[PDF] PRIMITIVES ET ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES





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ÉQUATIONS

Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr RESOUDRE UNE EQUATION : c'est chercher et trouver le nombre caché sous l'inconnue.



ÉQUATIONS INÉQUATIONS

Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. ÉQUATIONS RESOUDRE UNE EQUATION : C'est chercher et trouver le nombre inconnu.



SECOND DEGRE (Partie 2)

Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. SECOND DEGRE (Partie 2). I. Résolution d'une équation du second degré.



RÉSOLUTION DÉQUATIONS À LAIDE DEXCEL

Dans notre exemple B1 est la cellule qui contiendra la valeur de x. En appuyant sur Résoudre



PRIMITIVES ET ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES

Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. 1. PRIMITIVES ET Méthode : Résoudre une équation différentielle du type ' = .



Mathématiques Résoudre un problème du premier degré

Mettre un problème en équation en vue de sa résolution. Compétences mathématiques : S'approprier analyser



ÉQUATIONS POLYNOMIALES

Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. 1. ÉQUATIONS POLYNOMIALES Méthode : Résoudre une équation du second degré dans ?.



EQUATIONS INEQUATIONS

Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. EQUATIONS Méthode : Résoudre une équation en se ramenant à une équation-produit.



RAPPEL MATHÉMATIQUE Finance 4-230-09

Pour résoudre une équation il suffit de la transformer en une équation équivalente plus simple



RÉSOLUTION DE SYSTÈMES À DEUX INCONNUES

Substituer par la valeur obtenue en 3) dans l'une ou l'autre des équations de départ. Exemple. Résoudre le système à deux variables. 2 3 8. 3 4. 5. Solution.

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PRIMITIVES ET

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES

Tout le cours sur les primitives en vidéo : https://youtu.be/LIm3DN63bxQ Tout le cours sur les équations différentielles en vidéo : https://youtu.be/qHF5kiDFkW8

Partie 1 : Primitive d'une fonction

1) Définition et propriétés

Exemple :

On considère les fonctions et définies par : =2+3 et +3-1

Si on dérive , on constate que :

=2+3=

Lorsque

=, on dit que est une primitive de . Définition : est une fonction continue sur un intervalle . On appelle primitive de , une fonction , telle que :

Remarque :

Dans ces conditions, dire que " est une primitive de » revient à dire que " est la dérivée de ». Méthode : Vérifier qu'une fonction est une primitive d'une autre fonction

Vidéo A venir

Dans chaque cas, dire si est une primitive de . a) 2 2 et b) et (+1). c) ln() et -ln 2

Correction

a)

2

2

Donc est une primitive de .

b) =1× +1

Donc est une primitive de .

c) 1

×-ln()×1

2

1-ln()

2

Donc n'est pas une primitive de .

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Propriété : Deux primitives d'une même fonction continue sur un intervalle diffèrent d'une

constante.

Démonstration :

Soit et deux primitives de la fonction sur . Alors : '()=() et '()=(). Donc : '()='(), soit ' -'()=0, soit encore (-)'()=0.

La fonction - possède une dérivée nulle sur , elle est donc constante sur .

On nomme cette constante. Ainsi :

-()= pour tout de . On en déduit que les deux primitives de diffèrent d'une constante. Propriété : est une fonction continue sur un intervalle . Si est une primitive de alors pour tout réel , la fonction ⟼ + est une primitive de .

Démonstration :

est une primitive de .

On pose

()+0=

Donc est une primitive de .

Exemple :

On a vu dans la méthode précédente que est une primitive de avec : 2 2 et

Donc, la fonction définie par

2 2 +5 est également une primitive de .

En effet :

2

2 +0== Propriété : Toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives sur cet intervalle. Remarque : Bien que l'existence étant assurée, la forme explicite d'une primitive n'est pas toujours connue. Par exemple, la fonction ⟼ ne possède pas de primitive sous forme explicite. Méthode : Recherche d'une primitive particulière

Vidéo https://youtu.be/-q9M7oJ9gkI

Soit la fonction définie sur ℝ* par a) Démontrer que la fonction définie sur ℝ* par est une primitive de . b) Déterminer la primitive de la fonction qui s'annule en =1. Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr 3

Correction

1) ′

Donc '= et donc la fonction est une primitive de .

2) On cherche la primitive de la fonction qui s'annule en =1, soit :

1 =0. Si est une primitive de alors : +, où est un nombre réel.

Donc :

1 1

Et donc :

1 +=0

Soit :

+=0 +=0 La primitive de la fonction qui s'annule en =1 est telle que :

2

2) Primitives des fonctions usuelles

Fonction Une primitive

avec ∈ℕ 1 +1 1

Avec >0

ln() 2

3) Linéarité des primitives

Propriété :

Si est une primitive de et est une primitive de alors : - +est une primitive de +, - est une primitive de ,avec réel.

Démonstrations :

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Méthode : Déterminer une primitive (1)

Vidéo https://youtu.be/GA6jMgLd_Cw

Vidéo https://youtu.be/82HYI4xuClw

Vidéo https://youtu.be/gxRpmHWnoGQ

Dans chaque cas, déterminer une primitive de la fonction . a) -2 b) =3 1 c) 3 sur

0;+∞

d) 2

Correction

a) 1 4 -2 b) =3 1 =3 2 -3× donc -3×L- 1

M=

3 c) 3 =3× 1 =3ln() Remarque : L'intervalle de recherche de la primitive est

0;+∞

, car la fonction est définie pour des valeurs strictement positive. d) 2 =2× 1 =2×2 =4

4) Primitives de fonctions composées

est une fonction dérivable sur un intervalle I.

Fonction Une primitive

2′

avec >0 ln()

Méthode : Déterminer une primitive (2)

Vidéo https://youtu.be/iiq6eUQee9g

Dans chaque cas, déterminer une primitive de la fonction . a)

2-5

-5+4) b) c) 2 3 +1 Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr 5

Correction

a)

2-5

-5+4 1 2 ×2

2-5

-5+4 du type 2′

En effet :

-5+4 → =2-5. Une primitive de 2′ est de la forme

Soit :

1 2 -5+4 b) 1 2

×2

du type ′

En effet :

=2.

Une primitive de ′

est de la forme

Soit :

1 2 c) 2 3 +1 1 3

3

2 3 +1 du type 5 5

En effet :

+1→ =3

Une primitive de

5 5 est de la forme ln().

Soit :

1 3 ln +1

Partie 2 : Équations différentielles

1) Définition d'une équation différentielle

Définition : Une équation différentielle est une équation dont l'inconnue est une fonction et

où interviennent des dérivées de cette fonction.

Exemples :

a) L'équation =5 est une équation différentielle.

L'inconnue est la fonction .

En considérant que est la fonction inconnue qui dépend de , l'équation peut se noter :

=5 b) L'équation =2 -3 est également une équation différentielle. L'inconnue est la fonction dont la dérivée est égale à 2 -3.

2) Équation différentielle du type '=

Définition : Soit une fonction définie sur un intervalle .

La fonction est une solution de l'équation différentielle '= si et seulement si

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Propriété :

Dire que est une primitive de , revient à dire que est une solution de l'équation

différentielle '=.

En effet, '=.

Méthode : Vérifier qu'une fonction est solution d'une équation différentielle

Vidéo https://youtu.be/LX8PxR-ScfM

Prouver que la fonction définie sur

0;+∞

par =3 +ln est solution de l'équation différentielle =6+

Correction

=3×2+ 1 =6+ 1 Donc, est solution de l'équation différentielle =6+

3) Équations différentielles du type '=

Propriété : Les solutions de l'équation différentielle '=, ∈ℝ, sont les fonctions de la

forme ⟼ 0# , où est une constante réelle quelconque.

Démonstration :

• Soit la fonction définie sur ℝ par 0# , où est un réel.

Alors,

0# 0#

Donc

est donc solution de l'équation différentielle '=.

• Réciproquement, soit une solution de l'équation différentielle '=.

Et soit la fonction définie sur ℝ par &0# est dérivable sur ℝ et on a : &0# &0# Comme est solution de l'équation différentielle '=, on a : '

Ainsi :

&0# &0# &0# &0# =0. La fonction est donc égale à une constante réelle , soit : &0#

Et donc :

0# Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr 7 Méthode : Résoudre une équation différentielle du type '=

Vidéo https://youtu.be/YJNHTq85tJA

On considère l'équation différentielle 3 +5=0.

1) a) Déterminer la forme générale des fonctions solutions de l'équation.

b) Représenter à l'aide de la calculatrice ou d'un logiciel, quelques courbes des fonctions solutions.

2) Déterminer l'unique solution telle que

1 =2.

Correction

1) a) 3

+5=0

3

=-5 5 3 Les solutions sont les fonctions de la forme : ⟼ b) Pour différentes valeurs de , on obtient :

2) est solution de l'équation différentielle, donc de la forme :

Donc

1

Or,

1 =2.

Donc :

=2 =2 2 =2

Et donc :

=2 =2 =2 Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr 8

Propriété : Si et sont deux solutions de l'équation différentielle '=, ∈ℝ,

alors + et ,∈ℝ,sont également solutions de l'équation différentielle.

Démonstrations :

4) Équations différentielles du type '=+

Propriété : La fonction ⟼-

6 7 est solution de l'équation différentielle

'=+ (≠0). Cette solution est appelée solution particulière constante.

Démonstration :

On pose :

6 7 . Alors =0.

Or,

+=×L-

M+=-+=0=

Donc :

est donc solution de l'équation différentielle '=+.

Propriété : Les solutions de l'équation différentielle '=+ (≠0)sont les fonctions

de la forme ⟼ 0# 6 7 , où ∈ℝ. Solution de l'équation Solution particulière '= constante de l'équation

Remarque : L'équation '=+ est appelée équation différentielle linéaire du premier

ordre à coefficients constants. Méthode : Résoudre une équation différentielle du type '=+

Vidéo https://youtu.be/F_LQLZ8rUhg

Vidéo https://youtu.be/CFZr44vny3w

On considère l'équation différentielle

-=3. a) Déterminer une solution particulière constante de l'équation différentielle b) Déterminer la forme générale des solutions de l'équation différentielle 1 2 c) En déduire la forme générale des solutions de l'équation différentielle d) Déterminer l'unique solution de telle que 0 =-1.

Correction

Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr 9 a) Modifions l'écriture de l'équation différentielle :

2

-=3

2

=+3 1 2 3 2 Une solution particulière constante est la fonction : ⟼-3.

En effet : -

6 7 3 2 1 2 =-3. b) Les solutions de l'équation différentielle 1 2 sont de la forme : ⟼ c) Les solutions de l'équation différentielle sont de la forme : -3, ∈ℝ d) est solution de l'équation différentielle, donc de la forme : -3, ∈ℝ

Donc

0 ×2 -3=-3

Or,

0 =-1

Donc : -3=-1

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