

Pour l'obtention du Diplôme de

DOCTEUR DE L'UNIVERSITE PARIS 7

Spécialité : didactique des mathématiques

Présentée et soutenue publiquement par

Eric LAGUERRE

Le 23 novembre 2005

UNE INGENIERIE DIDACTIQUE POUR

L'APPRENTISSAGE DU

THEOREME DE THALES AU COLLEGE

Directeurs de thèse

Michèle Artigue

François Colmez

Composition du jury

M-J. Perrin-Glorian, Professeur des Universités, Université d'Artois Président

R. Straesser, Professeur des Universités, Université de Giessen Rapporteur

A. Rouchier, Professeur des Universités, IUFM d'Aquitaine Rapporteur

A. Kuzniak, Professeur des Universités, IUFM d'Orléans-Tour Examinateur

M. Artigue, Professeur des Universités, Université Denis Diderot Paris 7 Directeur

F. Colmez, Maître de Conférences, Université Denis Diderot Paris 7 Directeur

- 1 - Pour nous autres, les grecs, toutes choses sont formes. Nous n'en retenons que les rapports. Paul Valéry (Eupalinos, ou l'architecte, 1921) - 2 -

Remerciements

Notre présent travail n'aurait pas pu être mené à bien sans les nombreux et précieux

concours dont nous avons bénéficié. Aussi, nous tenons en tout premier lieu à remercier Mon-

sieur François Colmez et Madame Michelle Artigue qui ont bien voulu diriger mes travaux de recherches. Plus précisément, la grande gentillesse, les compétences, les encouragements de Monsieur Colmez ont été une des composantes importantes dans la réussite de ce projet. Ses

orientations ont notamment été d'un très grand secours lors de l'élaboration de l'ingénierie et

dans la première relecture du manuscrit. Un travail de recherche consiste plus à savoir revenir

en arrière sur le chemin que nous venons de baliser qu'à découvrir et simplement défricher de

nouvelles voies. A ce sujet, nous remercions tout particulièrement Madame Artigue, notre directrice de recherche officielle, pour les conseils de mise en forme qu'elle nous a prodigués, pour les redressements de nos erreurs et les réorientations fermes, courtoises mais indispen- sables qu'elle a su donner à notre travail lorsque ce dernier empruntait des voies de traverse trop vastes voire sans issue. Nous exprimons toute notre gratitude et notre sympathie à Mademoiselle Chassagne, à Messieurs Clemann et Le Flock, professeurs au collège Martin Luther King de Villiers le Bel, à Monsieur Gilbert Hozer, professeur au collège Georges Clémenceau de Paris 20

ème

, à Ma- dame Andrieux et à Messieurs Bouscara, Durand et Manchon, professeurs au collège Léon Blum de Villiers le Bel, qui nous ont si complaisamment communiqué leurs préparations de cours. Nous tenons à remercier doublement Monsieur Manchon qui a accepté de sacrifier

onze séances de cours et l'intrusion d'une caméra dans une classe de quatrième. Par la même

occasion, que ses élèves ainsi que ceux de la classe de 3

ème

2 soient remerciés pour leur parti-

cipation active, leur patience et la pertinence de leurs interventions. Nous sommes également reconnaissant envers Monsieur Havronsard, chef des travaux

au Lycée Mendès France de Villiers le Bel, qui nous a été d'un grand secours pour l'usinage

de pièces en bois et envers Monsieur Boukadoum, professeur de technologie au collège Léon

Blum de Villiers le Bel, pour sa collaboration à l'assemblage de ces pièces avec les élèves.

Il est encore une déclaration essentielle que nous tenons à ajouter. Pour l'ensemble de notre travail, nous avons eu recours à l'assistance inappréciable de Monsieur Degenne, auquel nous sommes redevable d'un grand service, puisque ce collègue et ami a eu l'obligeance d'en corriger les épreuves. Nous le remercions aussi vivement pour bien des observations perti- nentes qui nous ont permis d'améliorer ce texte.

Ces mêmes remerciements sont également destinés à Madame Michèle Denat, ma mère, qui a

bien voulu s'acquitter de la tâche ingrate de saisie d'une partie de mon manuscrit sur micro informatique. Nous devons également rendre hommage à la courtoisie toujours en éveil de MME et MM les bibliothécaires toutes les fois que nous avons dû avoir recours aux ouvrages

et aux documents de leurs établissements. Nous saluons précisément les bibliothécaires de la

Bibliothèque Nationale, de l'Institut Henri Poincaré, de l'Institut National de Recherche Péda-

gogique qui ont gentiment mis à notre disposition les livres les plus anciens. Nous tenons tout spécialement à remercier Madame Sornaga Annie, responsable de la bibliothèque de l'IREM de l'Université Paris VII Denis Diderot pour le soutien moral qu'elle nous a apporté dans des moments de découragement et de solitude qui sont inhérents à un travail de recherche, quel qu'il soit. Nous remercions tous ceux, fort nombreux, que nous n'avons pas cités et qui, par leurs suggestions, ont apporté leur pierre.

Il serait injuste d'oublier M. Féron, Principal adjoint du Collège Léon Blum à Villiers le Bel,

qui nous a permis, en nous libérant la journée du Lundi et le Mardi matin dans notre emploi - 3 -

du temps et ce durant toute la durée de la thèse, de mener à bien ce travail en six ans au lieu

de sept ou huit si cette facilité ne nous avait pas été accordée. Je remercie Messieurs Rudolf Straesser et André Rouchier pour avoir accepté d'être les rapporteurs de cette thèse ainsi que Madame Marie-Jeanne Perrin-Glorian et Monsieur Alain Kuzniak qui m'ont fait l'honneur d'être membres du jury. D'après Marcel Proust, il y a une chose plus difficile encore que de s'astreindre à un

régime, c'est de ne pas l'imposer aux autres. Il me serait possible de regretter rétrospective-

ment d'avoir entraîné ma petite famille dans les affres et les contraintes d'une aventure per- sonnelle aussi longue qu'incertaine. En effet, combien de soirées, de samedis et dimanches,

combien de jours de fête et de jours fériés, combien de périodes de vacances scolaires Natha-

lie, mon épouse, Marion, Camille et Nathan mes enfants ont-ils consenti à passer sans moi, sans savoir si cela en valait réellement la peine puisque nous en doutions nous même ? Com- bien de jours à supporter les variations de notre moral, nos sautes d'humeur au gré des diffi- cultés rencontrées ? Que leur dévouement soit instamment honoré avec tout l'amour que je leur porte. - 4 - A tous les hommes et les femmes de bonne volonté A la mémoire de mon frère qui aurait eu 21 ans - 5 -

Table des matières

INTRODUCTION et CADRE THEORIQUE

I. INTRODUCTION ............................................................................................................................................... 21

II. CADRE THEORIQUE ........................................................................................................................................ 22

II.1 Cadres théoriques généraux ........................................................................................................................... 22

II.1.1 Cadre épistémologique : les obstacles ...................................................................................................... 22

II.1.2 Cadres situationnels ................................................................................................................................... 24

II.1.3 Cadres institutionnels ............................................................................................................................... 26

II.2 Cadres géométriques ...................................................................................................................................... 27

II.2.1 Problématiques ......................................................................................................................................... 27

II.2.2 Les figures géométriques .......................................................................................................................... 28

PREMIERE PARTIE

Etude épistémologique et historique

CHAPITRE 1

Problématique et méthodologie

I. FONCTION D'UNE ETUDE EPISTEMOLOGIQUE DANS LE CADRE DE LA DIDACTIQUE 41

II. PROBLEMATIQUE ET QUESTIONNEMENT ............................................................................................ 42

II.1 Sur la fonctionnalité du théorème .................................................................................................................. 43

II.1.1 Organisation mathématique et moteurs épistémologiques du théorème de Thalès ................................. 43

II.1.2 Contextes métamathématiques dans lesquels a évolué le théorème ........................................................ 43

II.2 Sur les obstacles épistémologiques ................................................................................................................. 44

III. METHODOLOGIE .......................................................................................................................................... 44

CHAPITRE 2

La Période de l'Antiquité à la Renaissance

I. L'EGYPTE, BABYLONE et LA CHINE .......................................................................................................... 49

II. LE CONTEXTE CULTUREL ET CONCEPTUEL DU THEOREME DE THALES DANS LA

GRECE ANTIQUE ................................................................................................................................................... 49

II.1. Un rejet du constat des propriétés directement sur les dessins ..................................................................... 49

II.2. Les irrationnels et les remises en cause, les contradictions qu'ils ont engendrées ....................................... 49

II.3. Les infinis, le continu, les grandeurs et les nombres ..................................................................................... 50

III. LES ELEMENTS D'EUCLIDE ........................................................................................................................ 51

III.1 Tableaux synoptiques et déductogrammes livres I, V, VI .............................................................................. 51

- 6 -III.2 Analyse ............................................................................................................................................................ 61

III.2.1 La démonstration des théorèmes (D.P.C.T) et (T.E) .............................................................................. 61

III.2.2 Les nombres et grandeurs chez Euclide ................................................................................................... 62

SYNTHESE ............................................................................................................................................................... 64

IV. CIVILISATION ARABES, PERSES, LE MOYEN AGE ET LA RENAISSANCE .................................... 65

CHAPITRE 3

Le théorème de Thalès et les concepts qui l'entourent au XVII ème siècle I. CONTEXTE HISTORIQUE DANS LEQUEL A ETE ELABORE LE THEOREME DE THALES AU

XVII EME SIECLE

I.1.1 Infini divisibilité, grandeurs homogènes et nombre ................................................................................. 69

II. LES ELEMENTS D'ANTOINE ARNAULD (1667) ....................................................................................... 71

II.1 Schémas déductifs et occurrences des propriétés .......................................................................................... 71

II.2 Analyse ............................................................................................................................................................. 72

II.2.1 La démonstration des théorèmes (D.P.C.T) et (T.E) ............................................................................... 72

II.2.2 Nombres, grandeurs et continu chez Arnauld ........................................................................................... 72

II.2.3 Problématique et perspectives mathématiques ......................................................................................... 73

II.2.4 Organisation mathématique ..................................................................................................................... 74

III. TRAITE DE GEOMETRIE DE GILLES-PERSONNE DE ROBERVAL (1675) ..................................... 76

III.1 Analyse .......................................................................................................................................................... 76

III.1.1 Démonstration du théorème (D.P.C.T) ................................................................................................... 76

III.1.2 Nombres, grandeurs et continu chez Roberval ........................................................................................ 77

III.1.3 Problématique, perspectives mathématiques et difficultés théoriques .................................................... 78

IV. LES ELEMENTS DE GEOMETRIE EXLPIQUES PAR DESCHALLES (1670) .................................... 78

V. LES ELEMENTS DE GEOMETRIE DE LAMY (1685) ............................................................................... 79

V.1 Les schémas déductifs ..................................................................................................................................... 79

V.2 Analyse ........................................................................................................................................................... 80

V.2.1 Démonstration du théorème (D.P.C.T), les grandeurs et les nombres ..................................................... 80

V.2.2 Problématique et perspectives mathématiques ......................................................................................... 81

V.2.3 Organisation mathématique ..................................................................................................................... 81

CHAPITRE 4

Le théorème de Thalès au XVIII ème siècle

I. L'ESPRIT DES ELEMENTS DE CLAIRAUT (1741) ...................................................................................... 87

II. LES ELEMENTS DE LA CAILLE (1744) ..................................................................................................... 88

II.1 Théorème des faisceaux de droites parallèles ( F.P ) et similitudes des triangles ......................................... 88

II.2 Applications ..................................................................................................................................................... 88

III. COURS DE MATHEMATIQUES D'ETIENNE BEZOUT (1765)............................................................... 89

- 7 -III.1 Schéma déductif ............................................................................................................................................ 89

III.2 Analyse .......................................................................................................................................................... 89

IV. LE TRAITE DE GEOMETRIE DE BOSSUT (1775) ................................................................................... 90

IV.1 Schéma déductif ............................................................................................................................................ 91

IV.2 Analyse .......................................................................................................................................................... 91

V. LES ELEMENTS DE LEGENDRE (1794) ..................................................................................................... 92

V.1 Tableaux synoptiques et déductogrammes LIVRES I et III .............................................................................. 92

V.2 Analyse ........................................................................................................................................................... 94

VI. LES MODIFICATIONS APPORTEES PAR BLANCHET (1850) ............................................................. 97

VII. LES ELEMENTS DE LACROIX (1798) ...................................................................................................... 98

VII.1 Tableaux synoptiques et schémas déductifs .................................................................................................. 98

VII.2 Analyse ......................................................................................................................................................... 99

SYNTHESE ............................................................................................................................................................. 102

CHAPITRE 5

Le théorème de Thalès au XIX ème siècle

I. LES DEUX GRANDES APPROCHES DES NOMBRES REELS ............................................................... 107

II. LE COURS DE MATHEMATIQUES GENERALES DE FRANCOEUR (1819) ..................................... 107

III. OUVRAGE DU BARON DUPIN (1825) ...................................................................................................... 108

IV. ELEMANTS DE GEOMETRIE DE DESDOUIT (1834) ........................................................................... 109

V. COURS DE GEOMETRIE DE GUILMIN (1859).......................................................................................... 110

V.1 Schéma déductif ............................................................................................................................................. 110

V.2 Analyse ......................................................................................................................................................... 110

V.2.1 Démonstration du théorème (D.P.C.T) .................................................................................................. 110

V.2.2 Nombres, grandeurs et continu chez Guilmin ......................................................................................... 111

V.2.3 Organisation mathématique ................................................................................................................... 111

VI. LE COURS DE F.I.C. (1881) ......................................................................................................................... 112

VI.1 Schéma déductif ............................................................................................................................................ 113

VI.2 Analyse ........................................................................................................................................................ 113

VII. L'OUVRAGE DE BOS (1884).................................................................................... .115

VII.1 Schéma déductif ........................................................................................................................................... 115

VII.2 Analyse ....................................................................................................................................................... 115

VIII. L'OUVRAGE DE GRAPIN (1886)..............................................................................116

- 8 -IX ROUCHE et COMBEROUSSE (1891)...........................................................................117

IX. 1 Schéma déductif ........................................................................................................................................... 117

IX.2 Analyse ........................................................................................................................................................ 117

X. COMBETTE (1898) ........................................................................................................................................... 119

XI. HADAMARD.J (1898) ..................................................................................................................................... 120

XI.1 Schéma déductif ............................................................................................................................................ 120

XI.2 Analyse ........................................................................................................................................................ 120

XII. HILBERT (1899)................................................................................................ 122

SYNTHESE ............................................................................................................................................................. 123

CHAPITRE 6

Le théorème de Thalès au XX ème siècle

I.1 BOS, BOURLET, FORT et DREYFUS ........................................................................................................ 129

I.1.1 Les programmes ...................................................................................................................................... 129

I.1.2 Le théorème de Thalès dans Bourlet, Fort et Dreyfus, Grévy ................................................................ 129

I.2 BOREL (1910) ................................................................................................................................................. 130

I.3 VALLORY (1911) ........................................................................................................................................... 131

I.4 NIEWENGLOWSKI (1912) ........................................................................................................................... 132

I.5 VACQUANT et MACE de LEPINAY ANDRE (1916) ................................................................................. 133

I.6 LEBESGUE (1931) .......................................................................................................................................... 134

I.7 CHENEVIER (1931), ESTEVE et MITHAULT(1935), VIEILLEFOND(1937) ......................................... 135

I.8 ITARD et LECONTE (1940), LEBOSSE et HEMERY (1940) ..................................................................... 135

I.9 BRACHET, DUMARQUE et GOUET(1940), BENOIT(1941) ................................................................... 136

I.10 CAMMAN (1942) .......................................................................................................................................... 137

I.11 LEBOSSE et HEMERY(1947) ....................................................................................................................... 137

I.12 DOLLON et GILET(1950), LESPINARD et PERNET(1952) .................................................................. 138

I.13 DUBREIL (1964) ........................................................................................................................................... 139

I.14 ITARD et HUISMAN(1964), THERON, COUTURIER et GALMARD(1965) ....................................... 140

I.15 ITARD et HUISMAN(1967), Collection DURRANDE(1967) ................................................................... 141

- 9 -I.16 QUEZANNE - REVUZ(1968) (Annexe LI) ................................................................................................. 142

I.17 La réforme de 1969........................................................................................................................................ 143

I.18 Les années 1971à 1978 .................................................................................................................................. 144

I.18.1 Programmes .......................................................................................................................................... 144

I.18.2 BREARD(1971), VISSIO(1971) .......................................................................................................... 144

I.18.3 QUEYSANNE et REVUZ(1973), MONGE, PECASTAINGS(1974) ................................................. 145

I.18.4 GIRARD, GERLL, COHEN, GERL(1975) ......................................................................................... 145

I.19 Les années 1978 à 1989 ................................................................................................................................. 146

I.19.1 Programmes de 1978 ........................................................................................................................... 146

I.19.2 MONGE(1978), BLAQUIERE ............................................................................................................ 147

I.19.3 POLLE(1980), AGUADO(1980), GALLION(1980) ........................................................................... 148

I.19.4 DELEDICQ(1984) ................................................................................................................................ 149

I.20 Programmes de 1989 ..................................................................................................................................... 149

I.20.1 SUCH DURRANDE(1989), ISTRA(1989), Fauvergue(1989) ............................................................ 150

I.20.2 PYTHAGORE Coll(1989) ................................................................................................................... 151

I.20.3 IREM Strasbourg (1989), Terracher(1989) .......................................................................................... 152

I.20.4 Transmath(1989), Transmath(1993), Terracher(1993) ......................................................................... 152

CONCLUSION PREMIERE PARTIE.......................................................................................................158

I. Approche du sens externe 158

I.1 Absence de problèmes pratiques 158

I.2 Problèmes modélisés liés au méso-espace et à la recherche d'échelles 158

I.3 En conclusion 159

II. Approche du sens interne 160

II.1 Les énoncés du théorème direct 160

II.2 Les énoncés du théorème réciproque de Thalès 161

II.3 Les démonstrations 163

II.4 Les problématiques 170

II.5 L'organisation praxéologique 172

II.6 La transposition didactique 173

II.7 Les champs conceptuels 174

II.8 Les fonctionnalités internes 174

DEUXIEME PARTIE

Variables didactiques et obstacles

- 10 -

CHAPITRE 1

Cadre théorique et échantillon expérimental

I. COMPLEMENTS DU CADRE THEORIQUE ................................................................................................ 183

I.1 Figures archétypes et figures prototypes ......................................................................................................... 183

I.2 Figures pathologiques et figures pathogènes .................................................................................................. 184

PRESENTATION DE L'ECHANTILLON...........................................................................185

CHAPITRE 2

Elaboration et mise en place des expériences. Résultats et interprétations

I. LA PREMIERE EXPERIENCE ........................................................................................................................ 190

I.1 Objectifs et élaboration ................................................................................................................................. 190

I.1.1 Mise en évidence des figures prototypes ................................................................................................ 190

I.1.2 Mise en évidence de figures archétypes ................................................................................................. 192

I.2 Résultats et interprétations .............................................................................................................................. 193

I.2.1 Test 1.A .................................................................................................................................................. 193

I.2.2 Test 2.A .................................................................................................................................................. 197

I.2.3 Test 3.A ................................................................................................................................................... 200

I.2.4 Test 4.A .................................................................................................................................................... 202

II. LA DEUXIEME EXPERIENCE.......................................................................................204

II.1 Objectifs et élaboration .................................................................................................................................. 204

II.1.1 Les différentes variations que nous faisons subir aux dessins .............................................................. 204

II.1.2 Description de l'expérience ................................................................................................................... 206

II.2 Résultats et interprétations ............................................................................................................................. 206

II.2.1 Les figures pathologiques ........................................................................................................................ 206

II.2.2 Les figures pathogènes ............................................................................................................................ 207

III. LA TROISIEME EXPERIENCE........................................................................................210

III.1 Objectifs et élaboration ................................................................................................................................. 210

III.1.1 En ce qui concerne la fragmentation ...................................................................................................... 210

III.1.2 Etablissement d'un gradient de difficulté ............................................................................................. 210

III.2 Les résultats obtenus ................................................................................................................................... 212

III.2.1 Pour le prototype I ................................................................................................................................. 212

III.2.2 Pour le prototype II ................................................................................................................................ 222

III.3 Conclusion partielle ...................................................................................................................................... 227

III.4 Etude de l'influence du prototype II fragmenté sur le prototype I fragmenté ............................................... 227

III.4.1 Elaboration ............................................................................................................................................ 227

III.4.2 Résultats et interprétations ..................................................................................................................... 228

IV. LA QUATRIEME EXPERIENCE......................................................................................230

IV.1 Objectifs et élaboration. ............................................................................................................................. 230

IV.1.1 Sur la mesure des longueurs dans l'application du théorème de Thalès .............................................. 232

IV.1.2 Sur la mesure des longueurs en général, sur les nombres réels ............................................................. 47

IV.2 Résultats et interprétations ............................................................................................................................ 233

IV.2.1 Première partie du test 3 ........................................................................................................................ 233

IV.2.2 Deuxième partie du test 3 exercices 1, 2, 3 ............................................................................................ 233

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