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Mathématiques - Correction du Devoir Maison 5

A) Peuve du théorème

Soituune suite qui converge vers`2R, on notevla suite de ses moyennes. 1.

Cas `= 0: soit" >0.

(a) Justifier l"existence d"un rang N2Nà partir duqueljunj<"2 u!0signifie que8 >0;9N2N=8n2N; nN=) junj< .

On applique cette définition avec="2

(b) En utilisan tla question précéd ente,prouv erq uevconverge vers0.

On a, pourn >0,vn=1n

n X k=1u k=1n N1X k=1u k+1n n X k=Nu k. En utilisant l"inégalité triangulaire, il vient :

8n > N;jvnj jPN1

k=1ukjn +jPn k=Nukjn jPN1 k=1ukjn +nN+ 1n "2 jPN1 k=1ukjn +"2

Or,jPN1

k=1ukjest un réel et donc, à partir d"un certain rangM,jPN1 k=1ukjn "2 ce qui assure que, sinmax(N;M), alorsjvnj ". On a donc bienvqui tend vers0. 2. Cas `2R: en utilisant 1., prouver quevconverge vers`. Il suffit d"appliquer le résultat de la question précédente à la suiteu`. 3.

Cas `= +1: prouver quevtend vers+1.

SoitA >0. La suiteutend vers+1, il existe donc un rangNà partir duquel les termes de la suite sont

supérieurs à2A. On a, pour toutn > N: v n=1n N1X k=1u k+1n n X k=Nu k1n N1X k=1u k+ 2AnN+ 1n 1n P N1 k=1uktend vers0et donc, est supérieur àA2

à partir d"un certain rangM1;

2nN+1n

tend vers2et donc, est supérieur à32

à partir d"un certain rangM2.

Finalement, sinmax(N;M1;M2), alorsvnAet on a donc bienvn!+1. 4. Cas `=1: déduire du cas précédent quevtend vers1. Il suffit d"appliquer le résultat précédent à la suiteu.

B) Réciproque?

1. Enoncer la récipro quedu théorème de Césaro. La réciproque est " si la suite des moyennes tend vers`2Ralors la suite converge aussi vers`». 2. Cette récipro quees tfausse, prop oserun con tre-exemple.

On peut prendre la suite alternée((1)n)n2N: cette suite diverge alors que la suite de ses moyennes

converge vers0. 3.

Démon trerque si on a joutel"h ypothèsede monotonie sur ualors la réciproque du théorème de Césaro est

vraie. Supposons queusoit monotone et que la suite de ses moyenne tende vers`2R. La suiteuest monotone,

alors elle a une limite`02R. Le théorème de Césaro nous assure que c"est`0est la limite de la suite des

moyennes deu, on a donc`=`0.

C) Lemme de l"escalier

1. Soit (un)n2Nune suite de réels telle queun+1un!n!+1`2R.

Montrer que

unn !n!+1`.(Lemme de l"escalier)

Soit, pourn1,vn=unun1. Par hypothèse,vn!n!+1`.

En appliquant le théorème de Césaro, on a 1n P n k=1vk!n!+1`. Or, par téléscopage, pour toutn1, on a :Pn k=1vk=unu0. On a donc :unu0n !n!+1`. Or,unu0n unn , ce qui donne le résultat voulu.

2.Soit (un)n2Nune suite de réels strictement positifs. Montrer que siun+1u

n!n!+1` >0alors(un)1n !n!+1`. Tous les termes deuétant strictement positifs, on peut prendre leurs logarithmes.

On a :8n2N;lnun+1u

n= lnun+1lnun!n!+1ln`par composition (possible car` >0). On applique le lemme de l"escalier à la suite(lnun)net on alnunn !n!+1ln`. En composant avecexpon obtient le résultat voulu. 3.

En déduire la limite de

2n n 1n n

On a, pour toutn0:

2(n+1)

(n+1) 2n n =(2n+2)!(n+1)!(n+1)!(2n)!n!n!=(2n+ 2)(2n+ 1)(n+ 1)(n+ 1)=2(2n+ 1)n+ 1!n!+14. Les conditions

sont réunies pour appliquer le résultat de la question précédente (termes strictement positifs, quotient qui

tend vers une limite finie non nulle), on obtient :limn!+1 2n n 1n n = 4.2quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

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