[PDF] Ts Devoir maison de mathématiques n°5 nom: prénom

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TsDevoir maison demathématiques n°5nom:

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PartieA

Soitula fonction définie sur ]0 ;+∞[ par

u(x)=x2-2+lnx.

1. Étudier les variationsdeusur ]0 ;+∞[ et préciser ses limitesen 0 et en+∞.

2. (a) Montrer que l"équationu(x)=0 admet une solution unique sur ]0 ;+∞[.

On noteαcette solution.

(b) À l"aide de la calculatrice, déterminer un encadrement d"amplitude10-2deα.

3. Déterminer le signe deu(x) suivant les valeurs dex.

4. Montrer l"égalité : lnα=2-α2.

PartieB

On considère la fonctionfdéfinie et dérivable sur ]0 ;+∞[ par f(x)=x2+(2-lnx)2. On notef?la fonction dérivée defsur ]0 ;+∞[.

1. Exprimer, pour toutxde ]0 ;+∞[,f?(x) en fonction deu(x).

2. En déduire les variations defsur ]0 ;+∞[.

PartieC

Dans le plan rapporté à un repère orthonormé(O;-→i;-→j), on note : •Γla courbe représentativede la fonction ln (logarithmenépérien);

•A le point de coordonnées (0 ; 2);

•Mle point deΓd"abscissexappartenantà ]0 ;+∞[.

1. Montrer que la distance AMest donnée par AM=?

f(x).

2. Soitgla fonction définie sur ]0 ;+∞[ parg(x)=?

f(x. (a) Montrer que les fonctionsfetgont les mêmes variationssur ]0 ;+∞[. (b) Montrer que la distance AMest minimale en un point deΓ, noté P, dont on précisera les coordonnées. (c) Montrer que AP=α?

1+α2.

3.Pour cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d"initiative, même non

fructueuse, sera prise en compte dans l"évaluation. La droite (AP) est-elle perpendiculaire à la tangente àΓen P? exercice livre correction devoir maison n°5

Partie A

Soitula fonction définie sur ]0 ;+∞[ paru(x)=x2-2+lnx.

1. La fonctionuest dérivable sur ]0 ;+∞[ comme somme de fonctions dérivables et pour tout réelx

strictement positif,u?(x)=2x+1 x. Pour tout réelxstrictement positif,u?(x)>0 comme somme de termes positifs (dont l"un est non nul), la fonctionuest donc strictement croissante. lim x→+∞x2-2=+∞et limx→+∞ln(x)=+∞donc limx→+∞u(x)=+∞. lim x→0x2-2=-2 et limx→0ln(x)=-∞donc limx→0u(x)=-∞.

2. (a) Lafonctionuestcontinueetstrictementmonotonesur]0;+∞[, doncuprendexactementune

fois toutes les valeurs entre limx→0u(x)=-∞et limx→+∞u(x)=+∞.

0estcomprisentre-∞et+∞doncl"équationu(x)=0admetunesolution uniquesur]0;+∞[.

On noteαcette solution.

(b) À l"aide de la calculatrice on remarque queu(1,31)<03. Puisqueuest croissante sur ]0 ;+∞[, pour toutx?]0 ;α[,u(x) x>α,u(x)>u(α) doncu(x)>0

Partie B

On considère la fonctionfdéfinie et dérivable sur ]0 ;+∞[ parf(x)=x2+(2-lnx)2. On notef?la fonction dérivée defsur ]0 ;+∞[.

1. Pour toutxde ]0 ;+∞[,f?(x)=2x+2×(2-lnx)×-1

x=2x(x2-2+lnx)=2xu(x) 2. 2

xétant toujours positif sur ]0 ;+∞[,f?(x) est du signe deu(x), donc est strictement négative sur

]0;α[, etstrictementpositive sur]α;+∞[ets"annuleenα. lafonctionfeststrictementdécroissante

sur ]0 ;α] et strictement croissante sur [α;+∞[ et atteint un minimum enα. lim x→+∞x2=+∞et limx→+∞(2-lnx)2=+∞donc limx→+∞f(x)=+∞. lim x→0x2=0 et limx→0(2-lnx)2=+∞donc limx→0u(x)=+∞.

Partie C

Dans le plan rapporté à un repère orthonormé (O;-→i;-→j), on note : •Γla courbe représentative de la fonction ln (logarithme népérien);

•A le point de coordonnées (0 ; 2);

•Mle point deΓd"abscissexappartenantà ]0 ;+∞[.

1. Le point A a pour coordonnées (0 ; 2) et le pointM(x; lnx), donc

AM=? (x-0)2+(lnx-2)2=?f(x)

2. Soitgla fonction définie sur ]0 ;+∞[ parg(x)=?

f(x). (a)g?=f?

2?f.?fest positif doncg?est du signe def?doncgetfont même sens de variation.

(b) La fonctiongatteint donc son minimum enα. La distance AM est donc minimale pourx=α soit au point P(α; lnα). Or lnα=2-α2doncPa pour coordonnées (α; 2-α2). (c) AP=?

3.Pour cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d"initiative, même non fructueuse,

sera prise en compte dans l"évaluation. La tangente àΓen P a pour coefficient directeur1 αet la droite (AP) a pour coefficient directeur y P-yA xP-xA=2-α2-2α-0= -α. Le produit des deux coefficients directeurs donne-1, la tangenteΓen

P et la droite (AP) sont perpendiculaires.

On peut aussi utiliser les vecteurs directeurs. La tangenteàΓen P a pour vecteurdirecteur-→u?α

1? (car m=Δy

Δx=1α).

La droite (AP) a pour vecteur directeur-→AP?α -α2?

u.-→AP=α×α+1×(-α2)=α2-α2=0, donc-→uet-→APsont orthogonaux donc la tangenteΓen P et la

droite (AP) sont perpendiculaires. ?xy+x+y=2 ln(x+1)+ln(y-1)=1Pour le domaine de validité on doit avoir?x+1>0 y-1>0???x>-1 y>1. (S)=??xy+x+y=2 ln?(x+1)(y-1)?=lne=??xy+x+y=2 (x+1)(y-1)=e.

On poseX=x+1 etY=y-1 doncx=X-1 ety=Y+1.

(S)=??XY+X-Y-1+X-1+Y+1=2

XY=e???XY+2X=3

XY=e?????X=3-e

2XY=e???????X=3-e2

Y=e

X=2e3-e

Donc?????x=X-1=3-e

2-1=1-e2

y=Y+1=2e

3-e+1=3+e3-e.

Vérification :

x≈= -0.86> -1 ety≈20.30>1 donc , le systèmeSadmet un couple solution unique?1-e

2;3+e3-e?

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